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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Di 03.04.2007 | | Autor: | lisa18 |
| Aufgabe | Gleich ein Haus oder zuerst eine Eigentumswohnung und dann ein Haus?
Familie Michel möchte sich eine eigene Wohnung (oder gleich ein Haus?) zulegen.
Zur Vereinfachung sei angenommen, dass ein Haus 500 000 und eine Eigentumswohnung 250 000 kosten. Eigenkapital ist zwar sehr wichtig, wird aber hier vernachlässigt.
Weiter werden etwaige Wertsteigerungen bzw. -verluste der Eigentumswohnung beim Wiederverkauf vernachlässigt. Außerdem soll die jährliche Belastung während der gesamten Rückzahlungszeit gleich bleiben.
Familie Michel weiß von Herrn Neuhaus, dass bei einem Zinssatz von p % und einer anfänglichen Tilgung von 1 % für die Rückzahlungszeit xN (in Jahren) gilt:
xn ≈ 100 ∕ p ∙ ln(p+1)
Herr Neuhaus hat bei seiner Rechnung eine Funktion der Form f(x) = c − d ∙ e^ax verwendet. (Die Funktionswerte geben die jeweiligen Schulden in 1000 an; x gibt die Zeit in Jahren an.)
Zur Bestimmung der Parameter a, c und d benutzte er folgende Gleichungen:
(1) f(0)= 100 (Anfangsschulden 100 000 )
(2) f'(0)= −1 (anfängliche Tilgung 1 % von 100 000 , also 1 000 )
(3) f'(xN)= −(p+1) (am Ende der Rückzahlung steht praktisch die gesamte Belastung für die Tilgung zur Verfügung.)
Herr Neuhaus wollte wissen, wie lange die Rückzahlung dauert.
Familie Michel hat sich für die Rückzahung einen Zeitraum von 24 Jahren votgenommen und möchte wissen, wie viel sie in den beiden Fällen monatlich/insgesamt zu zahlen haben.
1. a) Bestimmen Sie für eine Anfangsschuld von 100 000 , einen Zinssatz von p % und eine anfängliche Tilgung von t % eine Formel für die Restschuld f(x)! Dabei bedeuten f(x) die Restschuld in 1 000 und x die Zeit in Jahren.
Verallgemeinern Sie die Funktion für eine Anfangsschuld von A ∙ 1 000 !
b) Bestimmen Sie eine Formel für die Rückzahlungszeit xN!
Lösen Sie diese nach t auf!
Hinweis: Nehmen Sie an den Gleichungen (1)-(3) entsprechende Änderungen vor!
2. Die gefundene Formel für t soll auf zwei Alternativen angewendet werden:
a) Kauf eines Hauses für 500 000 bei einer Abzahlungszeit von 24 Jahren.
b) Zuerst Kauf eines Hauses für 250 000 (Abzahlungszeit 12 Jahre), dann Verkauf der
Eigentumswohnung für 250 000 und Kauf eines Hauses für 500 000 (also erneute Abzahlung von 250 000 in 12 Jahren).
Wie groß ist jeweils die anfängliche Tilgung t in %?
Welche Kosten fallen monatlich/jährlich/insgesamt an? Rechnen Sie mit p= 6 (%)! |
Liebe Foren-Mitglieder,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es tut mir Leid, dass die Aufgabenstellung so lang ist, aber ich benötige sehr dringend eure Hilfe:
Ich muss diese Aufgabe in den Ferien lösen und habe schon 2 Tage verzweifelt an einer Lösung geknobelt. Ich bin z.Zt. in der 12. Klasse und wir haben bis jetzt keinerlei Finanzmathematik gemacht und ich muss ganz ehrlich sagen, dass ich mit der Aufgabe überfordert bin...
Ich würde mich über jede Hilfe, vor allem zu Aufgabe 1, sehr freuen, da ich dann weiter an den Aufgaben arbeiten kann. Wahrscheinlich ist die Aufgabe 1 recht einfach (?!), allerdings kann ich einfach keinen Ansatz finden!
Daher wäre ich über eine jede Hilfestellung höchsterfreut =)
Liebe Grüße
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:54 Mi 04.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo lisa
> Gleich ein Haus oder zuerst eine Eigentumswohnung und dann
> ein Haus?
>
> Familie Michel möchte sich eine eigene Wohnung (oder gleich
> ein Haus?) zulegen.
>
> Zur Vereinfachung sei angenommen, dass ein Haus 500 000
> und eine Eigentumswohnung 250 000 kosten. Eigenkapital
> ist zwar sehr wichtig, wird aber hier vernachlässigt.
> Weiter werden etwaige Wertsteigerungen bzw. -verluste der
> Eigentumswohnung beim Wiederverkauf vernachlässigt.
> Außerdem soll die jährliche Belastung während der gesamten
> Rückzahlungszeit gleich bleiben.
>
> Familie Michel weiß von Herrn Neuhaus, dass bei einem
> Zinssatz von p % und einer anfänglichen Tilgung von 1 % für
> die Rückzahlungszeit xN (in Jahren) gilt:
>
> xn ≈ 100 ∕ p ∙ ln(p+1)
>
> Herr Neuhaus hat bei seiner Rechnung eine Funktion der Form
> f(x) = c − d ∙ e^ax verwendet. (Die
> Funktionswerte geben die jeweiligen Schulden in 1000 an;
> x gibt die Zeit in Jahren an.)
