Fourierreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es ist f(x) = A [mm] cos\bruch{x}{2} [/mm] für 0 < x < [mm] \pi [/mm] und es gelte weiter f(x) = -f(-x) und f(x) = f(x + [mm] 2\pi).
[/mm]
Wie lautet die Fourierreihe? |
Hallo,
ich muss ganz ehrlich zu geben, das ich bei diesem Thema kein wort verstanden habe. Ich finde dutzende Formeln in meinen Skript, jedoch komme zu keinem Ergebnis. Habe lediglich herausgefunden, das es sich um eine ungerade Funktion handelt.
Hilfe...^^
Ich habe diese Frage in noch keinem weiteren Forum gestellt.
Gruss
Joker1223
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> Es ist f(x) = A [mm]cos\bruch{x}{2}[/mm] für 0 < x < [mm]\pi[/mm] und es
> gelte weiter f(x) = -f(-x) und f(x) = f(x + [mm]2\pi).[/mm]
> Wie lautet die Fourierreihe?
Hallo,
lies doch mal den wikipedia-Artikel zur Fourierreihe durch bis inkl. "Allgemeine Form".
Die Fourierreihe kann man für gewisse periodische Funktionen aufstellen, und mit einer solchen sollst Du Dich in Deiner Aufgabe beschäftigen.
Gegeben ist Dir eine [mm] 2\pi-Funktion. [/mm] Woran erkennst Du das?
Selbst erkannt hast Du, daß die Funktion ungerade ist.
Nun stell doch erstmal über dem Intervall [mm] [-\pi, \pi] [/mm] die Funktionsvorschrift auf, damit Du die Fuktion greifbar vor Dir liegen hast:
[mm] f(x):=\begin{cases} A*cos\bruch{x}{2}, & \mbox{für } 0\le x\le\pi \\ ..., & \mbox{für } -\pi\le x<0 \end{cases}
[/mm]
(Die Funktionsgleichung für den zweiten Abschnitt mußt Du Dir anhand der Vorgabe f(x)=-f(-x) überlegen.
Obiges gibt wie gesagt die Funktion über dem Intervall [mm] [-\pi,\pi], [/mm] also über einer Periode. Wenn Du nun rechts und links in Gedanken lauter solche "Schnippel" anklebst, hast Du die [mm] 2\pi-periodische [/mm] Funktion f.
Eine Skizze ist keinesfalls schädlich!
Dies Funktion kann man in eine Fourierreihe entwickeln. (Was ist das?)
Nun könntest Du zumindest mal die Formeln, die benötigt werden, zusammenstellen. Dann kann man weitersehen.
Gruß v. Angela
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Hallo,
den wikipedia beitrag zu fourierreihen habe ich schon mehrmals gelesen. auch andere erklärungen von universitäten und fachhochschulen.
doch ganz ehrlich verstehe nur bahnhof.
woran erkenne ich das das eine 2 [mm] \pi [/mm] funktion ist?
wieso ist der intervall [mm] [-\pi,\pi]? [/mm] 0 < x < [mm] \pi [/mm] ist doch gegeben in der aufgabe?
versteh kein wort :(
gruss
joker1223
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> Hallo,
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> den wikipedia beitrag zu fourierreihen habe ich schon
> mehrmals gelesen. auch andere erklärungen von
> universitäten und fachhochschulen.
> doch ganz ehrlich verstehe nur bahnhof
Hallo,
wie kann man Dir jetzt helfen?
Wenn ich in den blauen Dunst hinein erkläre, dann besteht die große Gefahr, daß meine Erklärungen ebenfalls zu Bahnhof werden.
Vorschlag: gibt den wikipedia Artikel mal in eigenen Formulierungen so weit wieder, wie Du folgen kannst, und artikuliere dort, wo Du abgehängt wirst, genau das problem, welches Du an der entsprechenden Stelle hast.
> woran erkenne ich das das eine 2 [mm]\pi[/mm] funktion ist?
Ist Dir denn anschaulich klar, was eine periodische Funktion ist?
Bei einer [mm] 2\pi-periodischen [/mm] Funktion ist der Funktionswert an einer beliebigen Stelle a derselbe wie an der Stelle, die [mm] 2\pi [/mm] weiter ist.
