Fragen zur Kurvendiskussion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Do 21.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Hallo!
Hab nochmal grundsätzlich ein paar Fragen zur Kurvendiskussion. |
1. Frage: Was hab ich zu tun, wenn das Ergebnis für die hinreichende Bedingung für einen Extremwert = 0 wird (anstatt < bzw. >0)? Ich denke grundsätzlich gibt es dann an dieser Stelle weder ein Maximum noch ein Minimum. Muss ich in diesem Fall aber den Punkt noch in die nächste Ableitung setzen und überprüfen ob diese !=0? D.h. kann der Punkt dann noch ein Wendepunkt sein?
2. Frage: Wie prüfe ich das Krümmungsverhalten in einem Intervall zwischen Wendepunkten? Setze ich da z.B. einen beliebigen Wert in die 2. Ableitung ein und falls dieser >0, dann habe ich Linkskrümmung, falls dieser kleiner ist Rechtskrümmung?
(In der Literatur findet man immer nur die Aussage 2. Ableitung > 0 bzw. <0 ->Links-bzw. Rechtskrümmung, aber damit kann ich so konkret nix anfangen.)
3. Wie überprüfe ich die Monotonie bei einer Kurvendiskussion? Es werden ja da die Intervalle von
[mm] -\infty [/mm] bis Extremwert1, von Extremwert1 bis Extremwert2, ..., von Extremwert n bis [mm] \infty [/mm] überprüft. Aber überprüfe ich das dahingehend, dass ich Funktionswerte aus den jeweiligen Intervallen ermittel? Oder bedien ich mich da auch einer Ableitung?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Do 21.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo!
> Hab nochmal grundsätzlich ein paar Fragen zur
> Kurvendiskussion.
> 1. Frage: Was hab ich zu tun, wenn das Ergebnis für die
> hinreichende Bedingung für einen Extremwert = 0 wird
> (anstatt < bzw. >0)? Ich denke grundsätzlich gibt es dann
> an dieser Stelle weder ein Maximum noch ein Minimum. Muss
> ich in diesem Fall aber den Punkt noch in die nächste
> Ableitung setzen und überprüfen ob diese !=0? D.h. kann der
> Punkt dann noch ein Wendepunkt sein?
Ist er auch, aber es ist ein besonderer Wendepunkt, ein sogenannter Sattelpunkt.
>
> 2. Frage: Wie prüfe ich das Krümmungsverhalten in einem
> Intervall zwischen Wendepunkten? Setze ich da z.B. einen
> beliebigen Wert in die 2. Ableitung ein und falls dieser
> >0, dann habe ich Linkskrümmung, falls dieser kleiner ist
> Rechtskrümmung?
> (In der Literatur findet man immer nur die Aussage 2.
> Ableitung > 0 bzw. <0 ->Links-bzw. Rechtskrümmung, aber
> damit kann ich so konkret nix anfangen.)
Genau so.
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> 3. Wie überprüfe ich die Monotonie bei einer
> Kurvendiskussion? Es werden ja da die Intervalle von
> [mm]-\infty[/mm] bis Extremwert1, von Extremwert1 bis Extremwert2,
> ..., von Extremwert n bis [mm]\infty[/mm] überprüft. Aber überprüfe
> ich das dahingehend, dass ich Funktionswerte aus den
> jeweiligen Intervallen ermittel? Oder bedien ich mich da
> auch einer Ableitung?
>
Die Monotonie sagt dir ja etwas über die Steigung in dem Intervall aus. Und um die an einer Stelle zu ermitteln, dazu brauchst du die erste Ableitung.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Do 21.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | erstmal Danke für die schnelle Antwort. |
Das heißt also, ich krieg immer nur dann einen Sattelpunkt,
wenn die 1. Abl. für diesen Punkt = 0 wird? Aber dann brauch ich doch auch nicht mehr die 2. Abl. zu prüfen für diesen Punkt, oder?
Also für zur Bestimmung der Monotonie setze ich dann Werte aus den jeweiligen Intervallen in die 1. Ableitung ein? Und wenn die Ergebnisse
< 0 -> (streng) monoton fallend bzw. > 0 -> (streng) monoton wachsend?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Do 21.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal
> erstmal Danke für die schnelle Antwort.
Bitte, dafür ist das Forum da
> Das heißt also, ich krieg immer nur dann einen
> Sattelpunkt,
> wenn die 1. Abl. für diesen Punkt = 0 wird? Aber dann
> brauch ich doch auch nicht mehr die 2. Abl. zu prüfen für
> diesen Punkt, oder?
Also: Ein Sattelpunkt ist ein ganz spezieller Wendepunkt.
Also muss an der Stelle [mm] x_{s} [/mm] gelten:
[mm] f''(x_{s})=0, f'''(x_{s}=\ne0.
[/mm]
Wenn jetzt zusätzlich noch gilt f'(x)=0, so hast du einen Sattelpunkt. Hier hast du ein Bild von zwei Funktionen mit Sattelpunkt..
[Dateianhang nicht öffentlich]
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> Also für zur Bestimmung der Monotonie setze ich dann Werte
> aus den jeweiligen Intervallen in die 1. Ableitung ein? Und
> wenn die Ergebnisse
> < 0 -> (streng) monoton fallend bzw. > 0 -> (streng)
> monoton wachsend?
Yep, wenn f'(x)>[<]0 für alle Werte im Intervall hast du streng monoton wachsend[fallend]
Gilt lediglich [mm] f'(x)\ge[\le]0, [/mm] so ist es nur monoton wachsend[fallend].
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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