Frage2 < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 So 15.01.2006 | | Autor: | svenchen |
Schönen Sonntag abend zusammen. Könnt ihr mir helfen?
Gegeben ist die Pyramitde mit der Spitze S(0/0/6) und der Grundfläche A'(6/0/0), B'(0/6/0) und C'(0/0/0).
Die Ebene, die durch die Punkte A(5/0/1), B(0/4/2) und C(0/0/t) geht (t zwischen 0 und 6), teilt die Pyramide in zwei Körper. Bestimmen Sie den Parameter so, dass das Volumen dieser zwei Körper gleich groß ist.
(Hinweis: Die Punkte A,B,C liegen auf den Seitenflächen der obrigen Pyramide SA'B'C' und bilden mit A,C,B,S wieder eine neue Pyramide)
Wie muss t gewählt werden, damit die Pyramide A'B'C' S in zwei gleichgroße Körper zerschitten werden?
(Bayern V 2003)
würde gerne mit folgendem Weg zum Ziel kommen.
In der Schule haben wir gelernt, dass für das Volumen einer Pyramide giilt, dass man sich 3 aufspannende Vektoren raussucht. Danach kreuzt man zwei dieser Vektoren, multipliziert das Ergebnis mit dem dritten. Danach das ganze noch mit 1/6 multiplizieren. Frage nebenbei, warum gilt die Formel?
Mit dem Ansatz hab ich dann:
Vektor AS = (-5 / 0 /5)
Vektor AB = (-5/4/1)
Vektor AC = (-5/0/t-1)
AS gekreuzt AB = (20/20/20)
(20/20/20) * (-5/0/t-1) = -100 + 20t - 20 * (1/6)
Das Volumen der Pyramide, die durch die Ebene in der Hauptpyramide A'B'C' S entsteht, brechnet sich also zu V= -100 + 20t - 20 * (1/6)
Die Hauptpyramide hat das Volumen 36. Also muss
-100 + 20t - 20 * (1/6) = 18 gelten (damit zwei gleich große Körper entstehen) --> t= 11,4
wo steckt der fehler, 11,4 kann ja schlecht sein...
danke
sven!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Mo 16.01.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Svenchen!
>
> Schönen Sonntag abend zusammen. Könnt ihr mir helfen?
>
>
> Gegeben ist die Pyramitde mit der Spitze S(0/0/6) und der
> Grundfläche A'(6/0/0), B'(0/6/0) und C'(0/0/0).
>
> Die Ebene, die durch die Punkte A(5/0/1), B(0/4/2) und
> C(0/0/t) geht (t zwischen 0 und 6), teilt die Pyramide in
> zwei Körper. Bestimmen Sie den Parameter so, dass das
> Volumen dieser zwei Körper gleich groß ist.
> (Hinweis: Die Punkte A,B,C liegen auf den Seitenflächen
> der obrigen Pyramide SA'B'C' und bilden mit A,C,B,S wieder
> eine neue Pyramide)
>
> Wie muss t gewählt werden, damit die Pyramide A'B'C' S in
> zwei gleichgroße Körper zerschitten werden?
>
> (Bayern V 2003)
>
>
>
>
> würde gerne mit folgendem Weg zum Ziel kommen.
>
> In der Schule haben wir gelernt, dass für das Volumen einer
> Pyramide giilt, dass man sich 3 aufspannende Vektoren
> raussucht. Danach kreuzt man zwei dieser Vektoren,
> multipliziert das Ergebnis mit dem dritten. Danach das
> ganze noch mit 1/6 multiplizieren. Frage nebenbei, warum
> gilt die Formel?
Das Kreuzprodukt (also der Betrag des Kreuzproduktes) gibt die Fläche des aufgespannten Parallelogramms, ich brauche für die Grundfäche nur die Hälfte, also mal 1/2.
Das Skalarprodukt gibt dann die Höhe, und das Vol. ist 1/3 mal Grundfläche mal Höhe.
> Mit dem Ansatz hab ich dann:
>
> Vektor AS = (-5 / 0 /5)
>
> Vektor AB = (-5/4/1)
>
> Vektor AC = (-5/0/t-1)
>
> AS gekreuzt AB = (20/20/20)
Ich glaube, es müßte (-20/-20/-20) heißen, aber s. u.