Welche der Dir vorliegenden Informationen teilt genau diesen Sachverhalt mit.
> wieso ist der intervall [mm][-\pi,\pi]?[/mm] 0 < x < [mm]\pi[/mm] ist doch
> gegeben in der aufgabe?
> versteh kein wort :(
Ja, manchmal hilft nur sehr langsames Studieren des Textes:
Es ist angegeben, wie die Funktion zwischen 0 und [mm] \pi [/mm] aussieht.
Es ist angegeben, daß sie [mm] 2\pi-periodisch [/mm] ist. Dir fehlt für eine komplette Periode also noch die Hälfte.
Die fehlende Hälfte kannst Du Dir aus der Information, daß die Funktion ungerade ist, bauen.
Gruß v. Angela
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Hallo,
In der praktischen Anwendung wird man die Reihe häufig nach endlich vielen Reihengliedern abbrechen. Man erhält dann nur eine Approximation von f in Form eines trigonometrischen Polynoms.
Versteh ich kein Wort...
Diese endliche Summe wird dann Teilsumme fn(t) der Fourierreihe genannt. Das so entstehende trigonometrische Polynom ist, unter allen trigonometrischen Polynomen der gleichen Struktur, dasjenige mit minimalem mittleren quadratischen Fehler zur ursprünglichen Funktion f.
???
wo stehen denn diese trigonometrischen polynome?
das sind doch bestimmt festgelegte....
gruss
joker1223
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Do 26.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> In der praktischen Anwendung wird man die Reihe häufig
> nach endlich vielen Reihengliedern abbrechen. Man erhält
> dann nur eine Approximation von f in Form eines
> trigonometrischen Polynoms.
> Versteh ich kein Wort...
das brauchst Du hier auch (noch) nicht zu wissen. Aber wenn Du es wissen willst, solltest Du nachgucken, was per Definitionem ein trigonometrisches Polynom ist (das sind (endliche) Linearkombinationen von $x [mm] \mapsto \sin(n*x)$ [/mm] und $x [mm] \mapsto \cos(n*x)$, [/mm] $n [mm] \in \IN_0$; [/mm] bspw. wäre [mm] $t(x):=3+2*\sin(x)+5*\sin(7x)+(-2)*\cos(3x)+12*\cos(100x)$ [/mm] ein ![[]](/images/popup.gif) trigonometrisches Polynom - und wenn Du den Wiki-Artikel genau liest, siehst Du auch, dass ich die angesprochene andere Betrachtung, also nur die [mm] "$2\pi$-periodische [/mm] Betrachtung" hier meine!), und was eine Reihe mit der Folge ihrer Teilsummen zu tun hat (so wird eigentlich eine Reihe erstmal definiert!). Das man periodische Funktionen (die stückweise stetig sind) mithilfe der Fourierreihe approximieren kann, ist ein fundamentales Ergebnis der Analysis (so etwas findest Du auch in dem Skript in der anderen Antwort von mir bzgl. einer anderen Frage).
> Diese endliche Summe wird dann Teilsumme fn(t) der
> Fourierreihe genannt. Das so entstehende trigonometrische
> Polynom ist, unter allen trigonometrischen Polynomen der
> gleichen Struktur, dasjenige mit minimalem mittleren
> quadratischen Fehler zur ursprünglichen Funktion f.
> ???
Siehe oben: Das sind fundamentale Ergebnisse, die man z.B. im [mm] $L^2$ [/mm] etc. verwenden kann. Für eine Fourierreihe einer (stückweise) stetigen Funktion nur zu entwickeln, brauchst Du das nicht. Es ist nur so, dass man die Fourierreihe oft z.B. wegen solcher Eigenschaften entwickelt. Denn ich kann mir aus irgendeiner Funktion auch irgendeine andere bauen, ohne, dass das dann einen Sinn hat. DIese Abschnitte erklären eigentlich den Sinn und Zweck der Fourierreihenentwicklung! Aber um die Fourierreihe selbst aufzustellen, brauchst Du nur in die Formel(n) einsetzen und ein wenig Integralrechnung betreiben.
