Fourier Reihe und Tempo < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich habe die oben beschriebe Aufgabe und 3 Fragen (u.a. zum Tempo dieser ewigen Rechnerei) dazu, diese sind unten zu finden. Daraus kann ich ablesen, dass die Funktion periodisch ist, Periode ist hier 5. Mein Ansatz für die Fourier-Konstanten-Bestimmung lautet also:
[mm]f(t)=\begin{cases}1-t^2, & \mbox{für} -1 < t \ge 1 \\ -2t+2, & \mbox{für} 1
Für die Fourier-Reihe mache ich folgenden Ansatz:
[mm]f(x)=\bruch{a_0}{2} + \summe_{n=1}^{1}(a_n*cos(n*t)+b_n*sin(n*t))[/mm]
Wobei ich hier als obere "Summengrenze" 1 eingesetzt habe, da ich es ja nur bis zur 1. Harmonischen bestimmen soll. Dann der Ansatz für die Konstanten:
[mm]a_0=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-1}^{5}{f(t)dt}[/mm]
[mm]a_n=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-1}^{5}{f(t)*cos(n*t)dt}[/mm]
[mm]a_n=\bruch{1}{\pi}*(\integral_{-1}^{1}{(-t^2+1)*cos(n*t)dt}-\integral_{1}^{2}{(-2t+2)*cos(n*t)dt}-\integral_{2}^{3}{(2t+6)*cos(n*t)dt})[/mm]
[mm]b_n=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-1}^{5}{f(t)*sin(n*x)dt}[/mm]
[mm]a_n=\bruch{1}{\pi}*(\integral_{-1}^{1}{(-t^2+1)*sin(n*t)dt}-\integral_{1}^{2}{(-2t+2)*sin(n*t)dt}-\integral_{2}^{3}{(2t+6)*sin(n*t)dt})[/mm]
1. Ist der Ansatz so korrekt? Vorallem würde mich interessieren, ob das Minuszeichen, welches die Integrale trennt, korrekt ist und warum ich hier eben ein Minus machen muss? Dies habe ich so in einer anderen Lösung gesehen, weiß aber weder, ob diese korrekt war, noch warum da ein Minus hingehört.
2. Wie kann ich das ganze beschleunigen/optimieren? Wir dürfen in Prüfungen keinen Taschenrechner verwenden und ich hätte für die Aufgabe vlt. maximal 20 Minuten. Also das erste Integral bei [mm]b_n[/mm] fällt raus, da gerade*gerade Funktion wieder eine gerade Funktion ergibt und durch die symm. integrationsgrenzen das Integral somit 0 wird. Aber gibt es noch weitere Möglichkeiten, hier schneller vorwärts zu kommen?
3. In der Aufgabe steht, ich solle hier die reele Fourierreihe entwickeln, also komme ich da mit dem komplexen Ansatz nicht ran oder ? Wenn ich jetzt eine Aufgabe hätte, bei denen ich die komplexe Fourierreihe angeben soll, verwende ich doch folgenden Ansatz:
[mm]f(x)=\summe_{n=-\infty}^{\infty}c_n*e^{jnx}[/mm]
[mm]c_n=\bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)*e^{-jnx}dx}[/mm]
Aber mit der Summe komme ich nicht klar, von -unendlich bis + unendlich ? Wenn ich die Reihe bis zur 3ten Harmonischen entwickeln soll, fange ich dann bei n=0 oder bei n=1 an oder komplett woanders ?
Lieben Gruß,
Dirk
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Dirk,
ich schreibe meine Kommentare der Einfachheit halber in Deine Aufgabe an die entsprechende Stelle.
Viele Grüße,
Infinit
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo,
>
> ich habe die oben beschriebe Aufgabe und 3 Fragen (u.a. zum
> Tempo dieser ewigen Rechnerei) dazu, diese sind unten zu
> finden. Daraus kann ich ablesen, dass die Funktion
> periodisch ist, Periode ist hier 5. Mein Ansatz für die
> Fourier-Konstanten-Bestimmung lautet also:
>
> [mm]f(t)=\begin{cases}1-t^2, & \mbox{für} -1 < t \ge 1 \\ -2t+2, & \mbox{für} 1
>
> Für die Fourier-Reihe mache ich folgenden Ansatz:
>
> [mm]f(x)=\bruch{a_0}{2} + \summe_{n=1}^{1}(a_n*cos(n*t)+b_n*sin(n*t))[/mm]
>
Dann stimmt das Gleichheitszeichen aber nicht, die zusammengesetzte Funktion wird mehr geometrische Terme benötigen als nur die erste Harmonische. Unendlich als obere Grenze wäre auf jeden Fall okay.
> Wobei ich hier als obere "Summengrenze" 1 eingesetzt habe,
> da ich es ja nur bis zur 1. Harmonischen bestimmen soll.
