Formalisierung Zahlaspekte < Fachdidaktik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 06:44 So 13.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
Eine sehr offene Fragestellung: Ich versuche gerade, verschiedene Zahlaspekte zu formalisieren. Damit möchte ich u.a. die dahinter stehenden Prinzipien besser verstehen.
Beispiel 1 (Kardinalzahlaspekt):
In einer Schulklasse gibt es 12 Jungen und 17 Mädchen. Wie viele Schülerinnen und Schüler hat die Klasse insgesamt?
Formalisierung/Modellierung:
Seien
J:=Menge der Jungen in der Klasse
M:=Menge der Mädchen in der Klasse
S:=Menge aller Schülerinnen und Schüler der Klasse.
Gesucht ist die Kardinalität $|S|$.
Gegeben ist $|J|=12$ und $|M|=17$.
Weiterhin ist $S$ die disjunkte Vereinigung von J und M.
Mathematisches Arbeiten mit dem Modell:
Gemäß der Regel [mm] $|A\cup [/mm] B|=|A|+|B|$ für disjunkte endliche Mengen $A$ und $B$ erhalten wir also
[mm] $|S|=|J\cup [/mm] M|=|J|+|M|=12+17=29$.
Rückübersetzung:
Also hat die Klasse 29 Schülerinnen und Schüler.
Diese Formalisierung finde ich voll befriedigend (sie erklärt einfach und genau, warum man zur Lösung der Sachaufgabe addiert) und suche Vergleichbares auch für andere Sachaufgabentypen.
Sobald man den Bereich zum Ordinalzahlaspekt oder gar zum Maßzahlaspekt gelangt, scheint eine "gute" Formalisierung schwerer zu finden zu sein:
Beispiel 2 (Ordinalzahlaspekt in Kombination mit dem Kardinalzahlaspekt):
In einer Straße stehen 10 Häuser nebeneinander. Peter wohnt im 3. Haus, sein Freund Max im 8. Haus.
a) Wie viele Häuser muss Peter von seinem Haus aus weitergehen, um Max zu besuchen?
b) An welchem Haus ist Peter auf dem Weg zu Max angelangt, wenn er von zuhause aus 2 Häuser weiter gegangen ist?
Sei H die Menge der 10 Häuser.
Die Anordnung der Häuser könnten wir z.B. durch eine lineare Ordnung auf H repräsentieren oder auch gleich durch eine Bijektion [mm] $f\colon H\to\{1,2,3,\ldots,9,10\}$.
[/mm]
a) könnte man so interpretieren, dass die Kardinalität der Menge $H'$ aller Häuser gesucht ist, zu denen Peter hingehen muss, um zu Max zu gelangen. Es gilt [mm] $H'=\{h\in H\;|\;3
Es gilt (wie man sich überlegen kann)
[mm] $|H'|=|\{h\in H\;|\;f(h)\le 8\}\setminus\{h\in H\;|\;f(h)\le 3\}|=|\{h\in H\;|\;f(h)\le 8\}|-|\{h\in H\;|\;f(h)\le3\}|=8-3=5$.
[/mm]
Also muss Peter 5 Häuser weitergehen, um zu Max zu gelangen.
Diese Modellierung finde ich zwar schon nicht mehr so schön wie die von Beispiel 1, aber sie ist für mich noch akzeptabel.
Aber spätestens bei b) finde ich bisher keine einfache formale Erklärung mehr dafür, dass man 3+2 zu rechnen hat.
Hat jemand Anregungen für mich?
Oder kennt jemand Quellen, die zu meinem Anliegen passen?
Viele Grüße
Tobias
P.S.: Ganz schön komplex, was wir von Grundschülern beim Sachrechnen erwarten, wenn selbst ich als Diplom-Mathematiker Schwierigkeiten habe, die intuitive Vorgehensweise sinnvoll zu begründen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 So 13.09.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Tobias!
Zunächst: Ich finde dieses Thema sehr interessant, denn ich ertappe mich selbst oft dabei (mathematische) Probleme so genau wie möglich auszuformulieren und sie dann mathematisch korrekt zu lösen. Leider gelingt mir das nicht immer gut, denn entweder ich schieße mit Kanonen auf Spatzen und fühle mich dabei unwohl oder ich erhalte eine (für mich) unschöne Lösung, die ich der, sagen wir, logischen Lösung nicht unbedingt vorziehen würde.