> wo stehen denn diese trigonometrischen polynome?
> das sind doch bestimmt festgelegte....
S.o.
Bzgl. Deiner Aufgabe war:
[mm] $$f(x)=A*\cos(x/2) \text{ für }0 [/mm] < x < [mm] \pi$$
[/mm]
und wegen [mm] $\,f(-x)=-f(x)$ [/mm] (für alle [mm] $x\,$) [/mm] ist
[mm] $$f(-x)=-A*\cos(x/2) \text{ für }0 [/mm] < x < [mm] \pi$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$f(x)=-A*\cos(-x/2)=-A*\cos(x/2) \text{ für }-\pi [/mm] < x < [mm] 0\,.$$
[/mm]
Du siehst: [mm] $f(k*\pi)$ [/mm] für $k [mm] \in \IZ$ [/mm] ist hier nicht definiert, aber das ist für die Fourierreihenentwicklung egal. Du kannst die Funktion an diesen Stellen beliebig ersetzen, wegen der [mm] $2\pi$-Periodizität [/mm] allerdings immer mit dem gleichen (einmal gewählten) Wert.
Jetzt zur Fourierreihenentwicklung:
Bei Wiki steht doch alles, was Du brauchst. Du musst die [mm] $a_k$ [/mm] für $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] und die [mm] $b_k$ [/mm] für $k [mm] \in \IN$ [/mm] berechnen. Bei Dir oben ist die Periode [mm] $T=2\pi\,,$ [/mm] also [mm] $\omega=2\pi/T\;$ [/mm] (=2) [mm] $\blue{=1}$ [/mm] (Dank an Gono für das aufmerksame mitlesen und den Korrekturhinweis!) und damit sind nur (für z.B. [mm] $c=-\pi$ [/mm] im Wiki-Artikel)
[mm] $$a_k=\frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^{-\pi+2\pi}f(t)\cos(k*1*t)dt=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(kt)dt,\;\;k \in \IN_0$$
[/mm]
und
[mm] $$b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(kt)dt,\;\;k \in \IN$$
[/mm]
zu berechnen.
Trivial:
Weil hier $t [mm] \mapsto f(t)*\cos(kt)$ [/mm] ungerade ist [mm] ($f\,$ [/mm] ist ungerade und [mm] $\cos$ [/mm] ist gerade!), sind offenbar alle [mm] $a_k=0$ [/mm] (man kann es, wenn man der Geometrie keinen Glauben schenkt, alleine durch zersplitten von [mm] $\int_{-\pi}^\pi=\int_{-\pi}^0+\int_0^\pi$ [/mm] nachrechnen!).
Zu den [mm] $b_k$:
[/mm]
[mm] $$\pi b_k=\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin(kt)dt=\int_{-\pi}^0 f(t)\sin(kt)dt+\int_0^\pi A*\cos(t/2)*\sin(kt)dt=2*\int_0^\pi A*\cos(t/2)*\sin(kt)dt\,,$$
[/mm]
wobei man letztere Gleichung formal nachweist, indem man in [mm] $\int_{-\pi}^0 f(t)\sin(kt)dt$ [/mm] z.B. $y:=-t$ substituiert (aber es ist auch geometrisch unmittelbar klar).
Zu [mm] $\int_0^\pi A*\cos(t/2)*\sin(kt)dt=A*\int_0^\pi \cos(t/2)*\sin(kt)dt\,$:
[/mm]
Das sieht mir nach partieller Integration aus, und vll. hilft dabei irgendwann sowas wie
[mm] $$\sin(t)=\sin(t/2\;+\;t/2)=2*\sin(t/2)\cos(t/2)\,.$$
[/mm]
Ich selber würde das ganz übrigens eher über die komplexe Darstellung der Fourierreihe mit den komplexen Fourierkoeffizienten
[mm] $$c_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-ikt}dt$$
[/mm]
rechnen; natürlich auch durch Aufsplittung [mm] $\int_{-\pi}^\pi=\int_{-\pi}^0+\int_0^\pi\,.$ [/mm] Zudem kann man dabei nämlich [mm] $\cos(t/2)=\frac{e^{it/2}+e^{-it/2}}{2}$ [/mm] benutzen, und erspart sich, irgendwelche trigonometrischen Formeln (die man durchaus auch elementargeometrisch herleiten kann) nachzugucken, sofern man mit der exp-Funktion rechnen kann.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 03:26 Do 26.08.2010 | | Autor: | joker1223 |
versteh es immer noch net -.-
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Hallo,
Deine Mitarbeit ist nicht konstruktiv.
