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Fourier-Reihe: Was ist das?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Do 26.04.2018
Autor: ElDon91

Aufgabe
Setzen Sie die Funktionen f: [mm] (-\pi, \pi) \to \IR 2\pi-periodisch [/mm] auf [mm] \IR [/mm] fort und bestimmen Sie die Fouriersche Reihe der Fortsetzung

es geht um a) [mm] f(x)=x^2 [/mm] und b) f(x)=x*cos(x)
ich weiß, wie ich die Koeffizienten bestimme
was ich nicht verstehe, steht in der Musterlösung:

a) [mm] f(x)=\begin{cases} f(x-2k\pi), & \mbox{für } x \in {((2k-1)\pi,(2k+1)\pi)} \\ \pi^2, & \mbox{für } x\in {(2k+1)\pi \forall k} \end{cases} [/mm]


b)  [mm] f(x)=\begin{cases} f(x-2k\pi), & \mbox{für } x \in {((2k-1)\pi,(2k+1)\pi)} \\ 0, & \mbox{für } x\in {(2k+1)\pi \forall k} \end{cases} [/mm]

was ist damit gemeint?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Fourier-Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:41 Do 26.04.2018
Autor: HJKweseleit


> Setzen Sie die Funktionen f: [mm](-\pi, \pi) \to \IR 2\pi-periodisch[/mm]
> auf [mm]\IR[/mm] fort und bestimmen Sie die Fouriersche Reihe der
> Fortsetzung
>  es geht um a) [mm]f(x)=x^2[/mm] und b) f(x)=x*cos(x)
>  ich weiß, wie ich die Koeffizienten bestimme
>  was ich nicht verstehe, steht in der Musterlösung:
>  
> a) [mm]f(x)=\begin{cases} f(x-2k\pi), & \mbox{für } x \in {((2k-1)\pi,(2k+1)\pi)} \\ \pi^2, & \mbox{für } x\in {(2k+1)\pi \forall k} \end{cases}[/mm]
>  
>
> b)  [mm]f(x)=\begin{cases} f(x-2k\pi), & \mbox{für } x \in {((2k-1)\pi,(2k+1)\pi)} \\ 0, & \mbox{für } x\in {(2k+1)\pi \forall k} \end{cases}[/mm]
>  
> was ist damit gemeint?
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.



Die Funktionen sind jeweils nur für ein offenes Intervall von - [mm] \pi [/mm] bis [mm] \pi [/mm] definiert und sollen auf ganz [mm] \IR [/mm] fortgesetzt werden.

Die jeweils obere Zeile bedeutet nur, dass zwischen [mm] \pi [/mm] und [mm] 3\pi [/mm] (k=1), [mm] 3\pi [/mm] und [mm] 5\pi [/mm] (k=2) ... sowie [mm] -3\pi [/mm] und [mm] -\pi [/mm] (k=-1) ... das selbe herauskommen soll wie zwischen [mm] -\pi [/mm] und [mm] \pi. [/mm]

Was ist aber mit den jeweiligen Randpunkten?

Bei der ersten Funktion stoßen die beiden Enden in den Randpunkten aneinander, wenn man die Funktion stetig bis [mm] \pi [/mm] und [mm] -\pi [/mm] ergänzt: [mm] f(\pi) [/mm] = [mm] \pi^2. [/mm] Das bedeutet die 2. Zeile bei der Lösung a).

[Dateianhang nicht öffentlich]

Bei der 2. Funktion gibt es aber einen Sprung, eine stetige Ergänzung ist nicht möglich. Da die Funktion aber auf ganz [mm] \IR [/mm] ergänzt werden soll, muss hier auch ein Funktionswert angegeben werden. Der steht in der 2. Zeile von b): f(x) = 0. Er ist sinnvoll, da die Funktionenreihe der Fourierzerlegung hier auch gegen 0 konvergiert.

[Dateianhang nicht öffentlich]

PS: Es muss in der jeweils 2. Zeile nicht [mm] \forall [/mm] k heißen, sondern [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IZ. [/mm]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
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