Frage zu Stoppzeiten < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 So 29.07.2012 | | Autor: | kalor |
Hallo Forum!
Wenn ich eine Folge [mm] $(\tau_n)$ [/mm] von Stoppzeiten habe (mit [mm] $\tau_n\uparrow +\infty$ [/mm] P-f.s., so dass für ein adaptierter Prozess [mm] $H=(H_t)gilt:
[/mm]
[mm] $$E[\int_0^{\tau_n}H^2_s ds]<\infty$$
[/mm]
Wobei das innere Integral ein Lebesgue-Stieltjes Integral ist. Wieso gilt dann:
[mm] $$\int_0^t H^2_s [/mm] ds [mm] <\infty$$
[/mm]
P-f.s. für alle [mm] $t\ge [/mm] 0$?
Zudem, wenn ich eine Folge von Stoppzeiten definiere als:
[mm] $$\tau_n :=\inf\{t\ge 0|\int_0^tH^2_sds>n\}$$
[/mm]
Wieso [mm] gilt:$\{\tau_n\le t\}=\{\int_0^tH^2_sds>n\}$$
[/mm]
Danke für die Hilfe!
kAlOr
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Hiho,
> Wieso gilt dann: [mm]\int_0^t H^2_s ds <\infty[/mm] P-f.s. für alle [mm]t\ge 0[/mm]?
Sei [mm] $t\ge [/mm] 0$, dann gibt es ein [mm] $n_t \in\IN$, [/mm] so dass $t [mm] \le \tau_{n_t}$.
[/mm]
Und damit: [mm] $\int_0^t H^2_s [/mm] ds [mm] \le \int_0^{\tau_{n_t}} H^2_s [/mm] ds$
Schaffst du es damit alleine?
> Zudem, wenn ich eine Folge von Stoppzeiten definiere als:
>
> [mm]\tau_n :=\inf\{t\ge 0|\int_0^tH^2_sds>n\}[/mm]
>
> Wieso [mm]gilt:$\{\tau_n\le t\}=\{\int_0^t H^2_sds>n\}$$[/mm]
Als erster Kommentar fällt mir dazu ein: "Weil ist so!" 
[mm] $\tau_n$ [/mm] ist doch gerade genau so definiert, dass diese Gleichheit gerade gilt!
Falls nicht, versuch es dir mal klar zu machen, dass zuerst [mm] \subseteq [/mm] und dann [mm] \supseteq [/mm] gilt. Eine Richtung davon ist ja trivial, die andere aber eigentlich auch, wenn du dir klar machst, dass das Integral monoton ist.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Mo 30.07.2012 | | Autor: | kalor |
Hallöchen Gonozal
>
> Sei [mm]t\ge 0[/mm], dann gibt es ein [mm]n_t \in\IN[/mm], so dass [mm]t \le \tau_{n_t}[/mm].
>
> Und damit: [mm]\int_0^t H^2_s ds \le \int_0^{\tau_{n_t}} H^2_s ds[/mm]
>
> Schaffst du es damit alleine?
>
Damit ist doch schon alles gezeigt? Muss ich da noch etwas nachweisen?
>
> > Zudem, wenn ich eine Folge von Stoppzeiten definiere als:
> >
> > [mm]\tau_n :=\inf\{t\ge 0|\int_0^tH^2_sds>n\}[/mm]
> >
> > Wieso [mm]gilt:$\{\tau_n\le t\}=\{\int_0^t H^2_sds>n\}$$[/mm]
>
> Als erster Kommentar fällt mir dazu ein: "Weil ist so!"
>
>
> [mm]\tau_n[/mm] ist doch gerade genau so definiert, dass diese
> Gleichheit gerade gilt!
>
> Falls nicht, versuch es dir mal klar zu machen, dass zuerst
> [mm]\subseteq[/mm] und dann [mm]\supseteq[/mm] gilt. Eine Richtung davon ist
> ja trivial, die andere aber eigentlich auch, wenn du dir
> klar machst, dass das Integral monoton ist.