Wie soll man darauf reagieren?
Wir müssen wissen, wie weit Du verstehst, und was Du weshalb nicht vestehst, damit wir einen Eindruck davon bekommen, ob es an fundamentalen Kenntnissen mangelt, eine Definition nicht verstanden oder nicht nachgeschlagen wurde, oder ob es einfach ein kl. Mißverständnis gibt.
Die Antwort soll ja passen.
Ein lapidares "ich versteh's nicht" auf die ausführliche Antwort, welche Marcel in seiner Freizeit viel Zeit und Mühe gekostet hat, zeugt nicht von einer ernsthaften Auseinandersetzung mit dem Text. Wenn diese nicht stattfindet, ist jedes Post für die Tonne...
Wir können auf dem Silbertablett servieren, aber die Häppchen nehmen, kauen und verdauen mußt Du selbst. Wäre ja auch eklig, wenn wir das für Dich täten...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:58 Do 26.08.2010 | | Autor: | joker1223 |
Entschuldigung das ich kein mathestudent oder änhliches bin.
wenn ich desinteresse daran hätte würde ich mich wohl net seit 4 wochen mit dein ganzen stoff befassen.
es geht schon los bei den trigonometrischen funktionen.
in der einen antwort vorhin standen dutzende formeln, aber irgendwie kein richtiger weg oder ähnliches...
einfach und simpel ist immer das beste^^ und nicht mit fachchinesisch vom allerfeinsten und jede zeile neue buchstaben.
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> Entschuldigung das ich kein mathestudent oder änhliches
> bin.
Hallo,
dafür mußt Du Dich nicht entschuldigen.
Ein entsprechender Eintrag ins Profil wäre allerdings nicht übel.
(Interessanter noch als die Information, was Du nicht bist, wäre die, was Du bist...)
Ich gehe davon aus, daß Du etwas Technisches machst - an "Mathestudent" hätte ich eher nicht gedacht, gehe aber davon aus, daß Du bereits ein wenig Hochschulmathematik konsumiert hast.
Mit Summenzeichen und Integralen müssen wohl oder übel auch Techniker,Ingenieure, informatiker und math. Assistenten leben...
Und für alle, die sich mit Mathematik beschäftigen, gilt: man lernt das nicht im Vorübergehen, sondern muß entsprechende Texte langsam und gründlich, Wort für Wort, studieren.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Do 26.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Entschuldigung das ich kein mathestudent oder änhliches
> bin.
> wenn ich desinteresse daran hätte würde ich mich wohl
> net seit 4 wochen mit dein ganzen stoff befassen.
> es geht schon los bei den trigonometrischen funktionen.
was verstehst Du daran nicht? Aus der Schule sollte einem schon bekannt sein, was eine Linearkombination ist (siehe "Lineare Algebra und analytische Geometrie"). Ansonsten kann man nicht mehr tun, als Dir die Definition anzugeben. Ich kann es auch anders scheiben:
Du weißt, was ein Polynom ist, das ist eine Funktion der Bauart
$$x [mm] \mapsto \sum_{k=0}^n a_k x^k\,.$$
[/mm]
Dabei tauchen die Funktionen $x [mm] \mapsto x^k$ [/mm] auf, und Koeffizienten (d.h. konstante reelle Zahlen) [mm] $a_0,\ldots,a_n$. [/mm] Jetzt machst Du etwas ähnliches, nämlich Du schreibst
$$x [mm] \mapsto \sum_{k=0}^n (a_k \cos(k*x)+b_k*\sin(k*x))\,.$$
[/mm]
Dabei kannst Du (da es stets eine endliche Summe ist) auch die Summanden vertauschen. Weil oben eh [mm] $\sin(0*x)=0$ [/mm] für alle [mm] $x\,$ [/mm] gilt, kann man auch [mm] $b_0=0$ [/mm] setzen oder gar kein [mm] $b_0$ [/mm] benutzen, und dann hast Du hier die Koeffizienten [mm] $a_0,\ldots,a_n$ [/mm] und [mm] $b_1,\ldots,b_n\,.$ [/mm]
Was der Grad des tr. Polynoms ist:
Wenn einer der beiden Koeffizienten [mm] $a_n$ [/mm] oder [mm] $b_n$ [/mm] nicht [mm] $0\,$ [/mm] ist, dann ist der Grad [mm] $n\,.$ [/mm] Ansonsten sucht man quasi das größte [mm] $m\,,$ [/mm] so dass [mm] $a_m \not=0$ [/mm] oder [mm] $b_m \not=0$ [/mm] und dann ist [mm] $m\,$ [/mm] der Grad.
