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Hallo.
Ich habe folgende Frage zum Buch "Lineare Algebra" von Albrecht Beutelspacher:
Auf S.37 unten steht zur Konstruktion eines Körpers mit 4 Elementen:
"Wir wissen, dass [mm]Z_4[/mm] kein Körper ist. Das bedeutet, dass K - falls ein solcher Körper überhaupt existiert - nicht nur aus den Elementen 0, 1, 1+1, 1+1+1, ... bestehen kann".
[mm]Z_4[/mm] wäre ja ein hypothetischer Körper mit 4 Elementen und der Regelung:
Multiplikation: [mm]a *_n b = (a*b) \mod 4[/mm]
Addition: [mm]a +_n b = (a+b) \mod 4[/mm]
Meine Frage ist nun: Wieso schliesst man aus der Tatsache dass [mm]Z_4[/mm] kein Körper ist darauf, dass es keinen Körper mit den gleichen Elementen wie [mm]Z_4[/mm] geben kann. Es könnte doch z.B. eine andere Regelung für die Multiplikation definiert werden, nach der die Kriterien eines Körpers erfüllt wären. Ich sehe leider nicht, wieso dies ausgeschlossen ist.
Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen.
Danke im Voraus!
MfG
Jan
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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wie sieht es mit der Möglichkeit additiv und multiplikativ Inverser aus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:43 So 19.09.2004 | | Autor: | KaiAhnung |
Hallo.
Ok, mal sehen:
Die Elemente sollen [mm]0,1,1+1,1+1+1[/mm] sein (Im Folgenden aus Faulheit als [mm]0,1,2,3[/mm] bezeichnet). Dadurch ist die Addition schon größtenteils erklärt.
Wäre [mm]3+1[/mm] irgendein anderes Element als [mm]0[/mm], so hätte keines der Elemente ein additives Inverses da man durch Addition niemals auf die [mm]0[/mm] käme. Somit muss also [mm]3+1=0[/mm] sein. Das additive Inverse jedes Elements [mm]a[/mm] muss dadurch [mm]4-a[/mm] sein. Das von [mm]2[/mm] wäre somit [mm]2[/mm].
[mm]2*(2) = 2*(1+1) = 2+2 = 0[/mm]
Dies führt zum Widerspruch, da [mm]2[/mm] nicht das Nullelement ist und somit [mm]2*2[/mm] nicht [mm]0[/mm] sein darf.
Der Körper der sich durch diese Festlegungen ergäbe wäre automatisch der hypothetische [mm]Z_4[/mm], daher darf man daraus, dass [mm]Z_4[/mm] kein Körper ist folgern, dass es keinen Körper mit genau diesen 4 Elementen gibt.
Ich hoffe, das ist so korrekt.
MfG
Jan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 So 19.09.2004 | | Autor: | Gnometech |
Gruß!
Ich kann keine Lücke in der Argumentation finden. Du hast Recht, die Schreibung der Elemente als $0, 1, 1+1, 1 + 1+1$ legt die Regeln im Grunde fest - wir haben gesagt, dass die additive Gruppe des Körpers vom Einselement erzeugt wird, also "zyklisch" ist. Die Multiplikation kann durch das Distributivgesetzt dann auf die Addition zurückgeführt werden, wie in Deinem Beispiel auch schön zu sehen.
Mit anderen Worten: so gehts. Glückwunsch. 
Lars
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Di 21.09.2004 | | Autor: | KaiAhnung |
Hallo Lars.
Danke für die Rückmeldung
MfG
Jan
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