>
> Zur Bestimmung der Parameter a, c und d benutzte er
> folgende Gleichungen:
>
> (1) f(0)= 100 (Anfangsschulden 100 000 )
> (2) f'(0)= −1 (anfängliche Tilgung 1 % von 100 000
> , also 1 000 )
> (3) f'(xN)= −(p+1) (am Ende der Rückzahlung steht
> praktisch die gesamte Belastung für die Tilgung zur
> Verfügung.)
[mm] f(x)=c-d*e^{ax} [/mm] f'(x)= [mm] -ad*e^{ax}
[/mm]
f(0)=c-d=100; f'(0)=-ad=-1
damit weisst du c-d=100, ad=1
f(xn)=0, denn am Ende sind die Schulden 0
daraus [mm] c=d*e^{axn} [/mm] (und ausserdem xn=ln(c/d)) und aus (3) [mm] f'(xn)=-(p+1)=-ad*e^{axn}=-a*c [/mm] also ac=p+1
also hast du 3 Gleichungen fuer die 3 Unbekannten a,c,d!
zusaetzlich die gegeben gleichung fuer xn.
Damit solltest du erstmal weiter kommen, und Finanzmathe braucht man dazu nicht, man muss nur an die gegebenen gleichungen, die ja erklaert sind glauben.
Gruss leduart
> Herr Neuhaus wollte wissen, wie lange die Rückzahlung
> dauert.
>
>
> Familie Michel hat sich für die Rückzahung einen Zeitraum
> von 24 Jahren votgenommen und möchte wissen, wie viel sie
> in den beiden Fällen monatlich/insgesamt zu zahlen haben.
>
> 1. a) Bestimmen Sie für eine Anfangsschuld von 100 000 ,
> einen Zinssatz von p % und eine anfängliche Tilgung
> von t % eine Formel für die Restschuld f(x)! Dabei bedeuten
> f(x) die Restschuld in 1 000 und x die Zeit in
> Jahren.
> Verallgemeinern Sie die Funktion für eine
> Anfangsschuld von A ∙ 1 000 !
>
> b) Bestimmen Sie eine Formel für die Rückzahlungszeit xN!
> Lösen Sie diese nach t auf!
>
> Hinweis: Nehmen Sie an den Gleichungen (1)-(3)
> entsprechende Änderungen vor!
>
> 2. Die gefundene Formel für t soll auf zwei Alternativen
> angewendet werden:
>
> a) Kauf eines Hauses für 500 000 bei einer Abzahlungszeit
> von 24 Jahren.
>
> b) Zuerst Kauf eines Hauses für 250 000 (Abzahlungszeit
> 12 Jahre), dann Verkauf der
> Eigentumswohnung für 250 000 und Kauf eines
> Hauses für 500 000 (also erneute Abzahlung von
> 250 000 in 12 Jahren).
>
> Wie groß ist jeweils die anfängliche Tilgung t in %?
> Welche Kosten fallen monatlich/jährlich/insgesamt an?
> Rechnen Sie mit p= 6 (%)!
> Liebe Foren-Mitglieder,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Es tut mir Leid, dass die Aufgabenstellung so lang ist,
> aber ich benötige sehr dringend eure Hilfe:
> Ich muss diese Aufgabe in den Ferien lösen und habe schon
> 2 Tage verzweifelt an einer Lösung geknobelt. Ich bin z.Zt.
> in der 12. Klasse und wir haben bis jetzt keinerlei
> Finanzmathematik gemacht und ich muss ganz ehrlich sagen,
> dass ich mit der Aufgabe überfordert bin...
> Ich würde mich über jede Hilfe, vor allem zu Aufgabe 1,
> sehr freuen, da ich dann weiter an den Aufgaben arbeiten
> kann. Wahrscheinlich ist die Aufgabe 1 recht einfach (?!),
> allerdings kann ich einfach keinen Ansatz finden!
> Daher wäre ich über eine jede Hilfestellung höchsterfreut
> =)
>
> Liebe Grüße
> Lisa
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mi 04.04.2007 | | Autor: | lisa18 |
| Aufgabe | Hallo lisa
> Gleich ein Haus oder zuerst eine Eigentumswohnung und dann
> ein Haus?
>
> Familie Michel möchte sich eine eigene Wohnung (oder gleich
> ein Haus?) zulegen.
>
> Zur Vereinfachung sei angenommen, dass ein Haus 500 000
> und eine Eigentumswohnung 250 000 kosten. Eigenkapital
> ist zwar sehr wichtig, wird aber hier vernachlässigt.
> Weiter werden etwaige Wertsteigerungen bzw. -verluste der
> Eigentumswohnung beim Wiederverkauf vernachlässigt.
> Außerdem soll die jährliche Belastung während der gesamten
> Rückzahlungszeit gleich bleiben.
>
> Familie Michel weiß von Herrn Neuhaus, dass bei einem
> Zinssatz von p % und einer anfänglichen Tilgung von 1 % für
> die Rückzahlungszeit xN (in Jahren) gilt:
>
> xn ≈ 100 ∕ p ∙ ln(p+1)
>
> Herr Neuhaus hat bei seiner Rechnung eine Funktion der Form
> f(x) = c − d ∙ e^ax verwendet. (Die
> Funktionswerte geben die jeweiligen Schulden in 1000 an;
> x gibt die Zeit in Jahren an.)