Ein wenig "aufpassen" muss man noch, dass man meist anstatt [mm] $a_0\,$ [/mm] im obigen Ausdruck [mm] $a_0/2$ [/mm] stehen hat; aber das hat nur einen formalen Zweck.
Also Bsp.:
[mm] $$f(x)=3x^2+\sin(2*x)+5*\cos(7*x)$$
[/mm]
wäre kein trigonometrisches Polynom, weil man [mm] $3x^2$ [/mm] nicht in eine Form [mm] $c*\sin(px)$ [/mm] oder [mm] $d*\cos(qx)$ [/mm] ($p,q [mm] \in \IN_0$, [/mm] $c,d [mm] \in \IR$) [/mm] so umschreiben kann, dass diese umgeschriebene Form für alle [mm] $x\,$ [/mm] gelten würde. Mathematisch ist das leicht begründbar, weil $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] nicht periodisch ist!
> in der einen antwort vorhin standen dutzende formeln, aber
> irgendwie kein richtiger weg oder ähnliches...
> einfach und simpel ist immer das beste^^
Es gibt aber keinen Königsweg. Du musst mit den Definitionen und Formeln arbeiten, und das heißt, Du musst auch selbst versuchen, Beispiele hinzuschreiben und auszuarbeiten. Aber mach' ich mal weitere für Dich:
1.) Ist $g(x):=1/3 [mm] x^3+\sin(5x)-12*\cos(3x)$ [/mm] ein trigonom. Polynom? Wenn ja: Welchen Grad hat es?
2.) Ist [mm] $h(x):=15\sin(\pi*x)-12*\cos(12x)$ [/mm] ein trigonom. Polynom? Wenn ja: Welchen Grad hat es?
3.) Ist [mm] $j(x):=1/10\;+37*\pi*\sin(5x)+13*\sin(2000*x)-122*\cos(1999x)$ [/mm] ein trigonom. Polynom? Wenn ja: Welchen Grad hat es?
4.) Ist [mm] $k(x):=1/27\;+37*e*\sin(120x)+13*\sin(20*x)-122*\cos(199x)$ [/mm] ein trigonom. Polynom? Wenn ja: Welchen Grad hat es?
> und nicht mit
> fachchinesisch vom allerfeinsten und jede zeile neue
> buchstaben.
Das ist kein fachchinesisch, nur ist man in der Mathematik gezwungen, sich eindeutig und unmissverständlich auszudrücken. Und das geht nun mal nicht immer nur mit drei Buchstaben.
P.S.:
Denke später mal drüber nach, wie die Fourierreihe eines trigonometrischen Polynoms aussieht. Aber erst, wenn Du überhaupt verstanden hast, was ein trigonometrisches Polynom ist. (Hinweis zu 2.): Mache Dir Gedanken dazu, wie die Periodizitäten der Summanden(funktionen) einer Fourierreihe bzw. eines trigonometrischen Polynoms miteinander zusammenhängen. Dann solltest Du erkennen, dass der Term dort zwar auf den ersten Blick wie der eines trigon. Polynoms aussieht, aber es doch keins sein kann!
