Fp ist Körper <=> p ist prim < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Di 06.11.2007 | | Autor: | Damn88 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Die Menge [mm] \IF_{p} [/mm] ist ein Körper genau dann, wenn p eine Primzahl ist. Hierbei verzichten wir darauf, dass Sie das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz nachweisen müssen, falls p prim ist. |
Aus der Vorlesung: " Betrachte [mm] \IZ, [/mm] eine Zahl n >= 2
Def.: Zwei Zahlen a,b [mm] \in \IZ [/mm] heißen äquivalent, wenn a-b ein ganzzahliges Vielfaches von n ist.
Setze [mm] \IF_{n} [/mm] = [mm] \IZ_{/~}
[/mm]
Bemerkung: [mm] \IF_{n} [/mm] ist im Allg, kein Körper (mit Beispiel)
Fakt: [mm] \IF_{n} [/mm] ist Körper [mm] \gdw [/mm] n ist prim"
Beweis:
[mm] "\Rightarrow" \IF_{p} [/mm] ist Körper [mm] \Rightarrow [/mm] p ist prim (durch Widerspruch)
Sei p keine Primzahl, dann ist p=m*l mit 1<m,l<p für geeignete m,l [mm] \in \IZ. [/mm] Wegen p>m,l ist [m],[l] [mm] \not=[0], [/mm] aber [0]=[p]=[m*l]
Für einen Körper gilt jedoch: a*b = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=0 oder b=0
somit ist [mm] \IF_{p} [/mm] kein Körper, wenn p keine Primzahl ist.
geht das als Widerspruchsbeweis??
[mm] "\Leftarrow" [/mm] p ist prim [mm] \Leftarrow \IF_{p} [/mm] ist Körper
Ist p eine Primzahl und [m]*[l]=[0]=[p] mit [m],[l] [mm] \in \IF_{p}, [/mm] so folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, dass entweder [m]=[0] oder [l]=[0] ist.
Muss ich jetzt noch beweisen, dass die Körperxiome gelten?
[a],[b],[c] [mm] \in \IF_{p}
[/mm]
(A1,Assoz.) muss ich laut Aufgabenstellung nicht zeigen(warum auch immer)
[mm] (A2,neutrales)[0]\in \IF_{p} [/mm] [a]+[0]=[a+0]=[a]=[0+a]=[0]+[a]
(A3, inverses) [a] +[-a] =[a+(-a)]=[0] =[-a+a] =[-a]+[a]
(A4,Kommutativ) [a]+[b]=[a+b]=[b+a]=[b]+[a]
M1,Assoz.) mus ich nicht zeigen...:/
(M2,neutrales) [1] [mm] \in \IF_{p} [/mm] [a]*[1]=[a*1]=[a]=[1*a]=[1]*[a]
(M3, inveres) hier habe ich keine Ahnung..kann mir einer weiterhelfen?
(M4,kommutativ) [a]*[b]=[a*b]=[b*a]=[b]*[a]
(Distributivgesetz) muss ich auch nicht zeigen
Ist der Beweis so in Ordnung?
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der erste Teil ist richtig, du solltest dazusagen, dass es damit kein * Inverses zu jedem [m] gibt.
Da alle F sowieso additive Gruppen sind musst du da nix mehr beweisen.
Das einzige was du zeigen musst ist dass es zu jedem El. ein mult. Inverses gibt.
Dazu sollte man wissen : wenn ggT(a,b)=c
folgt es gibt [mm] r,s\in\IZ [/mm] mit c=r*a+s*b
und das auf c=1 anwenden.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:22 Di 06.11.2007 | | Autor: | Damn88 |
Danke danke :D
Das was du meinst ist dieser "erweiterter euklidischer Algorithmus", oder?!
Den hatten wir noch nie in der vorlesung, der Prof hats noch nicht mal erwähnt. Ich habe das nur im Internet gefunden. Gibt es wirklich keine andere Möglichkeit, dies zu zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich habs nicht durchübelegt, aber wahrschienlich geht es auch damit, alle Potenzen von m zu nehmen, davon gibts höchstens p-1, alle [mm] \ne [/mm] 0 daraus dann auf das Inverse schliessen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:47 Do 08.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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