Mein Professor hat mal folgendes in seiner Vorlesung gesagt: "Als Mathematiker muss man die realen Probleme funktionstüchtig für seine "Kiste" machen, dann das Problem lösen und es dann wieder in die reale Welt zurücktransformieren." 
Mit deinen Worten: "Formalisierung/Modellierung" [mm] \rightarrow [/mm] Lösung [mm] \rightarrow [/mm] "Rückübersetzung".
Allerdings habe ich folgende Fragen:
1) Willst du eine Lösung durch Benutzung von Mengen und ihrer Kardinalität erzwingen oder ist das nur Zufall? Die Lösung deines ersten Beispiels ist naheliegend und ich finde diese auch sehr schön.
2) Willst du am Anfang einer Aufgabe mit Teilaufgaben (so wie bei deinem zweiten Beispiel) ein allgemeines Modell schaffen, welches auf allen Teilaufgaben seine Anwendung findet oder wäre eine Neumodellierung für eine Teilaufgabe auch in Ordnung?
*Ich* hätte bei der zweiten Teilaufgabe die Nachfolgerfunktion
[mm] $\nu\colon\IN\to\IN\colon n\mapsto [/mm] n+1$
definiert und wäre mit der Lösung
[mm] $\nu(\nu(3))=\nu(4)=5$
[/mm]
zufrieden.
("Allgemeinere" Modellierung:
[mm] $\nu^k:=\underbrace{\nu\circ\nu\circ\ldots\circ\nu}_{k-\text{mal}}$
[/mm]
für den [mm] $\IN\ni [/mm] k$-ten Nachfolger einer festen natürlichen Zahl [mm] $n\$.)
[/mm]
Beste Grüße
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 So 13.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hi DieAcht!
Danke für deine überzeugenden Gedanken und Anregungen!
> Allerdings habe ich folgende Fragen:
>
> 1) Willst du eine Lösung durch Benutzung von Mengen und
> ihrer Kardinalität erzwingen oder ist das nur Zufall? Die
> Lösung deines ersten Beispiels ist naheliegend und ich
> finde diese auch sehr schön.
Guter Hinweis!
Ich hole etwas aus und betrachte mal folgenden Zusammenhang:
Wenn Peter am 3. Haus startet und 2 Häuser weitergeht, kommt er am 5. Haus an.
Ich versuche nun jeder auftretenden Zahl eine Bedeutung in meinem Modell zu geben:
Wohl unzweifelhaft sind hier die 3 und die 5 als Ordinalzahlen (im Sinne der Fachdidaktik, nicht im Sinne der Mengenlehre!) anzusehen.
Welcher Zahlaspekt passt nun zur 2?
In meinem Versuch aus dem Ausgangsposting bin ich davon ausgegangen, dass die 2 eine Häuseranzahl und somit die Kardinalität einer Menge von Häusern angibt.
Wäre vielleicht eine andere Interpretation der 2 sinnvoller?
Vielleicht passt der Operatoraspekt besser ("2 mal je ein Haus weiter gehen").
> 2) Willst du am Anfang einer Aufgabe mit Teilaufgaben (so
> wie bei deinem zweiten Beispiel) ein allgemeines Modell
> schaffen, welches auf allen Teilaufgaben seine Anwendung
> findet oder wäre eine Neumodellierung für eine
> Teilaufgabe auch in Ordnung?
Am schönsten fände ich natürlich ein möglichst allgemeines Modell.
Letztlich geht es mir weniger um das einzelne Beispiel, als die allgemeinen Modelle/Zusammenhänge, die daran deutlich werden.
Gleichwohl wird man mindestens für jeden Zahlaspekt eine eigene Modellart benötigen, wahrscheinlich sogar manchmal mehrere pro Zahlaspekt.
> *Ich* hätte bei der zweiten Teilaufgabe die
> Nachfolgerfunktion
>
> [mm]\nu\colon\IN\to\IN\colon n\mapsto n+1[/mm]
>
> definiert und wäre mit der Lösung
>
> [mm]\nu(\nu(3))=\nu(4)=5[/mm]
>
> zufrieden.
Guter Vorschlag!
Ich möchte noch die Bezeichnung [mm] $\nu^m$ [/mm] für die $m$-fache Hintereinanderausführung von [mm] $\nu$ [/mm] einführen (für [mm] $m\in\IN_0$).
[/mm]
(Dies lässt sich problemlos durch eine rekursive Definition präzisieren.)
(Es gilt [mm] $\nu^m(n)=n+m$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN,m\in\IN_0$).