Falls der Hinweis so nicht langt:
Für natürliche $k > m$ hat $x [mm] \mapsto \sin(k*x)$ [/mm] mehr Nullstellen als $x [mm] \mapsto \sin(m*x)\,,$ [/mm] aber alle Nullstellen der letzten Funktion sind auch Nullstellen der ersten. Wäre in 2.) ein trigonom. Polynom, so müßte jede Nullstelle von $x [mm] \mapsto \sin(\pi*x)$ [/mm] auch Nullstelle von $x [mm] \mapsto \sin(p*x)$ [/mm] (für jedes natürliches $p [mm] \ge \pi$) [/mm] sein. Das kann aber schon für [mm] $p=4\,$ [/mm] nicht sein, wie Du Dir überlegen solltest.)
P.P.S.:
Versuche nun selbst, trigonometrische Polynome hinzuschreiben oder auch Funktionen aufzuschreiben, von denen Du beweisen kannst, dass es keine sind. Learning by doing heißt auch, dass Du selbst ein wenig "herumspielst" und Dir das ganze mal anschaust.
Zu guter letzt:
Die Funktion $x [mm] \mapsto 10+3*\sin(5x)+7*\sin(13x)-3*\cos(2x)+4\sin(4x)$
[/mm]
ist ein trigonometrisches Polynom. Es hat den Grad [mm] $13\,,$ [/mm] insbesondere ist also [mm] $a_k=0=b_k$ [/mm] für alle $k [mm] \ge 14\,.$ [/mm] Ferner ist [mm] $a_0=20$ [/mm] (in der [mm] "$a_0/2$-Darstellung!"), $a_2=-3\,,$ $b_4=4\,,$ $b_5=3$ [/mm] und $b{_13}=7$ und alle anderen [mm] $a_k\,,$ $b_k$ [/mm] mit $k [mm] \le [/mm] 13$ haben auch den Wert [mm] $0\,.$
[/mm]
Und zu allerguterletzt:
Bei Deiner "AUSGANGSAUFGABE" hast Du nur die Koeffizienten [mm] $a_k\,, b_k$ [/mm] zu berechnen, und das geht per Definitionem durch Berechnung eines Integrals. Deine Aufgabe lautet also umformuliert:
(Schlagen Sie die Formeln zur Berechnung der Fourierkoeffizienten nach und) Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten [mm] $a_k,\,b_k$ [/mm] der Funktion [mm] $f\,$ [/mm] (wie die genau aussieht, steht in meinem Post).
D.h. Du hast nur noch mit
$$ [mm] f(x)=A\cdot{}\cos(x/2) \text{ für }0 [/mm] < x < [mm] \pi [/mm] $$
und
$$ [mm] f(x)=-A\cdot{}\cos(-x/2)=-A\cdot{}\cos(x/2) \text{ für }-\pi [/mm] < x < 0$$
die
[mm] $$b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(kt)dt,\;\;k \in \IN$$
[/mm]
zu berechnen (aus Symmetriegründen erkennt man ja, dass alle [mm] $a_k=0$ [/mm] sind!), also in dem letztstehenden Integral [mm] $f(t)\,$ [/mm] einsetzen und ein wenig Integralrechnung betreiben (das geht mit Methoden, die aus der Schulmathematik [mm] ($\rightarrow$ [/mm] Analysis) bekannt sind).
Und wenn Du das machst, solltest Du sehen, dass Du dabei im wesentlichen
[mm] $$\int_0^\pi \cos(t/2)\cdot{}\sin(kt)dt\, [/mm] $$
zu berechnen hast. Also könntest Du schonmal anfangen, zu versuchen, dies auszurechnen. (Da sollte eine von [mm] $k\,$ [/mm] abhängige Formel entstehen. Und wenn alle Stricke reißen: Mach' es zunächst wenigstens mal für $k=1,2,3,(4,5)$ und suche nach Gesetzmäßigkeiten!)
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo,
Du solltest ja auch sagen, wie weit Du dem Text folgen konntest, also das Verstandene in eigenen Worten wiederholen.
Na gut, wenn Du dem Text bis zur angegebenen Stelle folgen konntest, dann ist Dir das Ziel der Fourierentwicklung jetzt zumindest klar- wenn Dir auch die praktische Ausführung vielleicht noch schleierhaft ist.
Was ist denn nun das Ziel?