>
> Zur Bestimmung der Parameter a, c und d benutzte er
> folgende Gleichungen:
>
> (1) f(0)= 100 (Anfangsschulden 100 000 )
> (2) f'(0)= −1 (anfängliche Tilgung 1 % von 100 000
> , also 1 000 )
> (3) f'(xN)= −(p+1) (am Ende der Rückzahlung steht
> praktisch die gesamte Belastung für die Tilgung zur
> Verfügung.)
$ [mm] f(x)=c-d\cdot{}e^{ax} [/mm] $ f'(x)= $ [mm] -ad\cdot{}e^{ax} [/mm] $
f(0)=c-d=100; f'(0)=-ad=-1
damit weisst du c-d=100, ad=1
f(xn)=0, denn am Ende sind die Schulden 0
daraus $ [mm] c=d\cdot{}e^{axn} [/mm] $ (und ausserdem xn=ln(c/d)) und aus (3) $ [mm] f'(xn)=-(p+1)=-ad\cdot{}e^{axn}=-a\cdot{}c [/mm] $ also ac=p+1
also hast du 3 Gleichungen fuer die 3 Unbekannten a,c,d!
zusaetzlich die gegeben gleichung fuer xn.
Damit solltest du erstmal weiter kommen, und Finanzmathe braucht man dazu nicht, man muss nur an die gegebenen gleichungen, die ja erklaert sind glauben.
Gruss leduart
> Herr Neuhaus wollte wissen, wie lange die Rückzahlung
> dauert.
>
>
> Familie Michel hat sich für die Rückzahung einen Zeitraum
> von 24 Jahren votgenommen und möchte wissen, wie viel sie
> in den beiden Fällen monatlich/insgesamt zu zahlen haben.
>
> 1. a) Bestimmen Sie für eine Anfangsschuld von 100 000 ,
> einen Zinssatz von p % und eine anfängliche Tilgung
> von t % eine Formel für die Restschuld f(x)! Dabei bedeuten
> f(x) die Restschuld in 1 000 und x die Zeit in
> Jahren.
> Verallgemeinern Sie die Funktion für eine
> Anfangsschuld von A ∙ 1 000 !
>
> b) Bestimmen Sie eine Formel für die Rückzahlungszeit xN!
> Lösen Sie diese nach t auf!
>
> Hinweis: Nehmen Sie an den Gleichungen (1)-(3)
> entsprechende Änderungen vor!
>
> 2. Die gefundene Formel für t soll auf zwei Alternativen
> angewendet werden:
>
> a) Kauf eines Hauses für 500 000 bei einer Abzahlungszeit
> von 24 Jahren.
>
> b) Zuerst Kauf eines Hauses für 250 000 (Abzahlungszeit
> 12 Jahre), dann Verkauf der
> Eigentumswohnung für 250 000 und Kauf eines
> Hauses für 500 000 (also erneute Abzahlung von
> 250 000 in 12 Jahren).
>
> Wie groß ist jeweils die anfängliche Tilgung t in %?
> Welche Kosten fallen monatlich/jährlich/insgesamt an?
> Rechnen Sie mit p= 6 (%)!
> Liebe Foren-Mitglieder,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Es tut mir Leid, dass die Aufgabenstellung so lang ist,
> aber ich benötige sehr dringend eure Hilfe:
> Ich muss diese Aufgabe in den Ferien lösen und habe schon
> 2 Tage verzweifelt an einer Lösung geknobelt. Ich bin z.Zt.
> in der 12. Klasse und wir haben bis jetzt keinerlei
> Finanzmathematik gemacht und ich muss ganz ehrlich sagen,
> dass ich mit der Aufgabe überfordert bin...
> Ich würde mich über jede Hilfe, vor allem zu Aufgabe 1,
> sehr freuen, da ich dann weiter an den Aufgaben arbeiten
> kann. Wahrscheinlich ist die Aufgabe 1 recht einfach (?!),
> allerdings kann ich einfach keinen Ansatz finden!
> Daher wäre ich über eine jede Hilfestellung höchsterfreut
> =)
>
> Liebe Grüße
> Lisa |
Erst einmal vielen vielen Dank für die Mühe!! Vorallem die doch eigentlich recht offensichtliche Feststellung, dass f(xn)=0 sein muss, hat mir sehr geholfen =)
Allerdings hätte ich noch 2 Fragen und zwar
1.) Müsste es statt "(und ausserdem xn=ln(c/d))" nicht eigentlich heissen:
a*xn=ln(c/d)?
2.) Ist es für die Lösung der Aufg. 1 überhaupt nützlich die Parameterwerte der Rechnung, die Hr. Neuhaus angestellt hat, herauszufinden? Sind (1)-(3) nciht vielmehr "Hilfestellungen", um 1. a) und b) zu lösen? Ich dachte, dies sei der Fall, da unter 1. steht: "Hinweis: Nehmen Sie an den Gleichungen (1)-(3) entsprechende Änderungen vor!"... Allerdings konnte ich vor allem für 1.a) keine Lösung finden, da ich keine Vorstellung davon habe, wie man Anfangsschuld, Zinssatz und anfängliche Tilgung in Abhängigkeit von der Restschuld darstellen soll! Wenn mir jemand beim Aufstellen dieser Formel behilflich sein könnte, wäre ich sehr dankbar!
Achja und noch etwas:
Inwiefern ist die Formel
xn ≈ 100 ∕ p ∙ ln(p+1)
für die Lösung irgendeiner der Aufgabenteile nützlich, da diese Angabe nur bei 1% anfänglicher Tilgung gilt?
