Fourierreihe entwickeln < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Di 25.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Betrachten Sie [mm] L^2 ( \left[ - \pi, \pi \right], \mu, \methbb C ) [/mm] mit der HIlbertbasis [mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi} } \cdot e^{ikx} , k \in \mathbb Z [/mm]
und [mm] L^2 ( \left[ - \pi, \pi \right], \mu , \mathbb R ) [/mm] mit der Hilbert - Basis [mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi } } , \bruch{1}{ \wurzel{ \pi } } \cos (kx ) , \bruch{1}{ \wurzel{ \pi } } \sin (kx ) , k \in \mathbb N [/mm].
Bestimmen Sie die reelle und die komplexe Fourier - Entwicklung der Funktion
[mm]
f(x) = \left\{\begin{matrix}
1, & falls & - \pi \le x < \bruch{ - \pi }{2} & oder & 0 \le x < \bruch{ \pi }{2} \\
-1, & falls & \bruch{ - \pi }{2} \le x < 0 & oder & \bruch{ \pi }{2} \le x \le \pi
\end{matrix}\right. [/mm] |
Guten Abend alle zusammen!
Ich versuche diese Funktion zu entwickeln und muss vorab sagen, dass das mein erster Versuch ist eine Funktion in eine Fourier - Reihe zu entwickeln ... Somit wird höchswahrscheinlich einiges zu bemängeln sein 
Zur reelen Entwicklung:
Wenn ich das richtig sehe , ist meine Funktion ungerade, und somit kann ich mich auf die Berechnung der [mm] b_n [/mm] beschränken, denn [mm] [a_n [/mm] = 0 [/mm].
Richtig?
Dann ist
[mm] b_n = \bruch{1}{ \pi} \integral_{ - \pi }^{ \pi } f(x) \cdot \sin (nx) dx =
\bruch{2}[ \pi } \integral_{0}^{ \pi } f(x) \cdot \sin (nx) dx =
\bruch{2}[ \pi } ( \integral_{0}^{ \bruch{ \pi}{2} } f(x) \cdot \sin(nx) dx + \integral_{ \bruch{ \pi }{2} }^{ \pi} f(x) \cdot \sin(nx) dx )
=\bruch{2}[ \pi } ( \integral_{0}^{ \bruch{ \pi}{2} } 1 \cdot \sin(nx) dx + \integral_{ \bruch{ \pi }{2} }^{ \pi} -1 \cdot \sin(nx) dx )
=\bruch{2}[ \pi }( \left[ - \bruch{1}{n} \cos (nx) \right]_{0}^{ \bruch{ \pi}{2} }+ \left[ \bruch{1}{n} \cos(nx) \right]_{\bruch{ \pi}{2} }^{ \pi} ) = \left\{\begin{matrix}
\bruch{2}{\pi} + \bruch{2}{n}, & falls & n & gerade \\
\bruch{2}{\pi} + \bruch{1}{n}, & falls & n & ungerade
\end{matrix}\right. [/mm]
Stimmt das so ungefähr?
Nun falls das stimmt, wie schreibe ich das als eine Reihe???
Und eine weitere Frage ist, wo finde ich denn die Hilbert - Basis in meiner Rechnung wieder?
Durch die komplexe Entwicklung steige ich noch nicht richtig durch, deswegen habe ich dazu noch nichts geschrieben, dass wird innerhalb der nächsten Zeit kommen...
Ich wäre dankbar für Hilfe!
Werde mich aber aufgrund eines Urlaubs erst in der ersten Janaurwoche melden.
Frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr!
Irmchen
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Hallo!
Generell sieht das bereits gut aus, allerdings stimmt da was mit deiner Fallunterscheidung unten nicht ganz.
[mm] $\bruch{2}{ \pi }\left( \left[ - \bruch{1}{n} \cos (nx) \right]_{0}^{ \bruch{ \pi}{2} }+ \left[ \bruch{1}{n} \cos(nx) \right]_{\bruch{ \pi}{2} }^{ \pi} \right)=\bruch{2}{ \pi }\left(- \bruch{1}{n} \cos (n\frac{\pi}{2})+\frac{1}{n} +\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n}\cos (n\frac{\pi}{2})\right)=\bruch{2}{ \pi }\left(\frac{2}{n}- \bruch{2}{n} \cos (n\frac{\pi}{2}) \right)=\bruch{4}{ n\pi }\left(1- \cos (n\frac{\pi}{2}) \right)$
[/mm]
Also:
[mm]
b_n=\begin{cases}
\bruch{4}{ n\pi }, & \mbox{für } n =1, 3, 5, 7, ... \\
\bruch{8}{ n\pi }, & \mbox{für } n =2, 6, 10, 14, ...\\
0, & \mbox{für } n =4, 8, 12, 16, ...\\
\end{cases}
[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Du siehst, das ist noch ne Ecke komplizierter, da der cos die Werte +1, 0 und -1 annehmen kann. Beachte: Es gibt ungrade n, dann vielfache von 2 jedoch nicht 4, und zuletzt Vielfache von 4.
