Frage zur Nullstelle < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Mi 15.02.2012 | | Autor: | Sin777 |
| Aufgabe | | Es sei [mm] \IF_{7}:=(\IZ/7\IZ,+,*), [/mm] f(X) = [mm] X^3 [/mm] + [mm] \overline{3}X^2 [/mm] + [mm] \overline{3}X [/mm] + [mm] \overline{3}. [/mm] Zeige f ist ist in [mm] \IF_{7}[X] [/mm] irreduzibel. |
Die Lösung war, dass wir einfach alle Restklassen modulo 7 durchgegangen sind, eingesetzt haben und gezeigt haben, dass es keine Nullstelle gibt. Und da f vom Grad 3 ist folgt daraus, dass f auch irreduzibel ist.
Meine eigentlich Frage betrifft das [mm] \IZ/7\IZ. [/mm] Wenn wir zeigen sollen dass f hier keine Nullstelle besitzt, dann setzen wir einfach alle möglichen Werte in f ein und sehen dann, dass es nie [mm] \overline{0} [/mm] ergibt. Aber wieso setzen wir hier die Restklassen [mm] \overline{1}, \overline{2}, [/mm] usw. ein und nicht [mm] \IZ [/mm] + 3 usw. (also die eigentlichen Elemente aus [mm] \IZ/7\IZ)? [/mm] Was würde das überhaupt bedeuten, wenn wir die ganze Menge einsetzen? Was wäre der unterschied wenn in der Aufgabe nicht [mm] \IZ/7\IZ [/mm] sondern [mm] 7\IZ [/mm] stehen würde?
Ich bin ein wenig verwirrt und hoffe, ihr könnt mir folgen.
Danke im Voraus
|
|
| |
|
Hallo,
> Meine eigentlich Frage betrifft das [mm]\IZ/7\IZ.[/mm] Wenn wir
> zeigen sollen dass f hier keine Nullstelle besitzt, dann
> setzen wir einfach alle möglichen Werte in f ein und sehen
> dann, dass es nie [mm]\overline{0}[/mm] ergibt. Aber wieso setzen
> wir hier die Restklassen [mm]\overline{1}, \overline{2},[/mm] usw.
> ein und nicht [mm]\IZ[/mm] + 3 usw. (also die eigentlichen Elemente
> aus [mm]\IZ/7\IZ)?[/mm] Was würde das überhaupt bedeuten, wenn wir
> die ganze Menge einsetzen? Was wäre der unterschied wenn
> in der Aufgabe nicht [mm]\IZ/7\IZ[/mm] sondern [mm]7\IZ[/mm] stehen würde?
>
> Ich bin ein wenig verwirrt und hoffe, ihr könnt mir
> folgen.
Weil das zwei Paar Stiefel sind: [mm] \IZ/7\IZ [/mm] ist hier der Restklassenkörper modulo 7, [mm] 7\IZ [/mm] ist das von 7 erzeugte Ideal über [mm] \IZ.
[/mm]
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mi 15.02.2012 | | Autor: | Sin777 |
Trotzdem würde es ja beispielsweise heißen heißen [mm] f(3+\IZ) [/mm] und nicht [mm] f(\overline{3}), [/mm] oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Mi 15.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Trotzdem würde es ja beispielsweise heißen heißen
> [mm]f(3+\IZ)[/mm] und nicht [mm]f(\overline{3}),[/mm] oder?
Du meinst vermutlich eher $3 + [mm] 7\IZ$, [/mm] oder? Das ist das gleiche wie [mm] $\overline{3}$.
[/mm]
Beides ist die Restklasse von 3 in [mm] $\IZ/7\IZ$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
|