> Dann der Ansatz für die Konstanten:
>
> [mm]a_0=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-1}^{5}{f(t)dt}[/mm]
> [mm]a_n=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-1}^{5}{f(t)*cos(n*t)dt}[/mm]
>
> [mm]a_n=\bruch{1}{\pi}*(\integral_{-1}^{1}{(-t^2+1)*cos(n*t)dt}-\integral_{1}^{2}{(-2t+2)*cos(n*t)dt}-\integral_{2}^{3}{(2t+6)*cos(n*t)dt})[/mm]
> [mm]b_n=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-1}^{5}{f(t)*sin(n*x)dt}[/mm]
>
> [mm]a_n=\bruch{1}{\pi}*(\integral_{-1}^{1}{(-t^2+1)*sin(n*t)dt}-\integral_{1}^{2}{(-2t+2)*sin(n*t)dt}-\integral_{2}^{3}{(2t+6)*sin(n*t)dt})[/mm]
>
> 1. Ist der Ansatz so korrekt? Vorallem würde mich
> interessieren, ob das Minuszeichen, welches die Integrale
> trennt, korrekt ist und warum ich hier eben ein Minus
> machen muss? Dies habe ich so in einer anderen Lösung
> gesehen, weiß aber weder, ob diese korrekt war, noch warum
> da ein Minus hingehört.
Wo dieses Minuszeichen herkommen soll, weiss ich beim besten Willen nicht, ein Pluszeichen ist auf jeden Fall richtig. Außerdem langt es, wegen der geraden Funktion, über die Hälfte der Periode (bis 2,5 ) zu integrieren und das Ergebnis dann zu verdoppeln.
>
> 2. Wie kann ich das ganze beschleunigen/optimieren? Wir
> dürfen in Prüfungen keinen Taschenrechner verwenden und ich
> hätte für die Aufgabe vlt. maximal 20 Minuten. Also das
> erste Integral bei [mm]b_n[/mm] fällt raus, da gerade*gerade
> Funktion wieder eine gerade Funktion ergibt und durch die
> symm. integrationsgrenzen das Integral somit 0 wird. Aber
> gibt es noch weitere Möglichkeiten, hier schneller vorwärts
> zu kommen?
Nun ja, Du musst natürlich nicht das Integral für ein beliebiges n lösen, wenn Du schon weisst, dass Du nur an der ersten Harmonischen interessiert bist. Mit n = 1 werden die Integrale sicher handlicher.
> 3. In der Aufgabe steht, ich solle hier die reele
> Fourierreihe entwickeln, also komme ich da mit dem
> komplexen Ansatz nicht ran oder ? Wenn ich jetzt eine
> Aufgabe hätte, bei denen ich die komplexe Fourierreihe
> angeben soll, verwende ich doch folgenden Ansatz:
>
> [mm]f(x)=\summe_{n=-\infty}^{\infty}c_n*e^{jnx}[/mm]
> [mm]c_n=\bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)*e^{-jnx}dx}[/mm]
>
> Aber mit der Summe komme ich nicht klar, von -unendlich bis
> + unendlich ? Wenn ich die Reihe bis zur 3ten Harmonischen
> entwickeln soll, fange ich dann bei n=0 oder bei n=1 an
> oder komplett woanders ?
Bei der Darstellung einer rellen Funktion mit komplexen Koeffizienten kann man ausnutzen, dass die Koeffizienten mit negativem Index konjugiert komplex zu den entsprechenden positiven Indizes sind. Es langt also, die positiven Werte für n = 1 bis 3 zu berechnen, die negativen Koeffizienten sind konjugiert komplex dazu.
> Lieben Gruß,
> Dirk
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 So 24.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Infinit,
danke für deine Hilfestellung. Ich habe es jetzt auch in vetretbarer Zeit lösen können, indem ich, wie du sagtest, gleich vor dem Integrationsprozess n=1 setze, da ich ja nur die 1. Harmonische berechnen soll, dies hilft ungemein. Ansonsten habe ich die Teilintegrale jetzt mit einem "+" verbunden.
Ich habe jetzt schon ein paar mal mühevoll von Hand und mit dem Taschenrechner/Computer das Integral ausgerechnet und somit die Konstanten bestimmt. Meine Ergebnisse waren:
a0=3.6075; a1=-2.3072; a2=1.4836; a3=-0.75689 ...
b1=1,6597; b2= -2.7410; b3=2.4613 ...
Jetzt habe ich mir den Graphen mal zeichnen lassen für n=1 und für n=5:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aber das kann doch nicht sein oder? Desto höher ich die n's wähle, desto näher müsste die Reihe doch dem eigentlichen Graphen kommen oder? Kann es sein, dass da vlt. doch ein Fehler im Ansatz ist ? Weil wie gesagt, die Integrale habe ich nun schon ein paar auf unterschiedliche Arten ausgerechnet. Wo liegt mein (Denk-)fehler ?
