Fourierkoeffizienten < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] $k\in\mathbb{N}$ [/mm] und sei [mm] $f\in\mathcal{C}^k([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ [/mm] eine Funktion [mm] $f^{(j)}(-\pi)=f^{(j)}(\pi)$ [/mm] für $j=0,...,k$.
Beweisen Sie, dass es dann eine Konstante $c > 0$ so gibt, dass die Fuorierkoeffizienten [mm] $f_jin\mathbb{C},j\in\mathbb{Z}$ [/mm] von $f$ die Ungleichung
[mm] $|f_j|\leq\frac{c}{(1+|j|)^k}$für $j\in\mathbb{Z}$ [/mm]
erfüllen. |
Hallo zusammen,
ich habe hier diese Aufgabe, bei der ich leider vollkommen auf dem Schlauch stehe.
Mir fehlt jegliche Idee oder Ansatz und würde mich über jede Hilfe freuen!
Vielen Dank.
DudiPupan
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also wir haben in der Vorlesung gehabt:
Sei $\{ u_j \} _{j\in \mathbb{N}$ ein beliebiges Orthonomalsystem in $L^2, f\in L^2(bzw.C(\overline{I}, \mathbb{R})).$ Dann ist
$f_j:=<f,u_j>,j\in\mathbb{N}$ n-ter Fourierkoeffizient von f.
Bringt mir das hier etwas?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Mi 25.04.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Keiner eine Idee? :-/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Mi 25.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was weisst du denn durch die Bed .$ [mm] f^{(j)}(-\pi)=f^{(j)}(\pi) [/mm] $ über den maximalen und minimalen Wert von f und seinen Ableitungen bis zur k-1 ten? a) sie müssen endlich sein, b, in dem intervall siegen,
dadurch kannst du die Koeffizienten über Aabschätzung des Integrals abschätzen. Durchgeführt hab ich es aber nicht.
wahrscheinlich helfen die ersten 2 Schritte [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] und dann Induktion.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für Die antwort :)
Kann es sein, dass ich mit einer partieller Integration arbeiten muss?
Aber wie?
Mir wurde gesagt, dass die Konstante c von der Funktion und nicht von j abhängt, aber ich weiß´nicht genau, was ich mit dem Tipp anfangen soll
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Mi 25.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was hast du denn mit meinem Rat bisher gemacht?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 27.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