Man kann das jetzt so schreiben:
$f(x)=\sum_{k=0}^\infty \bruch{4}{ (2k+1)\pi }*\sin[(2k+1)x]+\bruch{8}{ 2*(2k+1)\pi }*\sin[2*(2k+1)x]$
Links die "ungraden", rechts "ungrade"*2 die Vielfachen von 4 gibts nicht mehr. Nachteilig ist, daß die Terme nicht mehr in aufsteigender Reihenfolge da stehen, dafür ists aber schön kurz. Wegen der dreifachen Fallunterscheidung sehe ich aber keine wiklich andere Möglichkeit, wenn man Fallunterscheidungen in der Reihe vermeiden will.
Noch was vereinfacht:
$f(x)=\sum_{k=0}^\infty \bruch{4}{ (2k+1)\pi }*\righ(\sin[(2k+1)x]+\sin[2*(2k+1)x]\left)$
Ich hoffe, ich habe mich nu selbst nicht irgendwo vertan...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Di 08.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Danke für die ausführliche Antwort! Ich habe es mir da ein wenig zu einfach gemacht.... Doch ein wenig komplizierter die reele Entwicklung .
Ich versuche mich gerade bei der komplexen Entwicklung, und obwohl ich zu hören bekomme, dass diese wohl einfacher ist, hänge ich fest...
Es kann natürlich sein ,dass ich deshalb Probleme habe, da ich zu diesem Thema leider irgendwie nicht den "Draht" habe.
Vielleicht könnte mir mal jemand unabhängig von dieser Aufgabe ein wenig erläutern, was das aufsich hat mit der Fourierreihe.. Was die ganzen Basen sollen, zum Beispiel, ich weiß das überhaupt nicht wirklich... :-( Vieleicht einen Literaturlink?
Aber jetzt zur Aufgabe:
Also ich habe diesen Ansatz:
[mm] f(x) = \bruch{1}{ \wurzel{ 2 \pi} } \summe_{ k \in \mathbb Z } \hat f (k) \cdot e^{ikx} [/mm]
wobei
[mm] \hat f (k) = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot \integral_{ \mathbb R } f(x) \cdot e^{- ikx} [/mm].
Ist dies denn überhaupt richtig? Wo zum Beispiel hier spielen die Basen eine Rolle? Kann ich die vielleicht hier schon wiederfinden?
Ich bersuche jetzt als erstes folgendes zu berechnen:
[mm] [mm] \hat f (k) = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot \integral_{ - \pi }^{\pi } f(x) \cdot e^{- ikx} dx = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot 2 \cdot \integral_{0}^{ \pi} f(x) \cdot e^{- ikx} dx =
\bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot 2 \cdot ( \integral_{0}^{ \bruch{\pi}{2} } e^{ikx} dx + \integral_{ \bruch{ \pi}{2} }^{ \pi} - e^{ikx} dx
[/mm].
So und jetzt komm ich leider nicht viel weiter.... Muss ich hier jetzt vielleicht mit der Eulerschen Formel arbeiten?
Ich habe es auf jeden Fall damit versucht , bekomme aber leider nur so einen "Rechen - Salat" und nichts richtiges heraus... :-/.
Viele Grüße
Irmchen
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Hallo!
bei der komplexen Fourierreihe blicke ich grade nicht ganz durch, aber ich kann dir mal erläutern, was das mit den Basen und so auf sich hat.
wenn du einen Vektor hast, sagen wir gleich mal [mm] \vektor{1 \\ 2 \\3 } [/mm] , wie könntest du nun rechnerisch die 2. Komponente bestimmen? Mit dem Skalarprodukt z.B., indem du mit dem zweiten Basisvektor multiplizierst:
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\3 }*\vektor{0 \\ 1 \\0 }=2
[/mm]
Dein Vektor enthält also das doppelte dieses Basisvektors.
Zu trivial? Dann betrachten wir mal eine andere Basis [mm] \vektor{4 \\ 5 \\6} [/mm] , [mm] \vektor{7 \\ 8 \\9} [/mm] , [mm] \vektor{10 \\ 11 \\12}. [/mm] Wie kannst du jetzt rausfinden, wie viele Schritte du entlang jeder dieser Basisvektoren gehen mußt? Auch hier geht es mit dem Skalarprodukt:
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\3 }*\vektor{4 \\ 5 \\6}=32
[/mm]
Doch halt, der Basisvektor hat selber die Länge
[mm] \wurzel{\vektor{4 \\ 5 \\6}*\vektor{4 \\ 5 \\6}}=\wurzel{77}
[/mm]
Damit das ganze funktioniert, müssen wir daduch noch teilen.
Die erste Komponente in der neuen Basis wäre also [mm] \frac{32}{\wurzel{77}}
[/mm]
So, und jetzt machen wir was neues.
Ein neuer Vektor: [mm] \sin(nt)
[/mm]
und ein neues Skalarprodukt: [mm] $p(t)\ast q(t)=\int_0^{2\pi}p(t)*q(t) [/mm] dt$
Zunächst kannst du zeigen, daß z.B. [mm] \sin(t) [/mm] und [mm] \sin(2t) [/mm] zwei orthogonale Vektoren sind, denn dann ist das Skalarprodukt 0:
[mm] $\int_0^{2\pi}\sin(t)*\sin(2t) dt=\left[\frac{\sin(t)}{2}-\frac{\sin(3t)}{6}\right]=0$
[/mm]
Das gilt für alle [mm] \sin(nt) [/mm] und [mm] \cos(nt) [/mm] , das sind alles orthogonale Vektoren.