>Außerdem langt es, wegen der geraden Funktion, über die Hälfte der Periode (bis 2,5 ) zu integrieren und das Ergebnis dann zu verdoppeln.
Meinst du, ich müsste dann die gesamte Funktion bei beiden Konstanten nur vom Bereich -1 bis 1.5 integrieren? Dann würde die letzte Funktion doch aber wegfallen von 2 bis 3 ? Oder meinst du nur die einzelnen, geraden (ungerade*ungerade=gerade bei manchen) Terme ? Wenn ich dann als Integrationsgrenzen 2 und 3 habe, dann gilt dies aber nicht mehr oder ?
Würde mich freuen, wenn du mir das nochmal genauer erläutern kannst.
Lieben Gruß,
Dirk
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 So 24.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Dirk
1. deine gezeichnete Funktion hat die Periode 4 nicht 5
2. da die fkt sym zur y -Achse ist müssen alle [mm] b_n( [/mm] die bei sin ) 0 sein.
2. die n sind die Vielfache der Periode, wenn die [mm] 2\pi [/mm] ist also einfach n, weil sint die Periode [mm] 2\pi [/mm] hat, eigentlich steht da [mm] cos(n*\omega*t) omega=2\pi/T [/mm] T=Periode.
bei dir also
[mm] cosn*2\pi/4*t
[/mm]
Eigentlich musst du dir das anschaulich vorstellen: man ersetzt durch eine Grundschwingung, den cos und dann alle Oberschwingungen!
Also musst du leider nochmal von vorn anfangen!
aber dafür wegen sin weg nur die halbe Arbeit und die Integrale werden auch einfacher.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 So 24.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Leduart,
danke für die Antwort- das Prinzip der Fourierreihe habe ich jetzt glaube ich verstanden. Ich habe die Funktion jetzt anders definiert, eine Gerade von -2 bis -1, eine Parabel von -1 bis 1 und dann noch eine Gerade von 1 bis 2. Jetzt erhalte ich auch für alle [mm] b_n [/mm] Koeffizienten 0 und habe nur noch [mm] a_n [/mm] Terme für den Cosinus. Jetzt habe ich mir den Graphen mal zeichnen lassen für n=8:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sieht soweit gut aus. Aber nur innerhalb der Periode, außerhalb zeigt der Graph ein etwas "sonderbares" Verhalten, wie auf dem Bild zu erkennen ist. Ähnliches habe ich auch bei einer weiteren Funktion festgestellt- ist das immer so, also, dass die Fourierreihe nur innerhalb der Periode korrekt ist oder habe ich hier einen weiteren Fehler?
Lieben Gruß,
Dirk
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Mo 25.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Dirk!
du musst was falsch gemacht haben, deiner Zeichnung sieht man an, dass deine Periode 6 ist, wobei das Stück von 2 bis 4 als 0 angenommen wurde.
Die Foürrierreihe MUSS so wie sie angelegt ist, dieselbe Periode haben, wie die zugehörige fkt.
dabei sind die überschwinger" auf denwaagerechten Stücken typisch, je höher das n umso mehr solche Wellen mit umso kleinerer Amplitude kriegst du.
es sieht so aus als hättest du nicht [mm] cosn*4/2\pi*t [/mm] also [mm] cos(2/\pi*n*t) [/mm] sonder [mm] cosn*6/2\pi*n*t=cosn*3/\pi*t
[/mm]
der wiederholt sich nämlich bei t=3, und das das letzte Integral dann 0 ist sieht deine fkt auf dem richtigen Stück richtig aus.
plot immer deine erste nicht konstante Lösung, um die richtige Periode zu checken.
die muss immer stimmen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Leduart,
danke für deine Aufgabe. Du hattest recht, ich habe die Periode komplett vernachlässigt! Weiter oben hattest du es schonmal beschrieben, aber ich habe weiter hartnäckig mit der Formel aus dem Papula versucht weiterzukommen, diese Formel gilt aber nur für Schwingungen mit der Periode 2*pi.
Daher hatte ich das Problem auch bei anderen Aufgaben. Und ich hatte mich schon immer gefragt "Woher weiß die Fourier Reihe eigentlich, wann sie sich wiederholen muss?" (Vorallem dann, wenn ein Stück der Funktion 0 wird, wird ja auch das Integral 0, dann bleibt ja nichts mehr davon über, war mein Gedanke). Aber jetzt sehe ich die Sache klarer, sogar der komplexe Ansatz hat diesmal korrekt geklappt.
Jetzt hab ich den Dreh raus. Aber ne elende Rechnerei ist es leider immernoch, wenn ich da an die Prüfung denke und keinen Taschenrechner verwenden darf ...
Lieben Gruß,
Dirk
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