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| Aufgabe 1 | Gegeben Sei die Funktion F: [mm] (-\pi, \pi] ->\IR^2
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } {-\pi < x < 0} \\ 4r/\pi, & \mbox{für } 0 \le x \le \pi \end{cases}
[/mm]
a) Setzen Sie f zu einer [mm] 2\pi-periodischen [/mm] Funktion g fort und skizzieren Sie g auf dem Intervall [mm] [-3\pi, 3\pi]
[/mm]
b) Berechnen Sie die Fourier-Reihe von g |
| Aufgabe 2 | | Berechnen Sie die Fourierreihe von g(x)=cos(2x) |
Hallo,
a) habe ich gemacht das ist kein Problem
b) habe die Fourierkoeffizienten für [mm] a_{0}, a_{k}, b_{k} [/mm] berechnet und in die Fourierreihe eingesetzt.
[mm] S_{g}(x)= [/mm] 2/2 + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] [ [mm] 4/(k^{2}*\pi^{2})*((-1)^{k}-1)cos(kx) [/mm] + [mm] 4(-1)^{k+1}/(k\pi)*sin(kx)]
[/mm]
für diese Fourierreihe wird für k=2n+1 eingesetzt, warum??
Zu zweiten Aufgabe:
die Fourierreihe für g(x)=cos(2x) sieht so aus: [mm] S_{g}(x)=cos(2x)
[/mm]
Kann ich davon ausgehen, dass ich die Fourierkoeffizienten nicht berechnen muss, da die cosinus-Funktionen immer gleich der Fourierreihe sind??? Gilt das dann auch für sinus-Funktionen?
gruß blumich
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> Gegeben Sei die Funktion F: [mm](-\pi, \pi] ->\IR^2[/mm]
>
> [mm]f(\red{n})=\begin{cases} 0, & \mbox{für } {-\pi < x < 0} \\ 4\green{r}/\pi, & \mbox{für } 0 \le \red{x} \le \pi \end{cases}[/mm]
Hallo,
wie soll die Funktion denn nun eigentlich heißen? Ist das r eigentlich ein x oder eine Konstante?
>
>
> a) Setzen Sie f zu einer [mm]2\pi-periodischen[/mm] Funktion g fort
> und skizzieren Sie g auf dem Intervall [mm][-3\pi, 3\pi][/mm]
>
> b) Berechnen Sie die Fourier-Reihe von g
> Berechnen Sie die Fourierreihe von g(x)=cos(2x)
> Hallo,
>
> a) habe ich gemacht das ist kein Problem
> b) habe die Fourierkoeffizienten für [mm]a_{0}, a_{k}, b_{k}[/mm]
> berechnet und in die Fourierreihe eingesetzt.
>
> [mm]S_{g}(x)=[/mm] 2/2 + [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm] [
> [mm]4/(k^{2}*\pi^{2})*((-1)^{k}-1)cos(kx)[/mm] +
> [mm]4(-1)^{k+1}/(k\pi)*sin(kx)][/mm]
(Hab' ich nicht geprüft)
>
> für diese Fourierreihe wird für k=2n+1 eingesetzt,
> warum??
Kannst Du bitte etwas deutlicher herausarbeiten, worum es geht?
Ich seh gar kein 2n+1.
Vielleicht hilft dies: es ist [mm] (-1)^k-1 [/mm] für gerades k ja Null.
>
> Zu zweiten Aufgabe:
> die Fourierreihe für g(x)=cos(2x) sieht so aus:
> [mm]S_{g}(x)=cos(2x)[/mm]
> Kann ich davon ausgehen, dass ich die Fourierkoeffizienten
> nicht berechnen muss, da die cosinus-Funktionen immer
> gleich der Fourierreihe sind??? Gilt das dann auch für
> sinus-Funktionen?
Ja.
Aber möglicherweise wollen die Chefs, daß Du das mal ausrechnend verifizierst, oder indem Du irgendeinen Satz ins Feld führst. Die bloße Behauptung wird wohl nicht reichen.
Gruß v. Angela
>
> gruß blumich
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Ich habe mein obigen Fehler behoben, es muss f(x) sein....
[mm] S_{g}(x)=2/2+\summe_{k}^{\infty}[4/(k^{2}*\pi^{2}*((-1)^{k}-1)cos(kx)+4(-1)^{k+1}/(k*\pi)*sin(kx)]
[/mm]
=>k=2n+1: [mm] S_{g}(x)=2/2+\summe_{k}^{\infty}[-8/((2n+1)^{2}*\pi^{2})cos((2n+1)x)+4/(2n+1)\pi)*sin((2n+1)x)]
[/mm]
Ich verstehe noch immer nicht, warum für k=2n+1 eingesetzt wird?? Und warum verschwinden die Werte [mm] ((-1)^{k}-1) [/mm] und [mm] (-1)^{k+1}??
[/mm]
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> Ich habe mein obigen Fehler behoben, es muss f(x) sein....
Hallo,
ja, das war ja ziemlich klar, aber das r, ist das auch ein x? Oder eine Konstante? Wohl eher ein x, was?
Denn sonst würd's ja in Deiner Fourierreihe auch irgendwie auftauchen...
>
> [mm]S_{g}(x)=2/2+\summe_{k}^{\infty}[4/(k^{2}*\pi^{2}*((-1)^{k}-1)cos(kx)+4(-1)^{k+1}/(k*\pi)*sin(kx)][/mm]
>
> =>k=2n+1:
> [mm]S_{g}(x)=2/2+\summe_{\red{k}}^{\infty}[-8/((2n+1)^{2}*\pi^{2})cos((2n+1)x)+4/(2n+1)\pi)*sin((2n+1)x)][/mm]
Das soll da nun wohl n heißen.
Die Umformung stimmt doch nicht. Wo kommt sie her?
Ich habe Deine Fourierreihe nicht nachgerechnet - Du hast sie ja auch nicht vorgerechnet.
Muß sie möglicherweise statt wie gepostet heißen
[mm] S_{g}(x)=2/2+\summe_{k}^{\infty}[4/(k^{2}*\pi^{2}*((-1)^{k}-1)cos(kx)+4\red{((-1)^{k+1}+1)}/(k*\pi)*sin(kx)][/mm].
[/mm]
Wäre dies so, so wäre doch [mm] (-1)^{k}-1=0 [/mm] für gerade k und [mm] (-1)^{k}-1=-2 [/mm] für ungerade k. Damit ist der erste Summand erklärt.
Es ist [mm] (-1)^{k+1}+1=0 [/mm] für gerade k und [mm] (-1)^{k+1}+1=2 [/mm] für ungerade.
So würde man dann nur über ungerade k summieren, es müßte dann allerdings heißen
[mm] S_{g}(x)=2/2+\summe_{n=1}^{\infty}[-8/((2n+1)^{2}*\pi^{2})cos((2n+1)x)+\red{8}/(2n+1)\pi)*sin((2n+1)x)].
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> Ich verstehe noch immer nicht, warum für k=2n+1 eingesetzt
> wird?? Und warum verschwinden die Werte [mm]((-1)^{k}-1)[/mm] und
> [mm](-1)^{k+1}??[/mm]
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