Jetzt hast du eine Funktion f(t), welche du duch sin und cos ausdrücken willst (das ist der beliebige Vektor von oben!)
Und das geht genauso, wie oben, mit unserem neuen Skalarprodukt:
[mm] $\int_0^{2\pi}f(t)*\sin(t) [/mm] dt$
Das gibt uns also die Schrittzahl entlang des Vektors [mm] \sin(t) [/mm] , also die Komponente.
Und auch hier wieder die Länge: [mm] $\left| \int_0^{2\pi}\sin(t)*\sin(t) dt \right|=\pi [/mm] = T/2$ (halbe Intervalllänge)
Der eigentliche Vektor der Länge 1 ist also [mm] \frac{\sin(t)}{\wurzel{\pi}}.
[/mm]
Wenn man jetzt die Fourier-Reihe aufstellt, wäre da auch wieder dieser Faktor drin, deshalb packt man sie beide hier hin:
[mm] $\int_0^{2\pi}f(t)*\frac{\sin(t)}{\pi} dt=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(t)*\sin(t) [/mm] dt$
Das läuft also ziemlich analog zur Vektorrechnung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Di 08.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend nochmal!
Erstmal Danke für den Teil mit den Basen!
Ich habe versucht weiter zu rechene, jedoch nicht mit großem Erfolg...
Also, soweit bin ich nun gekommen:
[mm]\hat f (k) = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot \integral_{ - \pi }^{\pi } f(x) \cdot e^{- ikx} dx = \\
\bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot 2 \cdot \integral_{0}^{ \pi} f(x) \cdot e^{- ikx} dx = \\
\bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot 2 \cdot ( \integral_{0}^{ \bruch{\pi}{2} } e^{ikx} dx + \integral_{ \bruch{ \pi}{2} }^{ \pi} - e^{ikx} dx ) = \\
\bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot 2 \cdot (\integral_{0}^{ \bruch{\pi}{2} } \cos(kx) + i \cdot \sin(kx) dx + \integral_{ \bruch{ \pi}{2} }^{ \pi}- ( \cos(kx) + i \cdot \sin(kx) ) dx ) = \\
\bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot 2 \cdot (\integral_{0}^{ \bruch{\pi}{2} } \cos(kx) dx +\integral_{0}^{ \bruch{\pi}{2} } i \cdot \sin(kx) dx +
\integral_{ \bruch{ \pi}{2} }^{ \pi} - \cos(kx) dx + \integral_{ \bruch{ \pi}{2} }^{ \pi} - i \cdot \sin(kx) dx ) = \\
[/mm].
Und hier komm ich nicht weiter... Die Stammfunktionen sind kein Problem, aber später beim Einsetzen der Werte komme ich mit den k's nicht zurecht... Die sind ja ganze Zahlen und ergeben beim Sinus und Kosinus in Verbindung mir Pi verschiedene Werte... Wie gehts denn hier weiter?
Viele Grüße
Irmchen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Mi 09.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Guten Abend nochmal!
>
> Erstmal Danke für den Teil mit den Basen!
>
> Ich habe versucht weiter zu rechene, jedoch nicht mit
> großem Erfolg...
> Also, soweit bin ich nun gekommen:
>
>
>
>
> [mm]\hat f (k) = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot \integral_{ - \pi }^{\pi } f(x) \cdot e^{- ikx} dx = \\
\bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot 2 \cdot \integral_{0}^{ \pi} f(x) \cdot e^{- ikx} dx = \\
\bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot 2 \cdot ( \integral_{0}^{ \bruch{\pi}{2} } e^{ikx} dx + \integral_{ \bruch{ \pi}{2} }^{ \pi} - e^{ikx} dx ) = \\
\bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot 2 \cdot (\integral_{0}^{ \bruch{\pi}{2} } \cos(kx) + i \cdot \sin(kx) dx + \integral_{ \bruch{ \pi}{2} }^{ \pi}- ( \cos(kx) + i \cdot \sin(kx) ) dx ) = \\
\bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot 2 \cdot (\integral_{0}^{ \bruch{\pi}{2} } \cos(kx) dx +\integral_{0}^{ \bruch{\pi}{2} } i \cdot \sin(kx) dx +
\integral_{ \bruch{ \pi}{2} }^{ \pi} - \cos(kx) dx + \integral_{ \bruch{ \pi}{2} }^{ \pi} - i \cdot \sin(kx) dx ) = \\
[/mm].
Wie kommst du denn auf die erste Umformung? f(x) ist zwar ungerade, aber [mm]e^{- ikx}[/mm] ist es nicht.
Übrigens musst du den Fall k=0 getrennt betrachten, für den das Integral 0 ist.