>
Eine Richtung ist mir klar: Wenn es ein $t$ gibt, so dass [mm] $\int_0^tH_s^2 [/mm] ds > n$ dann gilt automatisch nach definition [mm] $\tau_n\le [/mm] t$ (da [mm] $\tau_n$ [/mm] das infimum über alle diese $t$'s ist. Bei der anderen Richtung habe ich nur eine kleine Frage: Was gilt für [mm] $\tau_n$? [/mm] damit meine ich, welche Beziehung und warum ist richtig: [mm] $\int_0^{\tau_n} H^2_s [/mm] =n$, [mm] $\int_0^{\tau_n} H^2_s \ge [/mm] n$, [mm] $\int_0^{\tau_n} H^2_s \le [/mm] n$ ?
Danke, dass du dir die Zeit nimmst.
mfg
KalOR
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Hiho,
> Damit ist doch schon alles gezeigt? Muss ich da noch etwas nachweisen?
Wenn für dich damit alles klar ist, nein. Du solltest nur meine Aussage begründen (warum für jedes t so ein [mm] \tau_{n_t} [/mm] existiert) und dann kannst du das ja mal aus der Ungleichung zeigen, was du zeigen willst 
> > > Zudem, wenn ich eine Folge von Stoppzeiten definiere als:
> > >
> > > [mm]\tau_n :=\inf\{t\ge 0|\int_0^tH^2_sds>n\}[/mm]
> > >
> > > Wieso [mm]gilt:$\{\tau_n\le t\}=\{\int_0^t H^2_sds>n\}$$[/mm]
> Eine Richtung ist mir klar: Wenn es ein [mm]t[/mm] gibt, so dass
> [mm]\int_0^tH_s^2 ds > n[/mm] dann gilt automatisch nach definition
> [mm]\tau_n\le t[/mm] (da [mm]\tau_n[/mm] das infimum über alle diese [mm]t[/mm]'s ist
Ok, also gilt schonmal [mm] $\supseteq$, [/mm] bleibt [mm] $\subseteq$.
[/mm]
> Bei der anderen Richtung habe ich nur eine kleine
> Frage: Was gilt für [mm]\tau_n[/mm]? damit meine ich, welche
> Beziehung und warum ist richtig: [mm]\int_0^{\tau_n} H^2_s =n[/mm],
> [mm]\int_0^{\tau_n} H^2_s \ge n[/mm], [mm]\int_0^{\tau_n} H^2_s \le n[/mm] ?
Die Frage kannst du ohne Rechtsstetigkeit nicht beantworten. Darum wird diese meist gefordert.
Du kannst es aber anders machen und zeigen:
[mm] \{\tau_n > t\} \supseteq \{\int_0^t H^2_sds \le n\}
[/mm]
Denn daraus folgt die gewünschte Inklusion.
Und das sieht doch gleich viel einfacher aus
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Mo 30.07.2012 | | Autor: | kalor |
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> Die Frage kannst du ohne Rechtsstetigkeit nicht
> beantworten. Darum wird diese meist gefordert.
>
aber ich weiss, dass die Abbildung [mm] $t\mapsto \int_0^t H_s^2ds$ [/mm] stetig ist.
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Hiho,
> aber ich weiss, dass die Abbildung [mm]t\mapsto \int_0^t H_s^2ds[/mm]
> stetig ist.
dann hast du doch Rechtsstetigkeit und damit [mm] $\int_0^{\tau_n} H_s^2ds [/mm] = n$
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mo 30.07.2012 | | Autor: | kalor |
Hallo Gonozal
Ich danke dir wirklich für deine Hilfe!
> > aber ich weiss, dass die Abbildung [mm]t\mapsto \int_0^t H_s^2ds[/mm]
> > stetig ist.
>
> dann hast du doch Rechtsstetigkeit und damit
> [mm]\int_0^{\tau_n} H_s^2ds = n[/mm]
>
Wie genau hilft mir das jetzt die andere Inklusion zu zeigen? Ich möchte ja zeigen, dass [mm] $\{\tau_n\le t\}\subset $\{\int_0^t H^2_s ds\}$
[/mm]
Ich weiss, dass für [mm] $\tau_n\le [/mm] t$ gilt: [mm] $n=\int_0^{\tau_n}H^2_s [/mm] ds [mm] \le \int_0^tH^2_sds$
[/mm]
Ich möchte ja aber eine strikte Ungleichung.
Nochmals danke für deine Hilfe und Geduld!
mfg
KalOR
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Hiho,
wie man die andere Inklusion beweist, hatte ich dir doch schon einen Ansatz geschrieben.
Bei deinem hier aktuell, seh ich auch keinen sauberen Ansatz.
LG,
Gono.
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