> In der praktischen Anwendung wird man die Reihe häufig
> nach endlich vielen Reihengliedern abbrechen.
Was ist daran unverständlich?
Was eine Reihe ist, weißt Du?
Abbrechen tut man, weil man keine Lust hat, bis an sein Lebensende zu summieren, und weil einem eine gewisse Genauigkeit in vielen Lebenssituationen reicht.
> Man erhält
> dann nur eine Approximation von f
Ömm - könnte es sein, daß Dir das Wort Approximation unklar ist?
Hier würde ein Wörterbuch helfen, aber ich sag's Dir auch: Näherung.
> in Form eines
> trigonometrischen Polynoms.
> Versteh ich kein Wort...
Was ist ein trigometrisches Polynom?
Falls Du es nicht weißt, hilft auch hier wikipedia...
Wenn Du nun nochmal die angestrebte Reihe anschaust, Dir anguckst, was man hat, wenn man nach 4, 43 oder n Reihengliedern abbricht, sollte das eigentlich klar sein.
>
> Diese endliche Summe wird dann Teilsumme fn(t) der
> Fourierreihe genannt.
Wo ist das Problem?
Wie sieht nun die n-te Partialsumme aus?
> Das so entstehende trigonometrische
> Polynom ist, unter allen trigonometrischen Polynomen der
> gleichen Struktur, dasjenige mit minimalem mittleren
> quadratischen Fehler zur ursprünglichen Funktion f.
> ???
Mal grob übersetzt:
wenn Du die Funktion f durch ein trigonometrisches Polynom vom Grad n annähern möchtest, dann ist das Polynom, welches Du durch Abbruch der Fourierreihe erhältst, unter den trigonometrischen Polynomen vom Grad n das beste.
> wo stehen denn diese trigonometrischen polynome?
> das sind doch bestimmt festgelegte....
Wie gesagt, was ein trig. Polynom ist, sagt Dir wikipedia.
(Was denn?)
Bis zu dieser Stelle wurde aber im Text tatsächlich noch nicht gesagt, WIE man an die Fourierreihe kommt.
Bisher wurde vorgestellt, wie so eine Reihe prinzipiell aussieht und für welche Funktionen man sie aufstellen kann.
Im weiteren Verlauf des Textes erfährst Du,wie Du an die Koeffizienten kommst - und das ist die Stelle, an der man etwas zu rechnen hat.
Nochmal: wenn Du von mir Hilfe haben möchtest - und ich helfe unter entsprechenden Umständen wirklich gern -, erwarte ich Aktivität von Dir. Auch, daß Du im Dialog auf meine Fragen an Dich eingehst. Ich stelle die nämlich nicht zum Spaß, sondern sie sollen Dich leiten bei der Lösung der Aufgabe.
Hast du die fragliche Funktion denn jetzt mal skizziert im bereich von 0 bis [mm]\pi[/mm]? Hast Du skizziert, wie sie zwischen -[mm]\pi[/mm] und 0 verläuft, und die Funktionsgleichung für diesen Bereich nun aufgestellt?
Hast Du Dir die periodische Fortsetzung aufgezeichnet?
Wenn ja, dann könnte es weitergehen im Text.
Wobei: wenn Du Marcels Post studiert hättest, dann hättest Du gemerkt, daß er Dir (für mein Verständnis: zu meinem Bedauern...) schon alles hingeschrieben hat, was Du weiter zu tun hast...
Gruß v. Angela
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Hallo,
am besten zeig ich es euch an der Aufgabe...
So. Durch die Aufgabenstellung ist ja bekannt das es sich um eine ungerade Funktion mit 2 [mm] \pi [/mm] länge.
also sind alle [mm] a_{k}=0
[/mm]
wenn ich in [mm] b_{k}=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(x) sin(kx) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(\bruch{x}{2}) sin(kx) dx} [/mm] richtig?
was denn? hochintegrieren?
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> So. Durch die Aufgabenstellung ist ja bekannt das es sich
> um eine ungerade Funktion mit 2 [mm]\pi[/mm] länge.