[mm] \hat f (k) = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot \integral_{ - \pi }^{\pi } f(x) \cdot e^{- ikx} dx [/mm]
[mm] = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} }\left(
\integral_{ - \pi }^{-\pi/2} e^{- ikx} dx - \integral_{ - \pi/2 }^{0} e^{- ikx} dx
+ \integral_{ 0}^{\pi/2} e^{- ikx} dx - \integral_{ \pi/2 }^{\pi} e^{- ikx} dx \right) [/mm]
[mm] = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \bruch{i}{k} \left(
\left. e^{- ikx} \right|_{ - \pi }^{-\pi/2} - \left.e^{- ikx} \right|_{ - \pi/2 }^{0}
+\left.e^{- ikx} \right|_{ 0}^{\pi/2} - \left.e^{- ikx} \right|_{ \pi/2 }^{\pi} \right) [/mm]
[mm] = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \bruch{i}{k} \left(
(e^{ik\pi/2} - e^{ik\pi}) - (1-e^{ik\pi/2}) + (e^{-ik\pi/2}-1) - (e^{-ik\pi} - e^{-ik\pi/2})
\right)[/mm]
[mm] = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \bruch{i}{k} \left(
- e^{ik\pi} - e^{-ik\pi} +2 e^{ik\pi/2} +2 e^{-ik\pi/2} -2 \right) [/mm]
Nun ist [mm]e^{\pm i\pi} = -1[/mm] und [mm]e^{\pm i\pi/2} = \pm i[/mm], daher
[mm] \hat f (k)= \bruch{i}{ \wurzel{2 \pi} k} (-2 (-1)^k +2 i^k +2 (-i)^k -2 )
= -\bruch{2i}{ \wurzel{2 \pi} k} ( (-1)^k - i^k -(-1)^ki^k+1)
= -\bruch{2i}{ \wurzel{2 \pi} k} (1+(-1)^k) (1-i^k)[/mm]
Zusammen mit k=0 ergibt sich:
[mm] \hat f(k)= -\bruch{4i}{ \wurzel{2 \pi} k} \begin{cases} 0 & k=0 \\
(1-(-1)^{k/2}) & \text{$k$ gerade} \\
0 & {\text{$k$ ungerade} \end{cases} [/mm]
oder:
[mm] \hat f(k)= -\bruch{8i}{ \wurzel{2 \pi} k} \begin{cases} 1 & \text{$k$ ist durch 4 teilbar} \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} [/mm]
Diese Koeffizienten sind rein imaginär, wie es bei einer ungeraden Funktion auch sein muss.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Vielen Dank für die Antwort!
Ich bin absolut nicht bewandert in diesem Thema, da wir auch erst seit kurzen damit angefangen haben und noch kein Beispiel gerechnet haben bisher, deswegen habe ich arge Problem damit....
> > [mm]\hat f (k) = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot \integral_{ - \pi }^{\pi } f(x) \cdot e^{- ikx} dx = \\
\bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot 2 \cdot \integral_{0}^{ \pi} f(x) \cdot e^{- ikx} dx = \\
\bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot 2 \cdot ( \integral_{0}^{ \bruch{\pi}{2} } e^{ikx} dx + \integral_{ \bruch{ \pi}{2} }^{ \pi} - e^{ikx} dx ) = \\
\bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot 2 \cdot (\integral_{0}^{ \bruch{\pi}{2} } \cos(kx) + i \cdot \sin(kx) dx + \integral_{ \bruch{ \pi}{2} }^{ \pi}- ( \cos(kx) + i \cdot \sin(kx) ) dx ) = \\
\bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot 2 \cdot (\integral_{0}^{ \bruch{\pi}{2} } \cos(kx) dx +\integral_{0}^{ \bruch{\pi}{2} } i \cdot \sin(kx) dx +
\integral_{ \bruch{ \pi}{2} }^{ \pi} - \cos(kx) dx + \integral_{ \bruch{ \pi}{2} }^{ \pi} - i \cdot \sin(kx) dx ) = \\
[/mm].
>
> Wie kommst du denn auf die erste Umformung? f(x) ist zwar
> ungerade, aber [mm]e^{- ikx}[/mm] ist es nicht.
Tja, ich habe mir das versucht bildlich vorzustellen und habe es gezeichnet und festgestellt, dass links und recht von der y-Achse identisch ist und dachte , dass ich das so schreiben könnte... Das ist also falsch. Warum denn genau? Und wann kann ich denn diese Umformung anwenden?
> Übrigens musst du den Fall k=0 getrennt betrachten, für den
> das Integral 0 ist.
Das wusste ich nicht... Ist das immer so?
