Frage zur einer Mengen-Aufgabe < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Mi 27.11.2013 | | Autor: | X3nion |
| Aufgabe | Es seinen X und Y zwei nicht-leere Mengen und f eine Abbildung von X nach Y.
Zeige, dass f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subset [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) für A, B [mm] \subset [/mm] X |
Hallo liebe Community!
Ich bin gerade dabei, die Lösung einer Mengen-Aufgabe nachzuvollziehen.
Diese lautet wie folgt:
Zu Zeigen: f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subset [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) für A, B [mm] \subset [/mm] X
Sei y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B)
-> [mm] \exists [/mm] x: (x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \wedge [/mm] f(x) = y)
-> [mm] \exists [/mm] x: ((x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] f(x) = y)
-> [mm] \exists [/mm] x: ((x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] f(x) = y) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] f(x) = y))
-> y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] f(B)
-> y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
Nun verstehe ich nicht, für was das Zirkumflex ähnliche Zeichen ^ stehen soll, denn in der Schule haben wir so etwas noch nicht behandelt.
Könnt ihr mir bitte weiterhelfen, damit ich die Lösung weiter nachvollziehen kann? Ich würde mich sehr freuen! ;)
Beste Grüße,
euer Christian!
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Hallo,
> Es seinen X und Y zwei nicht-leere Mengen und f eine
> Abbildung von X nach Y.
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> Zeige, dass f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\subset[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) für A, B
> [mm]\subset[/mm] X
> Hallo liebe Community!
>
> Ich bin gerade dabei, die Lösung einer Mengen-Aufgabe
> nachzuvollziehen.
> Diese lautet wie folgt:
>
> Zu Zeigen: f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\subset[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) für A, B
> [mm]\subset[/mm] X
>
> Sei y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B)
>
> -> [mm]\exists[/mm] x: (x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B [mm]\wedge[/mm] f(x) = y)
> -> [mm]\exists[/mm] x: ((x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] f(x) = y)
>
> -> [mm]\exists[/mm] x: ((x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] f(x) = y) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\in[/mm] B
> [mm]\wedge[/mm] f(x) = y))
>
> -> y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\wedge[/mm] y [mm]\in[/mm] f(B)
>
> -> y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
>
>
> Nun verstehe ich nicht, für was das Zirkumflex ähnliche
> Zeichen ^ stehen soll, denn in der Schule haben wir so
> etwas noch nicht behandelt.
> Könnt ihr mir bitte weiterhelfen, damit ich die Lösung
> weiter nachvollziehen kann? Ich würde mich sehr freuen!
> ;)
Das ist schnell erklärt. Es handelt sich um das logische Zeichen für die 'Und'-Verknüpfung. Sind A, B Aussagen, dann ist [mm] {A}\wedge{B} [/mm] genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind. Seine Herkunft kommt von seinem Kollegen, dem 'Oder'-Zeichen [mm] \vee. {A}\vee{B} [/mm] ist wahr, wenn A oder B oder beide wahr sind. Es handelt sich also um das sog. inklusive oder, welches im lateineischen im Unterschied zum besser bekannten aut (dem exklusiven Oder) vel heißt. Von vel der erste Buchstabe wurde das Symbol das v, und dieses hat man beim 'Und' aus bestimmten Gründen umgekehrt, das wäre gleich noch die Entstehungsgeschichte dazu.
Wird dir damit die eigentliche Beweisführung klar?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Mi 27.11.2013 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend Diophant!
Der Lösungsweg wird mir nun um einiges übersichtlicher, da ich bisher eben das Zirkumflex nicht identifizieren konnte!
Was mir jedoch noch nicht ganz ersichtlich wird ist das hier:
Es existiert ein x: x ist Element von "A [mm] \cap [/mm] B" [mm] \cap [/mm] f(x) = y
Wie soll ich das nun genau verstehen? Heißt das: x ist Element von "A und B" und ebenso Element von f(x) = y?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Mi 27.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend Diophant!
>
> Der Lösungsweg wird mir nun um einiges übersichtlicher,
> da ich bisher eben das Zirkumflex nicht identifizieren
> konnte!
> Was mir jedoch noch nicht ganz ersichtlich wird ist das
> hier:
> Es existiert ein x: x ist Element von "A [mm]\cap[/mm] B" [mm]\cap[/mm]
> f(x) = y
Das steht oben aber nicht. Da steht
$ [mm] \exists [/mm] $ x: (x $ [mm] \in [/mm] $ A $ [mm] \cap [/mm] $ B $ [mm] \wedge [/mm] $ f(x) = y)
Ich übersetze:
es existiert ein x mit den Eigenschaften
x [mm] \in [/mm] A $ [mm] \cap [/mm] $ B und f(x)=y.
FRED
> Wie soll ich das nun genau verstehen? Heißt das: x ist
> Element von "A und B" und ebenso Element von f(x) = y?
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