Für jeden Hinweis wäre ich sehr dankbar!
Liebe Grüße
Lisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Mi 04.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> > Zur Vereinfachung sei angenommen, dass ein Haus 500 000
> > und eine Eigentumswohnung 250 000 kosten.
> Eigenkapital
> > ist zwar sehr wichtig, wird aber hier vernachlässigt.
> > Weiter werden etwaige Wertsteigerungen bzw. -verluste
> der
> > Eigentumswohnung beim Wiederverkauf vernachlässigt.
> > Außerdem soll die jährliche Belastung während der
> gesamten
> > Rückzahlungszeit gleich bleiben.
> >
> > Familie Michel weiß von Herrn Neuhaus, dass bei einem
> > Zinssatz von p % und einer anfänglichen Tilgung von 1 %
> für
> > die Rückzahlungszeit xN (in Jahren) gilt:
> >
> > xn ≈ 100 ∕ p ∙ ln(p+1)
> >
> > Herr Neuhaus hat bei seiner Rechnung eine Funktion der
> Form
> > f(x) = c − d ∙ e^ax verwendet. (Die
> > Funktionswerte geben die jeweiligen Schulden in 1000
> an;
> > x gibt die Zeit in Jahren an.)
> >
> > Zur Bestimmung der Parameter a, c und d benutzte er
> > folgende Gleichungen:
> >
> > (1) f(0)= 100 (Anfangsschulden 100 000 )
> > (2) f'(0)= −1 (anfängliche Tilgung 1 % von 100
> 000
> > , also 1 000 )
> > (3) f'(xN)= −(p+1) (am Ende der Rückzahlung
> steht
> > praktisch die gesamte Belastung für die Tilgung zur
> > Verfügung.)
>
> [mm]f(x)=c-d\cdot{}e^{ax}[/mm] f'(x)= [mm]-ad\cdot{}e^{ax}[/mm]
> f(0)=c-d=100; f'(0)=-ad=-1
> damit weisst du c-d=100, ad=1
> f(xn)=0, denn am Ende sind die Schulden 0
> daraus [mm]c=d\cdot{}e^{axn}[/mm] (und ausserdem xn=ln(c/d)) und
> aus (3) [mm]f'(xn)=-(p+1)=-ad\cdot{}e^{axn}=-a\cdot{}c[/mm] also
> ac=p+1
> also hast du 3 Gleichungen fuer die 3 Unbekannten a,c,d!
> zusaetzlich die gegeben gleichung fuer xn.
>
> Damit solltest du erstmal weiter kommen, und Finanzmathe
> braucht man dazu nicht, man muss nur an die gegebenen
> gleichungen, die ja erklaert sind glauben.
> Gruss leduart
>
> > Herr Neuhaus wollte wissen, wie lange die Rückzahlung
> > dauert.
> >
> >
> > Familie Michel hat sich für die Rückzahung einen
> Zeitraum
> > von 24 Jahren votgenommen und möchte wissen, wie viel
> sie
> > in den beiden Fällen monatlich/insgesamt zu zahlen
> haben.
> >
> > 1. a) Bestimmen Sie für eine Anfangsschuld von 100 000 ,
> > einen Zinssatz von p % und eine anfängliche
> Tilgung
> > von t % eine Formel für die Restschuld f(x)! Dabei
> bedeuten
> > f(x) die Restschuld in 1 000 und x die Zeit in
> > Jahren.
> > Verallgemeinern Sie die Funktion für eine
> > Anfangsschuld von A ∙ 1 000 !
> >
> > b) Bestimmen Sie eine Formel für die Rückzahlungszeit xN!
> > Lösen Sie diese nach t auf!
> >
> > Hinweis: Nehmen Sie an den Gleichungen (1)-(3)
> > entsprechende Änderungen vor!
> >
> > 2. Die gefundene Formel für t soll auf zwei Alternativen
> > angewendet werden:
> >
> > a) Kauf eines Hauses für 500 000 bei einer
> Abzahlungszeit
> > von 24 Jahren.
> >
> > b) Zuerst Kauf eines Hauses für 250 000 (Abzahlungszeit
> > 12 Jahre), dann Verkauf der
> > Eigentumswohnung für 250 000 und Kauf eines
> > Hauses für 500 000 (also erneute Abzahlung
> von
> > 250 000 in 12 Jahren).
> >
> > Wie groß ist jeweils die anfängliche Tilgung t in %?
> > Welche Kosten fallen monatlich/jährlich/insgesamt
> an?
> > Rechnen Sie mit p= 6 (%)!
> > Liebe Foren-Mitglieder,
> >
> > kann. Wahrscheinlich ist die Aufgabe 1 recht einfach
> (?!),
> Erst einmal vielen vielen Dank für die Mühe!! Vorallem die
> doch eigentlich recht offensichtliche Feststellung, dass
> f(xn)=0 sein muss, hat mir sehr geholfen =)
>
> Allerdings hätte ich noch 2 Fragen und zwar
>
> 1.) Müsste es statt "(und ausserdem xn=ln(c/d))" nicht
> eigentlich heissen:
> a*xn=ln(c/d)?