> [mm]\hat f (k) = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot \integral_{ - \pi }^{\pi } f(x) \cdot e^{- ikx} dx[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} }\left(
\integral_{ - \pi }^{-\pi/2} e^{- ikx} dx - \integral_{ - \pi/2 }^{0} e^{- ikx} dx
+ \integral_{ 0}^{\pi/2} e^{- ikx} dx - \integral_{ \pi/2 }^{\pi} e^{- ikx} dx \right)[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \bruch{i}{k} \left(
\left. e^{- ikx} \right|_{ - \pi }^{-\pi/2} - \left.e^{- ikx} \right|_{ - \pi/2 }^{0}
+\left.e^{- ikx} \right|_{ 0}^{\pi/2} - \left.e^{- ikx} \right|_{ \pi/2 }^{\pi} \right)[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \bruch{i}{k} \left(
(e^{ik\pi/2} - e^{ik\pi}) - (1-e^{ik\pi/2}) + (e^{-ik\pi/2}-1) - (e^{-ik\pi} - e^{-ik\pi/2})
\right)[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \bruch{i}{k} \left(
- e^{ik\pi} - e^{-ik\pi} +2 e^{ik\pi/2} +2 e^{-ik\pi/2} -2 \right)[/mm]
>
> Nun ist [mm]e^{\pm i\pi} = -1[/mm] und [mm]e^{\pm i\pi/2} = \pm i[/mm],
> daher
>
> [mm]\hat f (k)= \bruch{i}{ \wurzel{2 \pi} k} (-2 (-1)^k +2 i^k +2 (-i)^k -2 )
= -\bruch{2i}{ \wurzel{2 \pi} k} ( (-1)^k - i^k -(-1)^ki^k+1)
= -\bruch{2i}{ \wurzel{2 \pi} k} (1+(-1)^k) (1-i^k)[/mm]
>
> Zusammen mit k=0 ergibt sich:
>
> [mm]\hat f(k)= -\bruch{4i}{ \wurzel{2 \pi} k} \begin{cases} 0 & k=0 \\
(1-(-1)^{k/2}) & \text{$k$ gerade} \\
0 & {\text{$k$ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> oder:
>
> [mm]\hat f(k)= -\bruch{8i}{ \wurzel{2 \pi} k} \begin{cases} 1 & \text{$k$ ist durch 4 teilbar} \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Diese Koeffizienten sind rein imaginär, wie es bei einer
> ungeraden Funktion auch sein muss.
Wie soll ich das nun vertstehen... Bin bißchen durcheinander.
Der Bruch vor der geschweiften Klammer wird dann für die passenden k's mit 1 oder 0 multipliziert?
Noch eine kurze Frage:
Welchen Ansatz verfolge ich, wenn ich so eine komplexe Entwicklung machen muss? Und für k = 0 muss ich immer extra rechnen? Warum genau?
Viele Grüße
Irmchen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Mi 09.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Tja, ich habe mir das versucht bildlich vorzustellen und
> habe es gezeichnet und festgestellt, dass links und recht
> von der y-Achse identisch ist und dachte , dass ich das so
> schreiben könnte... Das ist also falsch. Warum denn genau?
Nein, da hast du falsch gezeichnet: die Funktion ist nicht achsensymmetrisch (das wäre [mm]f(-x)=f(x)[/mm]) sondern punktsymmetrisch ([mm]f(-x)=-f(x)[/mm].
- erst +1 von [mm]-\pi[/mm] bis [mm]-\pi/2[/mm]
- dann -1 von [mm]-\pi/2[/mm] bis [mm]0[/mm]
- dann wieder +1 von 0 bis [mm]+\pi/2[/mm]
- dann wieder -1 von [mm]+\pi/2[/mm] bis [mm]+\pi[/mm]
> Und wann kann ich denn diese Umformung anwenden?
Wenn der Integrand [mm]f(x)*e^{-ikx}[/mm] sind bei der Substitution [mm]k\rightarrow -k[/mm] nicht ändert.
> > Übrigens musst du den Fall k=0 getrennt betrachten, für den
> > das Integral 0 ist.
>
> Das wusste ich nicht... Ist das immer so?
Nein, aber bei der gegebenen Funktion kommst du beim Einsetzen von k=0 nach dem Integrieren auf den unbestimmten Ausdruck [mm]\bruch{0}{0}[/mm].
>
> > [mm]\hat f (k) = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot \integral_{ - \pi }^{\pi } f(x) \cdot e^{- ikx} dx[/mm]
>
> >
> > [mm]= \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} }\left(
\integral_{ - \pi }^{-\pi/2} e^{- ikx} dx - \integral_{ - \pi/2 }^{0} e^{- ikx} dx
+ \integral_{ 0}^{\pi/2} e^{- ikx} dx - \integral_{ \pi/2 }^{\pi} e^{- ikx} dx \right)[/mm]
>
> >
> > [mm]= \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \bruch{i}{k} \left(
\left. e^{- ikx} \right|_{ - \pi }^{-\pi/2} - \left.e^{- ikx} \right|_{ - \pi/2 }^{0}
+\left.e^{- ikx} \right|_{ 0}^{\pi/2} - \left.e^{- ikx} \right|_{ \pi/2 }^{\pi} \right)[/mm]
>
> >
> > [mm]= \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \bruch{i}{k} \left(
(e^{ik\pi/2} - e^{ik\pi}) - (1-e^{ik\pi/2}) + (e^{-ik\pi/2}-1) - (e^{-ik\pi} - e^{-ik\pi/2})
\right)[/mm]
>
> >
> > [mm]= \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \bruch{i}{k} \left(
- e^{ik\pi} - e^{-ik\pi} +2 e^{ik\pi/2} +2 e^{-ik\pi/2} -2 \right)[/mm]
>
> >
> > Nun ist [mm]e^{\pm i\pi} = -1[/mm] und [mm]e^{\pm i\pi/2} = \pm i[/mm],
> > daher
> >
> > [mm]\hat f (k)= \bruch{i}{ \wurzel{2 \pi} k} (-2 (-1)^k +2 i^k +2 (-i)^k -2 )
= -\bruch{2i}{ \wurzel{2 \pi} k} ( (-1)^k - i^k -(-1)^ki^k+1)
= -\bruch{2i}{ \wurzel{2 \pi} k} (1+(-1)^k) (1-i^k)[/mm]
>
> >
> > Zusammen mit k=0 ergibt sich:
> >
> > [mm]\hat f(k)= -\bruch{4i}{ \wurzel{2 \pi} k} \begin{cases} 0 & k=0 \\
(1-(-1)^{k/2}) & \text{$k$ gerade} \\
0 & {\text{$k$ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > oder:
> >
> > [mm]\hat f(k)= -\bruch{8i}{ \wurzel{2 \pi} k} \begin{cases} 1 & \text{$k$ ist durch 4 teilbar} \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Diese Koeffizienten sind rein imaginär, wie es bei einer
> > ungeraden Funktion auch sein muss.
