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Hallo
Mir ist gerade ein Beweis untergekommen, bei welchen ich folgende Umformung nicht nachvollziehen (Ich bitte um Akzeptanz, da wir Reihen in der Schule noch nicht hatten, sie mich jedoch interessieren)
[mm] $\sum_{k=1}^{n+1}{n \choose k-1} a^{k}b^{n-k+1} [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n+1-k} [/mm] = [mm] a^{n+1} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{n}{n \choose k-1} a^{k}b^{n-k+1} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n+1-k} [/mm] + [mm] b^{n+1}$
[/mm]
Wie kommt man von der linken zur rechten Seite? Welches Gesetz wendet man an? Kann mir jemand einen Link posten?
Danke für die viele Unterstützung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 08.10.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
hier wurde eine Indexverschiebung vorgenommen 
> Hallo
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> Mir ist gerade ein Beweis untergekommen, bei welchen ich
> folgende Umformung nicht nachvollziehen (Ich bitte um
> Akzeptanz, da wir Reihen in der Schule noch nicht hatten,
> sie mich jedoch interessieren)
>
> [mm]\sum_{k=1}^{n+1}{n \choose k-1} a^{k}b^{n-k+1} + \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n+1-k} = a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}{n \choose k-1} a^{k}b^{n-k+1} + \sum_{k=1}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n+1-k} + b^{n+1}[/mm]
>
LG
Herby
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Hallo^^,
> Mir ist gerade ein Beweis untergekommen, bei welchen ich
> folgende Umformung nicht nachvollziehen (Ich bitte um
> Akzeptanz, da wir Reihen in der Schule noch nicht hatten,
> sie mich jedoch interessieren)
>
> [mm]\sum_{k=1}^{n+1}{n \choose k-1} a^{k}b^{n-k+1} + \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n+1-k} = a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}{n \choose k-1} a^{k}b^{n-k+1} + \sum_{k=1}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n+1-k} + b^{n+1}[/mm]
>
>
> Wie kommt man von der linken zur rechten Seite? Welches
> Gesetz wendet man an? Kann mir jemand einen Link posten?
vielleicht hilft dir das beispiel ein wenig weiter:
- http://de.wikipedia.org/wiki/Indexverschiebung
- http://books.google.de/books?id=nej9bbSYrsQC&pg=PA324&lpg=PA324&dq=indexverschiebung+reihen&source=bl&ots=yS6X4Ooknn&sig=zU97FsixcOAwwASYdSbhbnL7pM4&hl=de&ei=WYSvTI3GDsLCswa0lJS4DQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10&ved=0CF8Q6AEwCQ#v=onepage&q=indexverschiebung%20reihen&f=false
Ok??
LG
pythagora
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Hallo,
Danke für die Links, letzterer funktioniert bei mir jedoch leider nicht.
Könnt ihr mir eventuell noch einen Ersatzlink posten oder zeigen wie man das a^(n+1) bzw. b^(n+1) aus den Summen herausziehen kann?
Danke für eure Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Sa 09.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn die Summe bis n+1 geht, man sie aber nur bis n haben will schreibt man einfach das letzte also (n+1)te Glied einzeln auf ,
wenn sie bei 0 anfängt, und man bei 1 anfangen will schreibt man das 0 te Glied einzeln auf, das ist alles.
bei der ersten Summe ist das n+1 te Glied wenn man k=n+1 in
${n [mm] \choose [/mm] k-1} [mm] a^{k}b^{n-k+1}$ [/mm] einsetzt
also ${n [mm] \choose [/mm] n+1-1} [mm] a^{n+1}b^{n-(n+1)+1}={n \choose n} a^{n+1}b^{0}$
[/mm]
und mit ${n [mm] \choose [/mm] n}=1$ bleibt [mm] $a^{n+1}$ [/mm] übrig.
bei der zweiten Summe setz k=0 und rechne das erste Glied aus.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Platoniker |
Danke!!!!
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Hallo,
Da ich keine Rechengesetze für Fakultäten kenne, bitte ich euch erneut um Hilfe. Welche Rechenregeln für Fakultäten gibt es?
Welche Regeln bräuchte man, um zu zeigen, dass die Linke gleich der Rechten Seite ist?