Du hast recht, ich hab a vergessen
> 2.) Ist es für die Lösung der Aufg. 1 überhaupt nützlich
> die Parameterwerte der Rechnung, die Hr. Neuhaus angestellt
> hat, herauszufinden? Sind (1)-(3) nciht vielmehr
> "Hilfestellungen", um 1. a) und b) zu lösen? Ich dachte,
> dies sei der Fall, da unter 1. steht: "Hinweis: Nehmen Sie
> an den Gleichungen (1)-(3) entsprechende Änderungen
> vor!"... Allerdings konnte ich vor allem für 1.a) keine
> Lösung finden, da ich keine Vorstellung davon habe, wie man
> Anfangsschuld, Zinssatz und anfängliche Tilgung in
> Abhängigkeit von der Restschuld darstellen soll! Wenn mir
> jemand beim Aufstellen dieser Formel behilflich sein
> könnte, wäre ich sehr dankbar!
>
> Achja und noch etwas:
> Inwiefern ist die Formel
>
> xn ≈ 100 ∕ p ∙ ln(p+1)
>
> für die Lösung irgendeiner der Aufgabenteile nützlich, da
> diese Angabe nur bei 1% anfänglicher Tilgung gilt?
Ich habs nicht nachgerechnet, aber es hilft zu ueberpruefen, ob du richtig gerechnet hast, wenn du die 1% einsetzt!
zum aufstellen der Gleichungen:
f(0)=Anfangsschuld in 1000$ also A
f'(0)=Anfangstilgung*Anfangsschuld (in 1000$) also -t%*A=t*A/100
f'(xn) wie vorher.
Fast schon kein Hinweis mehr, sondern ne Loesung.
die Rechnung , die ich gezeigt hab musst du ja doch nur fuer die 2. Familie anwenden.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Do 05.04.2007 | | Autor: | lisa18 |
| Aufgabe | Hallo
> > Zur Vereinfachung sei angenommen, dass ein Haus 500 000
> > und eine Eigentumswohnung 250 000 kosten.
> Eigenkapital
> > ist zwar sehr wichtig, wird aber hier vernachlässigt.
> > Weiter werden etwaige Wertsteigerungen bzw. -verluste
> der
> > Eigentumswohnung beim Wiederverkauf vernachlässigt.
> > Außerdem soll die jährliche Belastung während der
> gesamten
> > Rückzahlungszeit gleich bleiben.
> >
> > Familie Michel weiß von Herrn Neuhaus, dass bei einem
> > Zinssatz von p % und einer anfänglichen Tilgung von 1 %
> für
> > die Rückzahlungszeit xN (in Jahren) gilt:
> >
> > xn ≈ 100 ∕ p ∙ ln(p+1)
> >
> > Herr Neuhaus hat bei seiner Rechnung eine Funktion der
> Form
> > f(x) = c − d ∙ e^ax verwendet. (Die
> > Funktionswerte geben die jeweiligen Schulden in 1000
> an;
> > x gibt die Zeit in Jahren an.)
> >
> > Zur Bestimmung der Parameter a, c und d benutzte er
> > folgende Gleichungen:
> >
> > (1) f(0)= 100 (Anfangsschulden 100 000 )
> > (2) f'(0)= −1 (anfängliche Tilgung 1 % von 100
> 000
> > , also 1 000 )
> > (3) f'(xN)= −(p+1) (am Ende der Rückzahlung
> steht
> > praktisch die gesamte Belastung für die Tilgung zur
> > Verfügung.)
>
> $ [mm] f(x)=c-d\cdot{}e^{ax} [/mm] $ f'(x)= $ [mm] -ad\cdot{}e^{ax} [/mm] $
> f(0)=c-d=100; f'(0)=-ad=-1
> damit weisst du c-d=100, ad=1
> f(xn)=0, denn am Ende sind die Schulden 0
> daraus $ [mm] c=d\cdot{}e^{axn} [/mm] $ (und ausserdem xn=ln(c/d)) und
> aus (3) $ [mm] f'(xn)=-(p+1)=-ad\cdot{}e^{axn}=-a\cdot{}c [/mm] $ also
> ac=p+1
> also hast du 3 Gleichungen fuer die 3 Unbekannten a,c,d!
> zusaetzlich die gegeben gleichung fuer xn.
>
> Damit solltest du erstmal weiter kommen, und Finanzmathe
> braucht man dazu nicht, man muss nur an die gegebenen
> gleichungen, die ja erklaert sind glauben.
> Gruss leduart
>
> > Herr Neuhaus wollte wissen, wie lange die Rückzahlung
> > dauert.
> >
> >
> > Familie Michel hat sich für die Rückzahung einen
> Zeitraum
> > von 24 Jahren votgenommen und möchte wissen, wie viel
> sie
> > in den beiden Fällen monatlich/insgesamt zu zahlen
> haben.
> >
> > 1. a) Bestimmen Sie für eine Anfangsschuld von 100 000 ,
> > einen Zinssatz von p % und eine anfängliche
> Tilgung
> > von t % eine Formel für die Restschuld f(x)! Dabei
> bedeuten
> > f(x) die Restschuld in 1 000 und x die Zeit in
> > Jahren.
> > Verallgemeinern Sie die Funktion für eine
> > Anfangsschuld von A ∙ 1 000 !
> >
> > b) Bestimmen Sie eine Formel für die Rückzahlungszeit xN!
> > Lösen Sie diese nach t auf!
> >
> > Hinweis: Nehmen Sie an den Gleichungen (1)-(3)
> > entsprechende Änderungen vor!
> >
> > 2. Die gefundene Formel für t soll auf zwei Alternativen
> > angewendet werden:
> >
> > a) Kauf eines Hauses für 500 000 bei einer
> Abzahlungszeit
> > von 24 Jahren.