>
> Wie soll ich das nun vertstehen... Bin bißchen
> durcheinander.
Der Realteil der Koeffizienten der komplexen Fourierreihe entspricht den reellen Koeffizienten [mm]a_n[/mm], der Imaginärteil den [mm]b_n[/mm]. Da steckt kein Geheimnis dahinter, sondern die Beziehung
[mm] e^{-ikx} = \sin(kx)-i\cos(kx) [/mm]
> Der Bruch vor der geschweiften Klammer wird dann für die
> passenden k's mit 1 oder 0 multipliziert?
Genau!
> Noch eine kurze Frage:
> Welchen Ansatz verfolge ich, wenn ich so eine komplexe
> Entwicklung machen muss?
Im Zweifelsfall das Integral stur ausrechnen. Und lass dich nicht durch die komplexen Zahlen verwirren: die Integration funktioniert ganz genauso.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Do 10.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Nur eine kurze Nachfrage:
Mit dieser ganzen Vorarbeit, müsste die endgültige komplexe Fourierentwicklung als Endergebnis folgenderweise ausschauen:
[mm] f(x) = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi } } \summe_{ k \in \mathbb Z } -\bruch{8i}{ \wurzel{2 \pi} k} e^{ikx} [/mm]
für k, die durch 4 teilbar sind.
Ist das so richtig?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Do 10.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Mit dieser ganzen Vorarbeit, müsste die endgültige komplexe
> Fourierentwicklung als Endergebnis folgenderweise
> ausschauen:
>
> [mm]f(x) = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi } } \summe_{ k \in \mathbb Z } -\bruch{8i}{ \wurzel{2 \pi} k} e^{ikx}[/mm]
>
> für k, die durch 4 teilbar sind.
>
> Ist das so richtig?
Fast 
EDIT: Erst einmal habe ich mich vertan und es sind nur die nicht durch 4 teilbaren geraden k, für die die Koeffizienten ungleich 0 sind.
Der Term für k=0 ist in deiner Summe enthalten; der muss ausgenommen werden. Du hast also:
[mm]f(x) = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi } } \summe_{ k \in 4\mathbb Z\red{+2} } -\bruch{8i}{ \wurzel{2 \pi} k} e^{ikx} = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi } } \summe_{ k \in \mathbb Z } -\bruch{8i}{ \wurzel{2 \pi}\red{(4 k+2)}} e^{\red{(4k+2)}ix}[/mm]
Daraus kannst du ganz reinfach die reelle Darstellung bekommen, in dem du die Summe in die zwei Teile für [mm]k>0[/mm] und [mm]k<0[/mm] zerlegst:
[mm] f(x) = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi } } \summe_{ k \in 4\mathbb N_0+2} -\bruch{8i}{ \wurzel{2 \pi} k} e^{ikx} + \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi } } \summe_{ k \in 4\mathbb N_0+2} -\bruch{8i}{ \wurzel{2 \pi} (-k)} e^{i(-k)x} [/mm]
[mm] = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi } } \summe_{ k \in 4\mathbb N_0+2} -\bruch{8i}{ \wurzel{2 \pi} k} (e^{ikx}-e^{-ikx})[/mm]
[mm] = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi } } \summe_{ k \in 4\mathbb N_0+2} -\bruch{8i}{ \wurzel{2 \pi} k} 2i\sin(kx) [/mm]
[mm] = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi } } \summe_{ k \in 4\mathbb N_0+2} \bruch{16}{ \wurzel{2 \pi} k} \sin(kx)[/mm]
[mm] = \bruch{1}{\wurzel{ \pi } }\summe_{ k \in 4\mathbb N_0+2} \bruch{8}{ \wurzel{\pi} k} \sin(kx)[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 01:15 Fr 11.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen,
Da war doch noch ein Fehler in meiner Rechnung, es muss heissen:
[mm]\hat f(k)= -\bruch{8i}{ \wurzel{2 \pi} k} *\begin{cases} 1 & \text{$k$ ist \red{nicht} durch 4 teilbar} \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}[/mm]
Sorry und viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Mi 09.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Vielleicht könnte mir mal jemand unabhängig von dieser
> Aufgabe ein wenig erläutern, was das aufsich hat mit der
> Fourierreihe.. Was die ganzen Basen sollen, zum Beispiel,
> ich weiß das überhaupt nicht wirklich... :-( Vieleicht
> einen Literaturlink?