[/mm]
In Teil b) von Beispiel 2 aus meinem Ausgangspost gibt [mm] $\nu^m(3)$ [/mm] an, bei welchem Haus Peter angelangt, wenn er m-fach jeweils ein Haus (d.h. insgesamt m Häuser) weiter geht.
Gesucht ist also bei Teil b) von Beispiel 2 aus meinem Ausgangspost [mm] $\nu^2(3)=3+2=5$.
[/mm]
Das erscheint mir überzeugender als mein Lösungsansatz von a).
Auch a) lässt sich mit dieser besseren Modellierung lösen.
Ein kleines Problem sehe ich noch:
Die von mir genannte Interpretation von [mm] $\nu^m(3)$ [/mm] passt nicht mehr, wenn [mm] $\nu^m(3)>10$ [/mm] (d.h. $m>7$), da es in der Straße nur 10 Häuser gibt.
Man müsste sich aus meiner Sicht genau genommen noch Gedanken machen, dass die Interpretation im Falle [mm] $\nu^m(3)\le [/mm] 10$ wirklich passt ("Induktion" nach m).
Nochmal herzlichen Dank für deine tollen Hinweise!
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 So 13.09.2015 | | Autor: | DieAcht |
> > 1) Willst du eine Lösung durch Benutzung von Mengen und
> > ihrer Kardinalität erzwingen oder ist das nur Zufall? Die
> > Lösung deines ersten Beispiels ist naheliegend und ich
> > finde diese auch sehr schön.
> Guter Hinweis!
>
> Ich hole etwas aus und betrachte mal folgenden
> Zusammenhang:
>
> Wenn Peter am 3. Haus startet und 2 Häuser weitergeht,
> kommt er am 5. Haus an.
(Annahme: Mit der ursprünglichen Voraussetzung; zehn Häuser "nebeneinander".)
> Ich versuche nun jeder auftretenden Zahl eine Bedeutung in
> meinem Modell zu geben:
> Wohl unzweifelhaft sind hier die 3 und die 5 als
> Ordinalzahlen (im Sinne der Fachdidaktik, nicht im Sinne
> der Mengenlehre!) anzusehen.
(Zur Vorbeugung von Missverständnissen wird auch Ordnungszahl als Synonym für Ordinalzahl verwendet.)
> Welcher Zahlaspekt passt nun zur 2?
Offenbar beeinflusst der hier gewählte Zahlaspekt die Art und Weise der Lösung. Siehe unten.
> In meinem Versuch aus dem Ausgangsposting bin ich davon
> ausgegangen, dass die 2 eine Häuseranzahl und somit die
> Kardinalität einer Menge von Häusern angibt.
Du hast die 2 als Kardinalzahlaspekt definiert. Wieso hast du das gemacht? Ich behaupte, dass du dir (unbewusst) folgende Frage gestellt hast: "Wie viele Häuser muss er weiter gehen?". Mit anderen Worten: Dein Modell basiert quasi auf die erste Teilaufgabe "Wie viele Häuser muss Peter von seinem Haus aus weitergehen, um Max zu besuchen?".
Ich habe die 2 als Operatoraspekt definiert. Wieso habe ich das gemacht? Ich behaupte, dass ich mir (unbewusst) folgende Frage gestellt habe: "Wie oft geht er (in einer Schritten) weiter?". Mit anderen Worten: Mein Model basiert quasi auf die zweite Teilaufgabe "An welchem Haus ist Peter auf dem Weg zu Max angelangt, wenn er von zuhause aus 2 Häuser weiter gegangen ist?".
> Wäre vielleicht eine andere Interpretation der 2 sinnvoller?
In diesem Fall scheint es sinnvoller zu sein die 2 als Operatoraspekt zu definieren, weil die daraus entstehenden Modelle für beide Teilaufgaben "schönere" Lösungen liefern.
(Mit einer äquivalenten Umformulierung der Frage kann man die 2 auch als Maßzahlaspekt definieren und erhält unter Anderem auch wieder mein vorgeschlagenes Modell.)
Wenn wir jeder auftretenden Zahl eine Bedeutung geben wollen, was ist dann mit der 10?
> Vielleicht passt der Operatoraspekt besser ("2 mal je ein Haus weiter gehen").
Richtig. Das ist immerhin die Antwort auf die Frage "Wie oft geht er (in einer Schritten) weiter? 