> >
> > b) Zuerst Kauf eines Hauses für 250 000 (Abzahlungszeit
> > 12 Jahre), dann Verkauf der
> > Eigentumswohnung für 250 000 und Kauf eines
> > Hauses für 500 000 (also erneute Abzahlung
> von
> > 250 000 in 12 Jahren).
> >
> > Wie groß ist jeweils die anfängliche Tilgung t in %?
> > Welche Kosten fallen monatlich/jährlich/insgesamt
> an?
> > Rechnen Sie mit p= 6 (%)!
> > Liebe Foren-Mitglieder,
> >
> > kann. Wahrscheinlich ist die Aufgabe 1 recht einfach
> (?!),
> Erst einmal vielen vielen Dank für die Mühe!! Vorallem die
> doch eigentlich recht offensichtliche Feststellung, dass
> f(xn)=0 sein muss, hat mir sehr geholfen =)
>
> Allerdings hätte ich noch 2 Fragen und zwar
>
> 1.) Müsste es statt "(und ausserdem xn=ln(c/d))" nicht
> eigentlich heissen:
> a*xn=ln(c/d)?
Du hast recht, ich hab a vergessen
> 2.) Ist es für die Lösung der Aufg. 1 überhaupt nützlich
> die Parameterwerte der Rechnung, die Hr. Neuhaus angestellt
> hat, herauszufinden? Sind (1)-(3) nciht vielmehr
> "Hilfestellungen", um 1. a) und b) zu lösen? Ich dachte,
> dies sei der Fall, da unter 1. steht: "Hinweis: Nehmen Sie
> an den Gleichungen (1)-(3) entsprechende Änderungen
> vor!"... Allerdings konnte ich vor allem für 1.a) keine
> Lösung finden, da ich keine Vorstellung davon habe, wie man
> Anfangsschuld, Zinssatz und anfängliche Tilgung in
> Abhängigkeit von der Restschuld darstellen soll! Wenn mir
> jemand beim Aufstellen dieser Formel behilflich sein
> könnte, wäre ich sehr dankbar!
>
> Achja und noch etwas:
> Inwiefern ist die Formel
>
> xn ≈ 100 ∕ p ∙ ln(p+1)
>
> für die Lösung irgendeiner der Aufgabenteile nützlich, da
> diese Angabe nur bei 1% anfänglicher Tilgung gilt?
Ich habs nicht nachgerechnet, aber es hilft zu ueberpruefen, ob du richtig gerechnet hast, wenn du die 1% einsetzt!
zum aufstellen der Gleichungen:
f(0)=Anfangsschuld in 1000$ also A
f'(0)=Anfangstilgung*Anfangsschuld (in 1000$) also -t%*A=t*A/100
f'(xn) wie vorher.
Fast schon kein Hinweis mehr, sondern ne Loesung.
die Rechnung , die ich gezeigt hab musst du ja doch nur fuer die 2. Familie anwenden.
Gruss leduart |
Ich habe die Formeln gut nachvollziehen können. Dazu habe ich
f(x)=c-d*e^(ax) und
f'(x)= -ad*e^(ax) benutzt.
Dadurch erhalte ich (zu Aufgabe 1.a) )
(1) f(0)= A (Die verallgemeinerten Anfangsschulden von A*1000 in 1000)
und somit auch c-d=A
(2) f'(0)= -t*A = -a*d => t*A=a*d (Da ich ja statt 1000 anfängl. Tilgung die verallgemeinerte Form wählen muss)
(3) f'(xn)= -(p+1) = ad*e^(a*xn)
(4) f(xn)=0 sein muss, denn am Ende sind die Schulden 0
=> c=d*e^(a*xn)
und deshalb kann man c aus (4) auch in (3) einsetzen, wodurch man -(p+1)=a*c erhält.
Obwohl ich alle diese Gleichungen nun weiß, komme ich auf keine sinnvollen Parameterwerte a,c,d, sodass ich die Formel
f(x)=c-d*e^(ax) nicht so umformen kann, dass man die in 1.a) gefragte Formel erhält... Ich bin bei jedem Versuch bis jetzt kläglich gescheiert =( (Obwohl es doch eigentlich möglich sein sollte, 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten zu lösen und ich das normalerweise auch kann (dachte ich jedenfalls)...)
Da du ja sagst, mir die Lösung schon so gut wie gesagt zu haben, mag ich das hier auch kaum mehr schreiben, ich muss ja unglaublich dumm oder verwirrt sein...
Ich verstehe natürlich auch, wenn du da jetzt nichts mehr zu sagen möchtest, auch dann vielen vielen Dank!
Liebe Grüße
Lisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Do 05.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du mit den vielen
Buchstaben durcheinander kommst, machs doch erstmal fuer t=2% und p=6% und A=300.
Was meinst du mit "keine sinnvolle a,,b,c? hast du denn sinnlose?
Dann schreib auf, was du versucht haswt, denn ich will ja nicht einfach Loesungen aufschreiben, ohne dass ich seh, was DU versucht hast!