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier und hier.
> Aber jetzt zur Aufgabe:
> Also ich habe diesen Ansatz:
>
> [mm]f(x) = \bruch{1}{ \wurzel{ 2 \pi} } \summe_{ k \in \mathbb Z } \hat f (k) \cdot e^{ikx}[/mm]
> wobei
> [mm]\hat f (k) = \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} } \cdot \integral_{ \mathbb R } f(x) \cdot e^{- ikx} [/mm].
>
> Ist dies denn überhaupt richtig? Wo zum Beispiel hier
> spielen die Basen eine Rolle? Kann ich die vielleicht hier
> schon wiederfinden?
Ja, sogar unmittelbar:
[mm]f(x) = \bruch{1}{ \wurzel{ 2 \pi} } \summe_{ k \in \mathbb Z } \hat f (k) \cdot e^{ikx}[/mm]
Das ist nichts Anderes als die Darstellung von f(x) als Linearkombination der Basisvektoren [mm] \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi} }e^{- ikx} [/mm].
Jede Funktion aus [mm]L^2([-\pi,+\pi],\mu,\IC)[/mm], also jede über dem Intervall [mm][-\pi,+\pi][/mm] quadratintegrable komplexwertige Funktion lässt sich so darstellen.
Die Funktionen aus [mm]L^2([-\pi,+\pi],\mu,\IR)[/mm], also die über dem Intervall [mm][-\pi,+\pi][/mm] quadratintegrablen reellwertigen Funktionen lässt sich also Linearkombination der reellen Hilbertbasis darstellen.
Nun sind Real- und Imaginärteil einer quadratintegrablen komplexwertigen Funktion jeweils quadratintegrable reellwertige Funktionen; daher gibt es eine direkte Beziehung zwischen beiden Darstellungen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
O.k jetzt bin ich dabei das besser zu verstehen... Aus der Vorlesung weiß ich, dass es unterschiedliche Basen gibt.... Woher weiß ich denn welche ich benutzen muss... An dem Intervall? Sorry, ich weiß, dass ist ne bestimmt blöde Frage, aber leider muss ich diese Stellen... :-(.
Z.B hatten wir in der Vorleusung erwähnt, dass
[mm] e^{2 \pi i k x }, \ k \in \mathbb Z [/mm] eine Hilbertbasis für [mm]
L^2 ( \left[0,1 \right], \mu, \mathbb C ) [/mm] bilden...
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Mi 09.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Hallo!
>
> O.k jetzt bin ich dabei das besser zu verstehen... Aus der
> Vorlesung weiß ich, dass es unterschiedliche Basen gibt....
> Woher weiß ich denn welche ich benutzen muss... An dem
> Intervall? Sorry, ich weiß, dass ist ne bestimmt blöde
> Frage, aber leider muss ich diese Stellen... :-(.
> Z.B hatten wir in der Vorleusung erwähnt, dass
>
> [mm]e^{2 \pi i k x }, \ k \in \mathbb Z[/mm] eine Hilbertbasis für [mm]
L^2 ( \left[0,1 \right], \mu, \mathbb C )[/mm] bilden...
Das heisst doch, dass das Skalarprodukt zweier unterschiedlicher Basisvektoren 0 ist, also
[mm] \integral_0^1 \overline{e^{2 \pi i k x}} * e^{2 \pi i l x} dx = \begin{cases} 0, & k\not=l\\ 1, & k=l \end{cases}[/mm]
Wenn du in diesem Integral eine lineare Substitution [mm]z=(b-a)x+a[/mm] vornimmst, so hast du:
[mm] \bruch{1}{b-a}\integral_a^b \overline{e^{2 \pi i k (z-a)/(b-a)}} e^{2 \pi i l(z-a)/(b-a)} \,dz = \begin{cases} 0, & k\not=l\\ 1, & k=l \end{cases}[/mm]
Also ist
[mm] \bruch{1}{\wurzel{|b-a|}} e^{2 \pi i k (z-a)/(b-a)} [/mm]
eine Hilbertbasis für [mm]L^2 ( \left[a,b \right], \mu, \mathbb C )[/mm].
Jetzt setze [mm]a=-\pi[/mm], [mm]b=+\pi[/mm] ein, und du bekommst:
[mm] \bruch{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ik(z+\pi)} = \bruch{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ikz}*e^{ik\pi} = \bruch{(-1)^k}{\sqrt{2\pi}} e^{ikz} [/mm]
Beim Quadrieren fällt der Faktor [mm](-1)^k[/mm] weg, daher sind auch [mm]\bruch{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ikz} [/mm] eine Hilbertbasis.
Wenn du statt dessen [mm]a=0[/mm], [mm]b=2\pi[/mm] einsetzt, bekommst du sofort.