>
> also sind alle [mm]a_{k}=0[/mm]
>
> wenn ich in [mm]b_{k}=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(x) sin(kx) dx}[/mm] = [mm]\red{\bruch{2A}{\pi}}[/mm][mm]\integral_{0}^{\pi}{cos(\bruch{x}{2}) sin(kx) dx}[/mm]
> richtig?
> was denn? hochintegrieren?
Hallo,
ja, jetzt muß integriert werden.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 So 29.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> am besten zeig ich es euch an der Aufgabe...
>
> So. Durch die Aufgabenstellung ist ja bekannt das es sich
> um eine ungerade Funktion mit 2 [mm]\pi[/mm] länge.
>
> also sind alle [mm]a_{k}=0[/mm]
>
> wenn ich in [mm]b_{k}=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(x) sin(kx) dx}=\red{\frac{2A}{\pi}}\integral_{0}^{\pi}{cos(\bruch{x}{2}) sin(kx) dx}[/mm]
> richtig?
> was denn? hochintegrieren?
ja. Wenn Du "mit komplexwertigen Funktionen einer reellen Variablen" rechnen kannst (das geht eigentlich genau wie gewohnt [mm] $\leftarrow$ das kannst Du evtl. bei Euch im Skript nachschlagen oder [/mm] im Kapitel 17 von hier nachgucken; beachte: [mm] $\IK \in \{\IR,\;\IC\}$), [/mm] dann würde ich empfehlen,
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\cos(x/2)=\frac{e^{ix/2}+e^{-ix/2}}{2}\,,$$ [/mm]
[mm] $$(\*\*)\;\;\;\sin(k*x)=\frac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}$$ [/mm]
zu benutzen.
Natürlich kann man aber auch partiell integrieren oder vll. auch substituieren oder vll. auch beides kombinieren. Vielleicht hilft auch die Formel von de Moivre.
(Ich habe das nicht weiter durchgerechnet, da es mir scheint, dass das alles mit [mm] $(\*),\,(\*\*)$ [/mm] viel schneller, einfacher und übersichtlicher zu rechnen ist - d.h. es geht damit "eleganter".)
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo!
Ach mensch, ist doch zum Mäuse melken^^... Die Formeln sind wunderschön, aber leider weiß ich nicht was ich für [mm] e^{ix/2} [/mm] etc... einsetzen soll.
und die formelsammlung der trigonometrischen funktionen von wiki ist auch ganz nett, aber wir dürfen leider nur 3 seiten selbstgeschriebene formelsammlung mitnehmen und da ist das doch bissl zu viel. gibt es da bestimmte die man wissen muss? weil kann ja net 30-40 solche funktionen aufschreiben und denn beginnen zu suchen.
gruss
joker1223
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> Hallo!
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> Ach mensch, ist doch zum Mäuse melken^^... Die Formeln
> sind wunderschön, aber leider weiß ich nicht was ich für
> [mm]e^{ix/2}[/mm] etc... einsetzen soll.
Hallo,
??? Ich weiß nicht, was Du mit "einsetzen" meinst.
Marcel hat Dir gesagt, wie Du sin(kx) und cos(x/2) mithilfe der komplexen e-Funktion ausdrücken kannst. Er tat das, weil man die e-Funktion so bequem integrieren kann.
Aber wie gesagt: Du mußt das doch nicht verwenden, sondern irgendwie (sicher muß man partiell integrieren) das Integral $ [mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(\bruch{x}{2}) sin(kx) dx} [/mm] $ berechnen - bzw. im Bronstein nachschlagen.
> und die formelsammlung der trigonometrischen funktionen
> von wiki ist auch ganz nett, aber wir dürfen leider nur 3
> seiten selbstgeschriebene formelsammlung mitnehmen und da
> ist das doch bissl zu viel. gibt es da bestimmte die man
> wissen muss? weil kann ja net 30-40 solche funktionen
> aufschreiben und denn beginnen zu suchen.
Manches gehört natürlich zur Grundausstattung, so die Periodizität und Symmetrie der trig. Funktionen, was der sin mit dem cos zu tun hat und solche Dinge, dann auch der trig. Pythagoras.
Ansonsten orientierst Du Dich am besten an dem, was in der Vorlesung besprochen und in den Übungen und Hausübungen verwendet wurde.
Gruß v. Angela
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