Dann versuch ich weiter zu helfen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Do 05.04.2007 | | Autor: | lisa18 |
In der Aufgabe ja schon eine Formel vorgegeben ist, die benutzt werden soll, nämlich
f(x)=c-d*e^(a*x)
Darum muss ich wohl die Parameter a,c und d zum Lösen herausfinden. Das habe ich mit den oben angegebenen Gleichungen (1)-(4) versucht zwar folgendermaßen:
Ich habe (1) nach d aufgelöst. Dieses dann in (2) eingesetzt, nach a aufgelöst und dieses nun in (4) eingesetzt. Das lässt sich dann nach c auflösen (falls ich mich nicht verrechnet habe), und hängt dann noch von p,t und A ab, die jedoch nicht bestimmt werden müssen. Durch weiteres Einsetzen in (1) bzw. (4) ergeben sich dann d bzw. a. Diese habe ich dann in die oben genannte Formel eingesetzt und folgende "Monsterformel" erhalten:
Könntest du mir vielleicht jemand sagen, ob das richtig ist? Das kommt mir sehr seltsam vor, aber ich weiß nicht , wo mein Fehler ist...
f(x)=((p+1)*100)/((p+1)+t*A)-(((p+1)*100)/((p+1)+t*A)-100)*e^((-((p+1)+t*A)/100)*x)
Und vielen Dank für die Tipps, immerhin sind keine Parameter mehr übrig =)
Liebe Grüße
Lisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Do 05.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch mal deine einzelnen Schritte!
auf einen Blick sieht man schon , dass c-d nicht A sondern 100 ist!
woher kommen bei dir die vielen Faktoren 100?
bei mir kommen im Nenner p+1-tA vor nicht +
Also alles nochmal langsam aufschreiben.
Am End setzt du dann erstmal ein paar Zahlen ein, und ueberpruefst ob das "vernuenftige" Ergebnisse gibt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Do 05.04.2007 | | Autor: | lisa18 |
Hallo
schreib doch mal deine einzelnen Schritte!
auf einen Blick sieht man schon , dass c-d nicht A sondern 100 ist!
=>Du hast recht: ich muss bei der Rechnung zu 1.a) ENTWEDER c-d=100 ODER gleich die im 2.Teil der Aufg. geforderte Verallgemeinerung , also c-d=A verwenden. Entscheide ich mich also für A=c-d.
woher kommen bei dir die vielen Faktoren 100? (s.o.)
bei mir kommen im Nenner p+1-tA vor nicht +
Also alles nochmal langsam aufschreiben.
Am End setzt du dann erstmal ein paar Zahlen ein, und ueberpruefst ob das "vernuenftige" Ergebnisse gibt!
Gruss leduart
Also:
ich arbeite mit
(1) f(0)=A=c-d
f´(0)=-ad=-t*A => (2)ad=t*A
(3)ac=p+1
Ich löse (1) nach d auf:
d=c-A
d in (2):
a(c-A)=t*A
nach a auflösen:
a=(t*A)/(c-A)
in (3) einsetzen:
(t*A)/(c-A)*c=p+1
nun will ich ja nach c auflösen (ich glaube, ich mache das etwas umständlich?!), also:
c=(p+1)*((c-A)/(t*A))
umgeformt:
(c*t*A)/(c-A)=(p+1)
weiter umgeformt:
(c*t*A)/c - (c*t*A)/A =p+1
man kann nun c und A kürzen:
t*A-c*t=p+1
und somit:
c=(t*A-(p+1))/t
Könntest du mir einen kurzen Hinweis geben, ob es bis hinher nicht ganz falsch ist? Das wäre nett!
Danke nochmals!!
-Lisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:32 Fr 06.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> =>Du hast recht: ich muss bei der Rechnung zu 1.a) ENTWEDER
> c-d=100 ODER gleich die im 2.Teil der Aufg. geforderte
> Verallgemeinerung , also c-d=A verwenden. Entscheide ich
> mich also für A=c-d.
>
> woher kommen bei dir die vielen Faktoren 100? (s.o.)
> bei mir kommen im Nenner p+1-tA vor nicht +
> Also alles nochmal langsam aufschreiben.
> Am End setzt du dann erstmal ein paar Zahlen ein, und
> ueberpruefst ob das "vernuenftige" Ergebnisse gibt!
> Gruss leduart
>
> Also:
> ich arbeite mit
> (1) f(0)=A=c-d
> f´(0)=-ad=-t*A => (2)ad=t*A
> (3)ac=p+1
>
> Ich löse (1) nach d auf:
> d=c-A
>
> d in (2):
> a(c-A)=t*A
>
> nach a auflösen:
> a=(t*A)/(c-A)
>
> in (3) einsetzen:
> (t*A)/(c-A)*c=p+1
Bis hier alles richtig!
> nun will ich ja nach c auflösen (ich glaube, ich mache das
> etwas umständlich?!), also:
>
> c=(p+1)*((c-A)/(t*A))
>
> umgeformt:
> (c*t*A)/(c-A)=(p+1)
richtig!
man sollte solche Gleichungen immer zuerst mit dem Nenner multipl.
c*tA+(p+1)*(c-A)
ctA-(p+1)c=-(p+1)A
-c(p+1-tA)= -(p+1)A
[mm] c=\bruch{(p+1)*A}{p+1-tA}
[/mm]
> weiter umgeformt:
> (c*t*A)/c - (c*t*A)/A =p+1
FALSCH
der graessliche Fehler [mm] \bruch{a}{b+c} \ne!! \bruch{a}{b}+\bruch{a}{c}
[/mm]
Rest deshalb falsch .