[mm] \bruch{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ikz} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 00:05 Mi 09.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
ein kleiner Fehler: [mm]\cos(n\pi)=(-)^n[/mm], daher
> [mm]\bruch{2}{ \pi }\left( \left[ - \bruch{1}{n} \cos (nx) \right]_{0}^{ \bruch{ \pi}{2} }+ \left[ \bruch{1}{n} \cos(nx) \right]_{\bruch{ \pi}{2} }^{ \pi} \right)=\bruch{2}{ \pi }\left(- \bruch{1}{n} \cos (n\frac{\pi}{2})+\frac{1}{n} +\red{(-1)^n}\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n}\cos (n\frac{\pi}{2})\right)=\bruch{2}{ n\pi }\left(1+(-1)^n- 2 \cos (n\frac{\pi}{2}) \right)[/mm]
Dann ist [mm]b_n=0[/mm], außer wenn n durch 4 teilbar ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Do 10.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo !
Es tut mir leid, aber meine Fragen in dieser Aufgabe nehmen leider kein Ende... :-(.
Eine Unklarheit habe ich bezüglich der reellen Entwicklung noch. Und zwar:
nach dem Korrekturhinweis bin ich mir jetzt unsicher bezüglich des Endergebnisses.
Nach meiner Rechnung muss jetzt auch noch für die ungeraden n die [mm] b_n [/mm] auch Null ergeben.
Kann das sein?
Wenn ja, dann muss doch in der angegebenen Reihe der erste Term doch wegfallen, und das Endergbnis doch das sein:
[mm]f(x)=\sum_{k=0}^\infty \bruch{8}{ 2*(2k+1)\pi }*\sin[2*(2k+1)x][/mm]
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Do 10.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Hallo !
>
> Es tut mir leid, aber meine Fragen in dieser Aufgabe nehmen
> leider kein Ende... :-(.
>
> Eine Unklarheit habe ich bezüglich der reellen Entwicklung
> noch. Und zwar:
> nach dem Korrekturhinweis bin ich mir jetzt unsicher
> bezüglich des Endergebnisses.
> Nach meiner Rechnung muss jetzt auch noch für die ungeraden
> n die [mm]b_n[/mm] auch Null ergeben.
Richtig.
> Kann das sein?
> Wenn ja, dann muss doch in der angegebenen Reihe der
> erste Term doch wegfallen, und das Endergbnis doch das
> sein:
>
> [mm]f(x)=\sum_{k=0}^\infty \bruch{8}{ 2*(2k+1)\pi }*\sin[2*(2k+1)x][/mm]
Das stimmt nicht ganz. Schauen wir uns die Koeffiziente [mm]b_n[/mm] genau an!
(Übrigens stimmt der Vorfaktor nicht ganz, weil in der Aufgabe die reelle Hilbertbasis als
[mm]\bruch{1}{\wurzel{\pi}} \sin(kx)[/mm], [mm]\bruch{1}{\wurzel{\pi}} \cos (kx)[/mm]
angegeben ist. Durch den Vorfaktor [mm]\bruch{1}{\wurzel{\pi}}[/mm] bei den Basisfunktionen steht bei der Definition der [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] der Vorfaktor [mm]\bruch{1}{\wurzel{\pi}}[/mm] statt [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm]. Das ist reine Konvention; leider macht es jeder anders, sodass man immer genau aufpassen muss, wenn man eine Formelsammlung benutzt.)
[mm] b_n = \bruch{2}{ n\wurzel{\pi} }\left(1+(-1)^n- 2 \cos (n\frac{\pi}{2}) \right) [/mm]
EDIT: Korrektur: (Dank an theD für's Finden):
Für ungerade n und für gerade n, die durch 4 teilbar sind, ist das 0. Auch [mm]b_0=0[/mm].
Es bleibt also:
[mm] f(x)=\sum_{k=0}^\infty \bruch{8}{ \red{2(2k+1)}\wurzel{\pi} }*\sin[\red{2*(2k+1)}x][/mm]
Das ist das gleiche Ergebnis wie bei der komplexen Fourierreihe.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 Do 10.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Vielen vielen Dank für die Mühe!!!!!
Viele Grüße
Irmchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Do 10.01.2008 | | Autor: | theD |
Als eigentlich stiller Mitleser (übrigens auch von meiner Seite aus Danke )
hab ich jetzt aber doch eine Frage:
ich komme (bei Deiner Lösung) auf ungleich 0, wenn n gerade, aber nicht durch 4 teilbar, denn durch 4 teilbare führen doch zu 2k [mm] \pi [/mm] und damit zu cos = 1 und somit zu 1+1-2, oder wo vertue ich mich jetzt (langsam durch den Wind bin)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Fr 11.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Als eigentlich stiller Mitleser (übrigens auch von meiner
> Seite aus Danke )
> hab ich jetzt aber doch eine Frage:
> ich komme (bei Deiner Lösung) auf ungleich 0, wenn n
> gerade, aber nicht durch 4 teilbar, denn durch 4 teilbare
> führen doch zu 2k [mm]\pi[/mm] und damit zu cos = 1 und somit zu
> 1+1-2, oder wo vertue ich mich jetzt (langsam durch den
> Wind bin)
Nein, diesmal bin ich durch den Wind, und das gleich zweimal...
Sorry, ich korrigiere es gleich.
Danke,
Rainer
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