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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Do 22.05.2008 | | Autor: | Blacky |
| Aufgabe | Beweisen Sie [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}=\bruch{\pi^2}{6}
[/mm]
Berechnen Sie dazu die Fourier-Reihe von [mm] t^2 [/mm] im Bereich [mm] -\pi\le0\le\pi [/mm] (und dann periodisch fortgesetzt). |
Gutentag!
Also die Fourier-Reihe habe ich schon zu
[mm] f(t)=\bruch{\pi^2}{3}+4*\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*\bruch{cos(nt)}{n^2}
[/mm]
berechnet.
Nun weiß ich ja, dass f(0)=0 sein soll
[mm] f(0)=\bruch{\pi^2}{3}+4*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n^2}=0
[/mm]
Daraus kann ich folgern, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n^2}=-\bruch{\pi^2}{12} [/mm] sein muss. Da hier ja sozusagen die gleiche Menge an Zahlen addiert wird, wie subtrahiert wird, könnte man schlussfolgern, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}=\bruch{\pi^2}{6} [/mm] ist. Das scheint mir allerdings ziemlich vage. Wie kann ich von der obigen Gleichung aus eine fundierte Begründung liefern?
Vielen Dank.
M.f.G.
Blacky
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> Beweisen Sie
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}=\bruch{\pi^2}{6}[/mm]
> Berechnen Sie dazu die Fourier-Reihe von [mm]t^2[/mm] im Bereich
> [mm]-\pi\le0\le\pi[/mm] (und dann periodisch fortgesetzt).
> Gutentag!
>
> Also die Fourier-Reihe habe ich schon zu
>
> [mm]f(t)=\bruch{\pi^2}{3}+4*\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*\bruch{cos(nt)}{n^2}[/mm]
>
> berechnet.
>
> Nun weiß ich ja, dass f(0)=0 sein soll
>
> [mm]f(0)=\bruch{\pi^2}{3}+4*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n^2}=0[/mm]
>
> Daraus kann ich folgern, dass
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n^2}=-\bruch{\pi^2}{12}[/mm]
> sein muss. Da hier ja sozusagen die gleiche Menge an Zahlen
> addiert wird, wie subtrahiert wird, könnte man
> schlussfolgern, dass
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}=\bruch{\pi^2}{6}[/mm] ist.
> Das scheint mir allerdings ziemlich vage. Wie kann ich von
> der obigen Gleichung aus eine fundierte Begründung
> liefern?
>
> Vielen Dank.
>
> M.f.G.
>
> Blacky
Hallo Blacky,
ich nehme einmal an, dass deine Ueberlegungen zur Fourierreihe
korrekt sind - diesen Teil habe ich nicht überprüft.
Dass deine letzte "Folgerung" allzu vage ist, sehe ich allerdings ebenso.
Man kann sich aber ziemlich leicht helfen:
Ich habe etwas umgeformt und schreibe:
[mm] \bruch{\pi^2}{12} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{9} [/mm] - [mm] \bruch{1}{16} [/mm] + [mm] \bruch{1}{25} [/mm] - [mm] \bruch{1}{36} [/mm] + ...
und ferner:
X = 1 + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{9} [/mm] + [mm] \bruch{1}{16} [/mm] + [mm] \bruch{1}{25} [/mm] + [mm] \bruch{1}{36} [/mm] + ...
Dann ist:
[mm] \bruch{X}{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{16} [/mm] + [mm] \bruch{1}{36} [/mm] + [mm] \bruch{1}{64} [/mm] + ...
und:
X - [mm] 2*\bruch{X}{4} [/mm] = [mm] \bruch{X}{2}= [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{9} [/mm] - [mm] \bruch{1}{16} [/mm] + [mm] \bruch{1}{25} [/mm] - [mm] \bruch{1}{36} [/mm] + ... = [mm] \bruch{\pi^2}{12}
[/mm]
also:
X = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}=\bruch{\pi^2}{6}[/mm]
Gruß al-Chwarizmi
(dass man mit den Reihen so locker umgehen darf, liegt an ihrer absoluten Konvergenz)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Do 22.05.2008 | | Autor: | Blacky |
Hallo al-Chwarizmi,
vielen Dank für deine Antwort. Das konnte ich gut nachvollziehen. Geschickt, geschickt.
gruß, blacky
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