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Fr 06.04.2007 | | Autor: | lisa18 |
Vielen Dank! Ich bin soeben zu dem gleichen Ergebnis für c gekommen und zwar folgendermaßen:
(1) A=c-d
(2)ad=t*A
(3)ac=p+1
(1) nach d aufgelöst:
d=c-A
in (2):
a(c-A)=t*A
=> ac= t*A+Aa
ac in (3):
At+Aa=p+1
=>a=((p+1)-At)/A
dann löse ich (2) nach d auf:
d=(t*A)/a
a einsetzen:
=> [mm] d=(t*A^2)/(p+1-At)
[/mm]
und (3) nach c auflösen:
c=(p+1)/a
für a einsetzen:
c= ((p+1)*A)/((p+1)-At)
Könntest du dem soweit zustimmen?
Danke nochmals- ich bin so froh, dass ich da endlich was raushabe!!
Jetzt werde ich mir mal 1.b) vorknüpfen ...
Liebe Grüße
Lisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lisa!
Deinen Umformungen kann ich zustimmen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , und das Ergebnis entspricht ja auch dem von leduart!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Fr 06.04.2007 | | Autor: | lisa18 |
| Aufgabe | "b) Bestimmen Sie eine Formel für die Rückzahlungszeit xN!
Lösen Sie diese nach t auf!
Hinweis: Nehmen Sie an den Gleichungen (1)-(3) entsprechende Änderungen vor!" |
Juhu!! Wie toll, danke!
Ich bin jetzt bei 1.b):
"b) Bestimmen Sie eine Formel für die Rückzahlungszeit xN!
Lösen Sie diese nach t auf!
Hinweis: Nehmen Sie an den Gleichungen (1)-(3) entsprechende Änderungen vor!"
und habe da auch schon ein Ergebnis für die Formel für xn.
f(xn)=0 (denn am Ende sind die Schulden 0)
=> c=d*e^(axn).
=> a*xn=ln(c/d), also
xn=(ln(c/d))/a
Nun muss ich meine Ergebnisse für a,c und d einsetzen, um die Formel für die Rückzahlungszeit zu erhalten:
[mm] xn=ln(((1+p)*A)/(p+1-A*t)*(p+1-A*t)/(t*A^2))*A/(p+1-A*t)
[/mm]
gekürzt:
xn=ln((p+1)/(t*A)))*(A/(p+1-A*t))
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob diese richtig ist, allerdings scheint sie mir ganz plausibel.
Größere Schwierigkeiten habe ich mit dem 2. Teilbereich der Aufg. 1.b), in dem es heisst, dass man die Formel nach t auflösen soll.
Durch vieles Umforman komme ich zu der Form
(e^(xn*(p+1)/A))/(p+1)=(e^(xn*t))/(t*A)
allerdings weiß ich nicht, ob diese richtig ist, und wenn dies der Fall ist, weiß ich trotzdem keinen Weg, diese nach t aufzulösen. Es wäre ganz toll, wenn du mir dabei noch helfen könntest.
Liebe Grüße und danke für die große Hilfe!!
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Fr 06.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Lisa
Deine Formel fuer xn ist soweit ich ueberprueft habe richtig.
Du kannst ausserdem feststellen, dass sie fuer t=1%=0,01 und A=100 mit der angegebenen Formel in der Aufgabe uebereinstimmt.
ABER auch ich bin nicht faehig, (und ich denk auch sonst niemand) das nach t aufzuloesen. Vielleicht hat sich dein Lehrer bei der Aufgabenstellung vertan?
Mein Vorschlag waere, die angegebenen Daten p=6% A=500 bzw 250
xn=24 bzw 12 einzusetzen, und dann t durch ausprobieren ungefaehr auszurechnen!
oder du laesst dir die fkt f(x) mit den gegebenen Daten und der Variablen t von einem Programm zeichnen und liest ab, fuer welches f(x)=0
Mehr faellt mir dazu nicht ein, ich lass die Frage deshalb auf halb beantwortet, vielleicht hat jemand anders ne bessere Idee.
Frohe Ostern
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 So 15.04.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo lisa,
2. Die gefundene Formel für t soll auf zwei Alternativen angewendet werden:
a) Kauf eines Hauses für 500 000 bei einer Abzahlungszeit von 24 Jahren.
b) Zuerst Kauf eines Hauses für 250 000 (Abzahlungszeit 12 Jahre), dann Verkauf der
Eigentumswohnung für 250 000 und Kauf eines Hauses für 500 000 (also erneute Abzahlung von 250 000 in 12 Jahren).
Wie groß ist jeweils die anfängliche Tilgung t in %?
Welche Kosten fallen monatlich/jährlich/insgesamt an? Rechnen Sie mit p= 6 (%)!
Die jährliche Annuität beträgt:
A = [mm]\bruch{0.06*1,o6^{24}}{1,06^{24}-1}*500.000[/mm]
A = 39.839,51
Für den ersten Zinsbetrag ergibt sich:
[mm] Z_1 [/mm] = 0,06*500.000
[mm] Z_1 [/mm] = 30.000
Da die Tilgungsrate die Differenz zwischen Annuität und Zinsbetrag darstellt, berechnet man für sie im ersten Jahr:
[mm] T_1 [/mm] = [mm] A-Z_1 [/mm] = 39.839,51 - 30.000
[mm] T_1 [/mm] = 9.839,51
Oder allgemeine Formel für die Berechnung der ersten Tilgungsrate:
[mm] T_1 [/mm] =[mm]\bruch{0,06}{1,06^{24}-1}*500.000[/mm]
Viele Grüße
Josef
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