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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Mo 17.07.2006 | | Autor: | Slimane |
Gegeben ist:
$ [mm] \tan \alpha [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] $
Der Winkel ist demzufolge: $ [mm] \alpha [/mm] $ = 58,28252559°
Diesen Winkel verdoppel ich und erhalte: $ [mm] 2\cdot{}\alpha=116,5650512° [/mm] $
Würde ich davon jetzt den $ [mm] \sin [/mm] $ ermitteln erhalte ich $ [mm] \sin \alpha [/mm] $ = $ [mm] \bruch{2}{\wurzel{5}} [/mm] $
Wie weise ich die Richtigkeit rechnerisch nach?
Es ist doch $ [mm] \tan (\alpha)=\frac{\sin (\alpha)}{\cos (\alpha)} [/mm] $ und
$ [mm] \sin^2 (\alpha)+\cos^2 (\alpha)=1 [/mm] $
Demnach erhalte ich doch:
$ [mm] \cos^2(\alpha) [/mm] $ = $ [mm] \frac{4}{10+2\cdot\sqrt{5}} [/mm] $
und somit
$ [mm] \sin^2\alpha [/mm] $ = $ [mm] \bruch{3+\wurzel{5}}{5+\wurzel{5}} [/mm] $ (1)
Mein Problem ist nun, dass ich den Winkel $ [mm] \alpha [/mm] $ am Ende als $ [mm] 2\alpha [/mm] $ betrachte.
Sagen wir mal so: $ [mm] 2\alpha=\beta [/mm] $
Somit muss ich am Ende folgende herausbekommen: $ [mm] \sin\beta=\bruch{2}{\wurzel{5}} [/mm] $
Doch wie komm ich dann einen Schritt weiter als (1)?
Hat jemand ne Idee?
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Hallo Slimane!
Bis zum Ende durchgerechnet habe ich es nicht; aber dieser Weg scheint mir erfolgversprechend zu sein.
Im Prinzip möchtest Du folgende Gleichheit nachweisen:
[mm] [quote]$\sin\left[2*\arctan\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{5}}$[/quote]
[/mm]
Verwende hierfür folgende Gleichheiten/Additionstheoreme:
[mm] [quote]$\sin(z) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\tan(z)}{\wurzel{1+\tan^2(z)}}$
[/mm]
[mm] $\tan(2*z) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*\tan(z)}{1-\tan^2(z)}$
[/mm]
[mm] $\tan[\arctan(z)] [/mm] \ = \ z$[/quote]
Damit wird:
[mm] $\sin\left[2*\arctan\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)\right]$$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{\tan\left[2*\arctan\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)\right]}{\wurzel{1+\tan^2\left[2*\arctan\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)\right]}}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{\bruch{2*\tan\left[\arctan\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)\right]}{1-\tan^2\left[\arctan\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)\right]}}{\wurzel{1+\left\{\bruch{2*\tan\left[\arctan\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)\right]}{1-\tan^2\left[\arctan\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)\right]}\right\}^2}}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{\bruch{2*\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)}{1-\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^2}}{\wurzel{1+\left[\bruch{2*\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)}{1-\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^2}\right]^2}}$
[/mm]
$= \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Di 18.07.2006 | | Autor: | Slimane |
Das bringt mich ja noch mehr durcheinander.
Das ganze wird ja immer schlimmer anstatt besser.
Hat vielleicht noch jemand anderes einen Ansatz?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:02 Mi 19.07.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Slimane!
Diesen o.g. Ausdruck musst Du natürlich noch zusammenfassen (Klammern ausmultiplizieren etc.) ... dann erhältst Du auch Dein gewünschtes Ergebnis!
Gruß vom
Roadrunner
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Hi, Slimane,
so ganz habe ich nicht verstanden, worauf Du hinaus willst!
Aber vielleicht bringt Dich das weiter:
[mm] sin(2\alpha) [/mm] = [mm] 2*sin(\alpha)*cos(\alpha)
[/mm]
Mit Deinen Ergebnissen dann also:
[mm] sin(2\alpha) [/mm] = [mm] 2*\bruch{1}{5+\wurzel{5}}*\wurzel{2*(3+\wurzel{5})}
[/mm]
= [mm] 2*\wurzel{\bruch{2(3+\wurzel{5})}{(5+\wurzel{5})^{2}}}
[/mm]
= [mm] 2*\wurzel{\bruch{2(3+\wurzel{5})}{30+10*\wurzel{5}}}
[/mm]
usw.
= [mm] \bruch{2}{\wurzel{5}}
[/mm]
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