> (20/20/20) * (-5/0/t-1) = -100 + 20t - 20 * (1/6)
>
> Das Volumen der Pyramide, die durch die Ebene in der
> Hauptpyramide A'B'C' S entsteht, brechnet sich also zu V=
> -100 + 20t - 20 * (1/6)
>
>
> Die Hauptpyramide hat das Volumen 36. Also muss
>
> -100 + 20t - 20 * (1/6) = 18 gelten (damit zwei gleich
> große Körper entstehen) --> t= 11,4
>
> wo steckt der fehler, 11,4 kann ja schlecht sein...
Doch! Die Pyramide mit der Grundfl. ABC und der Spitze S steht dann 'auf dem Kopf' und hat das Volumen 18. Sie liegt außerhalb der Ursprungspyramide und gibt deshalb keine gesuchte Lösung.
Wenn du mit meinem Vorschlag rechnest, kommt t = 0,6 heraus, und dann ist alles paletti. Noch ein Vorschlag: Mal dir Bilder!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mo 16.01.2006 | | Autor: | svenchen |
Hallo Dieter, danke schon mal.
habe mich verschrieben. Ich habe AB X AS gerechnet. (du hast AS X AB und bist damit auf die richtige lösung gekommen). Wo liegt der Unterschied zwischen AB X AS und AS X AB und woher weiß ich, was ich rechnen soll? (Offenbar führt ja nur AS X AB auf die richtige Lösung)
danke, sven !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Mo 16.01.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Sven!
> habe mich verschrieben. Ich habe AB X AS gerechnet. (du
> hast AS X AB und bist damit auf die richtige lösung
> gekommen). Wo liegt der Unterschied zwischen AB X AS und AS
> X AB...
Wenn ihr in der Schule das Vektorprodukt benutzt (man kann auch ohne leben, aber mit ist praktischer), sollte man euch das erklärt haben. AB X AS steht senkrecht auf der von AB und AS aufgespannten Ebene, hat als Länge die Fläche des von AB und AS gebildeten Parallelogramms und zeigt in die Richtung, die aus AB, AS und AB X AS ein Rechtssystem macht wie z. B. Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand. (Du könntest das in Physik bei der Lorentz-Kraft wiederfinden.) Wenn du die Reihenfolge von AB und AS vertauschst (also Daumen und Zeigefinger rechts), dann zeigt der Mittelfinger in die entgegengesetzte Richtung, also ist AS X AB = -(AB X AS).
> ...und woher weiß ich, was ich rechnen soll? (Offenbar
> führt ja nur AS X AB auf die richtige Lösung)
Da würde ich an dein räumliches Vorstellungsvermögen appellieren oder an deine zeichnerischen Fähigkeiten...du hast ja ganz richtig gemerkt, daß deine Lösung so nicht stimmen kann und sie dann kritisch hinterfragt.
(Mathematisch gesprochen liegt der Fehler darin, daß in der Schule Flächeninhalte und Volumina unabhängig vom Drehsinn immer positiv sind.)
Hoffentlich habe ich dir geholfen und nicht noch mehr verwirrt!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:09 Mo 16.01.2006 | | Autor: | svenchen |
nein, hast mich nicht verwirrt ;)
wir haben das Spatprodukt leider nicht besprochen, sondern nur gesagt bekommen, dass man sich 3 aufspannende Vektoren aussucht und dann halt zwei kreuzt und mit dem dirtten multipliziert. Ist die Grundfläche der Pyramide ein Dreieck, muss man wohl alles noch mit 1/6 multiplizieren, sonst mit 1/3. Das war alles, was wir dazu gesagt hatten.
Dann werde ich wohl mehrere Ansätze machen. Dumm ist nur, wenn das Ergebnis falsch ist und man es nicht (wie hier) ausschließen kann.
naja mal schaun, wenn du noch Tipps hast wäre es nett, wenn du sie mir mitteilen könntest ;)
danke, sven
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:22 Do 19.01.2006 | | Autor: | matux |
Hallo svenchen!
Wir bedauern, dass Deine Frage nicht in der von dir eingestellten Fälligkeitszeit beantwortet wurde.
Der wahrscheinlichste Grund dafür ist, dass ganz einfach niemand, der dir hätte helfen können, im Fälligkeitszeitraum online war. Bitte bedenke, dass jede Hilfe hier freiwillig und ehrenamtlich gegeben wird.
Wie angekündigt gehen wir nun davon aus, dass du an einer Antwort nicht mehr interessiert bist. Die Frage taucht deswegen nicht mehr in der Liste der offenen Fragen, sondern nur noch in der Liste der Fragen für Interessierte auf.
Falls du weiterhin an einer Antwort interessiert bist, stelle einfach eine weitere Frage in dieser Diskussion.
Wir wünschen dir beim nächsten Mal mehr Erfolg! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
|
|
|
|
