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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Mo 29.01.2007 | | Autor: | IrisL. |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Ist A [mm] \in M_{mn}(\IK), [/mm] B [mm] \in M_{nm}(\IK) [/mm] und n<m, so ist AB [mm] \in M_{n}(\IK) [/mm] nicht invertierbar. |
Huhu!
Also felgender Lösungsvorschlag:
Rang(A) [mm] \le [/mm] n
Rang(B) [mm] \le [/mm] n
Rang(AB)=min{Rang(A),Rang(B)} [mm] \le [/mm] n [mm] \not=m, [/mm] also ist AB nicht invertierbar.
Aber die Formulierung kommt mir so kurz vor. Gibts da noch ein paar Stichworte, die man einbauen kann oder habe ich gar etwas vergessen?
Gruß
Iris
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> Beweisen Sie: Ist A [mm]\in M_{mn}(\IK),[/mm] B [mm]\in M_{nm}(\IK)[/mm] und
> n<m, so ist AB [mm]\in M_{n}(\IK)[/mm] nicht invertierbar.
Hallo,
so wie ich das sehe, ist Dir bei der Aufgabenstellung ein Fehler unterlaufen.
Es muß doch heißen AB [mm] \in M_{m}(\IK), [/mm] oder?
[mm] M_{mn} [/mm] sagt doch: m Zeilen, n Spalten.
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> Rang(A) [mm]\le[/mm] n
> Rang(B) [mm]\le[/mm] n
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> Rang(AB)=min{Rang(A),Rang(B)} [mm]\le[/mm] n [mm]\not=m,[/mm] also ist AB
> nicht invertierbar.
Wenn Ihr das mit dem Minimum bereits gezeigt habt, und wenn Ihr wißt, daß daß invertierbare Matrizen vollen Rang haben, reicht das.
Ich würde dann nur noch schreiben: "denn AB hat nicht vollen Rang".
Da ich diese ranggeschichten nicht so mag, würde ich wahrscheinlich etwas anders argumentieren, mit der Nicht-Surjektivität und Nicht-Injektivität der lin. Abbildungen, die durch die Matrizen dargestellt werden, und damit, daß die Hintereinanderausführung nicht injektiv ist.
Im Grunde läuft's auf dasselbe hinaus wie bei Dir. Wär auch komisch sonst.
Gruß v. Angela
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> Aber die Formulierung kommt mir so kurz vor. Gibts da noch
> ein paar Stichworte, die man einbauen kann oder habe ich
> gar etwas vergessen?
>
> Gruß
> Iris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Di 30.01.2007 | | Autor: | IrisL. |
Huhu!
Ja, es müsste [mm] M_{m}(\IK) [/mm] sein.
Wie beweist man denn, daß der Rang des Produktes das Minimum ist?
Wahrscheinlich dürfen wir es als bekannt voraussetzen, aber interessieren würde es mich trotzdem.
Gruß
Iris
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> Wie beweist man denn, daß der Rang des Produktes das
> Minimum ist?
Ich habe noch nicht einmal drüber nachgedacht, ob es so wirklich stimmt, oder ob es [mm] \le [/mm] heißen muß! Eher [mm] \le [/mm] würd' ich sagen...
Beweisen kann man es sich über die verketteten Abbildungen und den Kern-Bild-Satz.
Gruß b. Angela
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