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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Mo 18.12.2006 | | Autor: | moonylo |
Hallo,
ich hätte da mal 2 Fragen zur Stetigkeit.
1) Betrachte f(x) = x und zeige, dass f stetig ist. Ich benutze nun das [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium:
[/mm]
Sei y [mm] \in \IR [/mm] fest. Dann ist f stetig in y wenn das [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] gültig ist.
Sei [mm] \delta [/mm] > 0 und nun betrachte für | x - y | < [mm] \delta
[/mm]
| f(x) - f(y) | = | x - y | < [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon.
[/mm]
Folglich ist das [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] erfüllt, da ein solches Epsilon gefunden werden konnte. Nun ist aber das y komplett rausgefallen (was normal ja nicht der Fall ist). Kann ich dann in diesem Fall direkt schlussfolgern, dass f gleichmäßig stetig ist?
2) Zeige, dass f(x) = x² stetig ist.
Nach dem [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium:
[/mm]
sei [mm] \delta [/mm] > 0 und betrachte (y wie oben fest) | x - y | < [mm] \delta:
[/mm]
| f(x) - f(y) | = | x² - y² | = | (x-y) * (x+y) | = | x-y | * | x+y |
< [mm] \delta [/mm] * | x+y |
Nun hab ich ein Problem: x ist noch drin, darf aber nicht sein. Wie komm ich weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Mo 18.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> 1) Betrachte f(x) = x und zeige, dass f stetig ist. Ich
> benutze nun das [mm]\varepsilon-\delta-Kriterium:[/mm]
>
> Sei y [mm]\in \IR[/mm] fest. Dann ist f stetig in y wenn das
> [mm]\varepsilon-\delta-Kriterium[/mm] gültig ist.
>
> Sei [mm]\delta[/mm] > 0 und nun betrachte für | x - y | < [mm]\delta[/mm]
>
> | f(x) - f(y) | = | x - y | < [mm]\delta[/mm] = [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Folglich ist das [mm]\varepsilon-\delta-Kriterium[/mm] erfüllt, da
> ein solches Epsilon gefunden werden konnte.
Du hast zwar im Prinzip recht, aber du musst ein [mm] \delta [/mm] zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] finde, hier hast du es ja mit [mm] \delta=\varepsilon [/mm] richtig und von x unabh. gefunden, aber auf die Formulierung kommt es an!
>Nun ist aber
> das y komplett rausgefallen (was normal ja nicht der Fall
> ist). Kann ich dann in diesem Fall direkt schlussfolgern,
> dass f gleichmäßig stetig ist?
ja, Formulierung: da \ delta unabh. von x ...
>
> 2) Zeige, dass f(x) = x² stetig ist.
>
> Nach dem [mm]\varepsilon-\delta-Kriterium:[/mm]
>
> sei [mm]\delta[/mm] > 0 und betrachte (y wie oben fest) | x - y | <
> [mm]\delta:[/mm]
>
> | f(x) - f(y) | = | x² - y² | = | (x-y) * (x+y) | = | x-y |
> * | x+y |
> < [mm]\delta[/mm] * | x+y |
Du musst [mm] |x+y|<2|x|+\delta, [/mm] mit [mm] \delta<1 [/mm] |x+y|<2|x|+1
also kann man [mm] \delta<\varepsilon/(2x+1) [/mm] wählen. dann ist es bei x stetig.
für jedes endliche Intervall kann man statt 2|x| 2* max|x| im Intervall nehmen, dann ist f(x) in jedem endlichen Intervall gl. stetig, aber nicht für x gegen [mm] \infty!
[/mm]
Gruss leduart
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