Fouriertransformation Rechteck < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Fr 17.05.2019 | | Autor: | Bluma2k |
| Aufgabe | | Aufstellen der Fouriertransformierten der Rechteckfunktion |
Hi, ich habe eine Rechteckfunktion gegeben und möchte die Fouriertransformierte wie folgt errechnen, komme aber nicht weiter:
[mm] X(f)=2\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{e^{-2\pi_jft}_dt}
[/mm]
[mm] X(f)=\bruch{-1}{\pi jf}[e^{-2\pi jft}] [/mm] von 0 bis [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] X(f)=\bruch{-1}{\pi jf}[e^{-2\pi jf}-1]
[/mm]
[mm] X(f)=\bruch{-1}{\pi jf}[cos(2\pi [/mm] f)+j [mm] sin(-2\pi [/mm] f)-1]
[mm] X(f)=\bruch{-1}{\pi jf}cos(2\pi f)+\bruch{1}{\pi f}sin(-2\pi f)+\bruch{1}{\pi jf}
[/mm]
ab hier weiß ich jetzt nicht wirklich weiter
raus kommen soll wie bekannt [mm] si(\pi [/mm] f)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 So 19.05.2019 | | Autor: | Infinit |
Hallo Bluma2k,
mit einem ein bisschen anderen Ansatz kommst Du ans Ziel.Dein Fehler ist es, bei einer komplexwertigen Funktion bereits die Achsensymmetrie des zu transformierenden Signals auszunutzen. Deswegen kommst Du später nicht weiter.
Mache ruhig mal den klassischen Ansatz
[mm] \int_{-\bruch{1}{2}}^{\bruch{1}{2}} \exp^{-j2\pi f t} \,dt [/mm].
Da bekommt man als Integral dann
[mm] \bruch{-1}{j 2 \pi f} \exp^{-j 2 \pi f t} |^{\bruch{1}{2}}_{\bruch{-1}{2}}[/mm] oder auch
[mm] \bruch{-1}{j 2 \pi f} \big( \cos(-2 \pi f t) + j \sin (-2 \pi f t)\big) |^{\bruch{1}{2}}_{\bruch{-1}{2}}[/mm]
Setze nun mal die Grenzen ein und überlege Dir, wie es mit der Achsensymmetrie von Sinus und Cosinus aussieht. Du wirst sehen, der Cosinus hebt sich raus und der zweifache Sinus bleibt erhalten.Passe bei den vielen Minuszeichen auf, da geht schnell mal eines davon verloren.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
|