[mm] \[\frac{n!\cdot k!\cdot \left( n-k \right)!+n!\cdot \left( k-1 \right)!\cdot \left[ n-k+1 \right]!}{\left( k-1 \right)!\cdot \left[ n-k+1 \right]!\cdot k!\cdot \left( n-k \right)!}=\frac{\left( n+1 \right)!}{k!\cdot \left[ \left( n+1 \right)-k \right]!}\]
[/mm]
Danke
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Huhu,
"Rechenregeln" für Fakultäten sind eben genau die Rechenregeln für die normale Multiplikation.
Letztlich musst du dir nur immer klarmachen, was eine Fakultät ist: Das Produkt aller vorherigen Zahlen.
Als Tip hier: Klammer im Zähler mal $n!*(k-1)!*(n-k)!$ aus.
MFG,
Gono.
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Hallo
Ich hoffe dies stimmt so (Beweis Additionstheorem Binomialkoefizient)
Beweis:
[mm] $\left( \begin{matrix}
n \\
k-1 \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
n+1 \\
k \\
\end{matrix} \right)=\frac{n!}{\left( k-1 \right)!\cdot \left[ n-\left( k-1 \right) \right]!}+\frac{n!}{k!\cdot \left( n-k \right)!}=\frac{\left( n+1 \right)!}{k!\cdot \left[ \left( n+1 \right)-k \right]!}$
[/mm]
[mm] \[\frac{n!\cdot k!\cdot \left( n-k \right)!+n!\cdot \left( k-1 \right)!\cdot \left[ n-\left( k-1 \right) \right]!}{\left( k-1 \right)!\cdot \left[ n-\left( k-1 \right) \right]!\cdot k!\cdot \left( n-k \right)!}=\frac{\left( n+1 \right)!}{k!\cdot \left[ \left( n+1 \right)-k \right]!}\]
[/mm]
[mm] \[\frac{n!\cdot k!\cdot \left( n-k \right)!+n!\cdot \left( k-1 \right)!\cdot \left[ n-k+1 \right]!}{\left( k-1 \right)!\cdot \left[ n-k+1 \right]!\cdot k!\cdot \left( n-k \right)!}=\frac{\left( n+1 \right)!}{k!\cdot \left[ \left( n+1 \right)-k \right]!}\]
[/mm]
[mm] \[\frac{n!\cdot \left( k-1 \right)!\cdot k\cdot \left( n-k \right)!+n!\cdot \left( k-1 \right)!\cdot \left( n-k \right)!\left( n-k+1 \right)}{\left( k-1 \right)!\cdot \left[ n-k+1 \right]!\cdot k!\cdot \left( n-k \right)!}=\frac{\left( n+1 \right)!}{k!\cdot \left[ \left( n+1 \right)-k \right]!}\]
[/mm]
[mm] \[\frac{n!\cdot \left( k-1 \right)!\cdot \left( n-k \right)!\cdot \left[ k+n-k+1 \right]}{\left( k-1 \right)!\cdot \left[ n-k+1 \right]!\cdot k!\cdot \left( n-k \right)!}=\frac{\left( n+1 \right)!}{k!\cdot \left[ \left( n+1 \right)-k \right]!}\]
[/mm]
[mm] \[\frac{n!\cdot \left( k-1 \right)!\cdot \left( n-k \right)!\cdot \left( n+1 \right)}{\left( k-1 \right)!\cdot \left[ n-k+1 \right]!\cdot k!\cdot \left( n-k \right)!}=\frac{\left( n+1 \right)!}{k!\cdot \left[ \left( n+1 \right)-k \right]!}\]
[/mm]
[mm] \[\frac{n!\cdot \left( n+1 \right)}{k!\cdot \left[ n-k+1 \right]!}=\frac{\left( n+1 \right)!}{k!\cdot \left[ \left( n+1 \right)-k \right]!}\]
[/mm]
[mm] \[\frac{\left( n+1 \right)!}{k!\cdot \left[ n-k+1 \right]!}=\frac{\left( n+1 \right)!}{k!\cdot \left[ \left( n+1 \right)-k \right]!}\]
[/mm]
Danke und Schöne Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Sa 09.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alles richtig!
Gruss leduart
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