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Hallo ,
ich habe gewisse Fragen zur Integralrechnung.
Wenn ich zum Beispiel diese Funktion habe :
[mm] \integral{(\bruch{1}{2}x-1)^{2}}.
[/mm]
Dann muss ich hier die lineare Substitutionsregel anwenden oder ?
Also ich ersetze [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] - 1 mit z.
=>
z = [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] - 1
Und jetzt (das haben wir heute kennengelernt , verstehe den Zusammenhang zwar irgendwie nicht , aber soll wohl so sein) :
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] , hier bilde ich automatisch die Ableitung von [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x -1 , also 0,5.
Danach mache ich die Substitution rückgängig.
Diese Vorgehensweise ist richtig , oder ?
Sowas muss ich IMMER machen , wenn ich in einer Klammer eine lineare Funktion habe , oder ?
Wenn ich aber jetzt z.B nur [mm] 5x^2 [/mm] und ich soll das integrieren , reicht einfach die Potenzregel der Integralrechnung , oder ?
Und nochmal zur Substitution :
Das ist ja bei linearen Funktionen ganz einfach , denn wenn ich es ableite , kommt einfach eine Zahl raus , ohne X.
Wenn ich ja aber jetzt [mm] x^3 [/mm] ableite , dann habe ich [mm] 3x^2 [/mm] , da wird es schon mit der Subsitution komplizierter , oder ?
Und wenn ich sowas hier habe :
[mm] \integral{\wurzel{2x-1}}
[/mm]
Dann ist z = 2x -1
=> [mm] \integral{\wurzel{z}}
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2x - 1}} [/mm] ( Ableitung von [mm] \wurzel{2x-1})
[/mm]
Und dann nach dx umformen :
[mm] \bruch{dz}{\bruch{1}{\wurzel{2x - 1}}} [/mm] = dx
=>
[mm] \integral{\wurzel{z}} [/mm] * [mm] \bruch{dz}{\bruch{1}{\wurzel{2x -1 }}}
[/mm]
= > [mm] \bruch{1}{\wurzel 2x -1} \integral{{\wurzel z}} [/mm] dz
Und jetzt einfach [mm] \wurzel{z} [/mm] integrieren oder und dann Subsitution rückgängig machen , oder ?
Danke schon im Voraus.
Ist bisschen lang geworden heute , aber muss das ja verstehen , ist wichtig für die Klausur und auch für die Abi-Prüfung , die ich nächstes Jahr habe(hoffentlich) :D
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> Wenn ich zum Beispiel diese Funktion habe :
>
> [mm]\integral{(\bruch{1}{2}x-1)^{2}}[/mm]
Schreibe das Integral bitte vollständig hin:
[mm]\integral{(\bruch{1}{2}x-1)^{2}}\ dx[/mm]
Gerade im Zusammenhang mit Substitutionen sind die
Differentiale (also hier das dx) ganz wesentlich !
> Dann muss ich hier die lineare Substitutionsregel anwenden
> oder ?
Du musst nicht; du kannst.
Eine andere Möglichkeit wäre, das Quadrat auszumultiplizieren
und dann die einzelnen Summanden separat zu integrieren.
> Also ich ersetze [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] - 1 mit z. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> => z = [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] - 1
>
> Und jetzt (das haben wir heute kennengelernt , verstehe den
> Zusammenhang zwar irgendwie nicht , aber soll wohl so sein)
falls du es nicht verstehst, befasse dich nochmals damit
und frage ev. nach !
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] , hier bilde ich automatisch die Ableitung
> von [mm]\bruch{1}{2}[/mm] x -1 , also 0,5.
>
> Danach mache ich die Substitution rückgängig.
(zuerst mal integrieren, nämlich nach der neuen Variablen z)
> Diese Vorgehensweise ist richtig , oder ?
>
> Sowas muss ich IMMER machen , wenn ich in einer Klammer
> eine lineare Funktion habe , oder ?
Wie oben schon angemerkt: es geht vielleicht auch anders.
> Wenn ich aber jetzt z.B nur [mm]5x^2[/mm] und ich soll das
> integrieren , reicht einfach die Potenzregel der
> Integralrechnung , oder ?
Ja.
> Und nochmal zur Substitution :
>
> Das ist ja bei linearen Funktionen ganz einfach , denn wenn
> ich es ableite , kommt einfach eine Zahl raus , ohne X.
>
> Wenn ich ja aber jetzt [mm]x^3[/mm] ableite , dann habe ich [mm]3x^2[/mm] ,
> da wird es schon mit der Subsitution komplizierter , oder ?
Das kann sein - und es fragt sich dann oft, welche Substitution
überhaupt in Frage kommt und nützlich ist.
> Und wenn ich sowas hier habe :
>
> [mm]\integral{\wurzel{2x-1}}[/mm]
bitte ebenfalls mit Differential: [mm]\integral{\wurzel{2x-1}}\ dx[/mm]
> Dann ist z = 2x -1
>
> => [mm]\integral{\wurzel{z}}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2x - 1}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Falsch ! Du hast doch z=2x-1 definiert !
Dann ist [mm] $\frac{dz}{dx}=2$ [/mm] , also $\ [mm] dz=2\,dx$ [/mm] und $\ dx\ =\ [mm] \frac{1}{2}\,dz$
[/mm]
So kommt man zu:
[mm]\integral{\wurzel{2x-1}}\ dx\ =\ \integral{\wurzel{z}}\ *\ \frac{1}{2}\,dz\ =\ \frac{1}{2}*\integral{\wurzel{z}}\ \,dz[/mm]
So, und jetzt integrieren und nachher alle vorkom-
menden z durch [mm] (2\,x-1) [/mm] ersetzen (Rücksubstitution).
LG Al-Chw.
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Vielen dank für die Antwort , hat paar Unklarheiten klar gemacht :D
Hab aber noch die eine Frage :
Warum ist mit $ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] $ die Ableitung gemeint ?
Das ist doch einfach nur ein Quotient , wie kommt man hier auf die Ableitung ?
Ist das die Definition einer Ableitung , oder sowas ähnliches ?
Und was passiert , wenn ich [mm] (3x^2 +4x)^2 [/mm] habe.
Muss ich dann zweimal substutieren ? Einmal das x und einmal den ganzen Ausdruck in der Klammer ?
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> Vielen dank für die Antwort , hat paar Unklarheiten klar
> gemacht :D
>
> Hab aber noch die eine Frage :
>
> Warum ist mit [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] die Ableitung gemeint ?
> Das ist doch einfach nur ein Quotient , wie kommt man hier
> auf die Ableitung ?
>
> Ist das die Definition einer Ableitung , oder sowas
> ähnliches ?
Es ist eine sehr praktische Schreibweise für die Ableitung,
ausführlich notiert:
[mm]\bruch{dz}{dx}\ =\ \limes_{\Delta x\to0}\frac{\Delta z}{\Delta x}\ =\ \limes_{h\to0}\frac{z(x+h)-z(x)}{h}[/mm]
Eingeführt wurde diese Notation von Leibniz, einem
der Erfinder der Differenzialrechnung.
> Und was passiert , wenn ich [mm](3x^2 +4x)^2[/mm] habe.
>
> Muss ich dann zweimal substutieren ? Einmal das x und
> einmal den ganzen Ausdruck in der Klammer ?
Um diesen Term zu integrieren, ist Substitution nicht
geeignet. Also einfach ausmultiplizieren und dann
gliedweise integrieren !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Di 21.02.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar , vielen vielen Dank für deine Antworten.
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