> > *Ich* hätte bei der zweiten Teilaufgabe die
> > Nachfolgerfunktion
> >
> > [mm]\nu\colon\IN\to\IN\colon n\mapsto n+1[/mm]
> >
> > definiert und wäre mit der Lösung
> >
> > [mm]\nu(\nu(3))=\nu(4)=5[/mm]
> >
> > zufrieden.
> Guter Vorschlag!
>
> Ich möchte noch die Bezeichnung [mm]\nu^m[/mm] für die [mm]m[/mm]-fache
> Hintereinanderausführung von [mm]\nu[/mm] einführen (für
> [mm]m\in\IN_0[/mm]).
Das hatte ich auch in Erwägung gezogen, aber mit dem Handy war es schwierig umzusetzen und ich habe mehrere Editierungen gebraucht und am Ende habe ich es dann trotzdem aufgegeben.
> (Dies lässt sich problemlos durch eine rekursive
> Definition präzisieren.)
> (Es gilt [mm]\nu^m(n)=n+m[/mm] für alle [mm]n\in\IN,m\in\IN_0[/mm]).
Cool!
> In Teil b) von Beispiel 2 aus meinem Ausgangspost gibt
> [mm]\nu^m(3)[/mm] an, bei welchem Haus Peter angelangt, wenn er
> m-fach jeweils ein Haus (d.h. insgesamt m Häuser) weiter
> geht.
Ja, wobei Peter dann bei seinem Haus, also bei [mm] $n=3\$, [/mm] startet.
> Gesucht ist also bei Teil b) von Beispiel 2 aus meinem
> Ausgangspost [mm]\nu^2(3)=3+2=5[/mm].
Sieht gut aus.
> Das erscheint mir überzeugender als mein Lösungsansatz
> von a).
> Auch a) lässt sich mit dieser besseren Modellierung
> lösen.
Ja, denn es ist quasi die Anzahl der Nachfolger von Peter zu Max gesucht. Also erhalten wir
[mm] $\nu^m(3)=3+m\overset{!}{=}8$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] m=8-3=5$.
> Ein kleines Problem sehe ich noch:
> Die von mir genannte Interpretation von [mm]\nu^m(3)[/mm] passt
> nicht mehr, wenn [mm]\nu^m(3)>10[/mm] (d.h. [mm]m>7[/mm]), da es in der
> Straße nur 10 Häuser gibt.
> Man müsste sich aus meiner Sicht genau genommen noch
> Gedanken machen, dass die Interpretation im Falle
> [mm]\nu^m(3)\le 10[/mm] wirklich passt ("Induktion" nach m).
Stimmt. Alternativ:
[mm] $\nu^m(3)=3+m\overset{!}{\le}10$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow m\le [/mm] 10-3=7$.
Übrigens: Es freut mich sehr, dass ich dir helfen konnte. Ich lerne durch deine Beiträge hier viel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:53 Mo 14.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Danke für deine erneuten Hinweise!
> > Wenn Peter am 3. Haus startet und 2 Häuser weitergeht,
> > kommt er am 5. Haus an.
>
> (Annahme: Mit der ursprünglichen Voraussetzung; zehn
> Häuser "nebeneinander".)
Ja, so meinte ich das.
> > Ich versuche nun jeder auftretenden Zahl eine Bedeutung in
> > meinem Modell zu geben:
> > Wohl unzweifelhaft sind hier die 3 und die 5 als
> > Ordinalzahlen (im Sinne der Fachdidaktik, nicht im Sinne
> > der Mengenlehre!) anzusehen.
>
> (Zur Vorbeugung von Missverständnissen wird auch
> Ordnungszahl als Synonym für Ordinalzahl verwendet.)
Praktisch, das werde ich mir merken.
> > Welcher Zahlaspekt passt nun zur 2?
>
> Offenbar beeinflusst der hier gewählte Zahlaspekt die Art
> und Weise der Lösung. Siehe unten.
Ja, absolut.
> > In meinem Versuch aus dem Ausgangsposting bin ich davon
> > ausgegangen, dass die 2 eine Häuseranzahl und somit die
> > Kardinalität einer Menge von Häusern angibt.
>
> Du hast die 2 als Kardinalzahlaspekt definiert. Wieso hast
> du das gemacht? Ich behaupte, dass du dir (unbewusst)
> folgende Frage gestellt hast: "Wie viele Häuser muss er
> weiter gehen?".
Ja, genauer gesagt: "Wie viele Häuser geht er weiter?"
> Mit anderen Worten: Dein Modell basiert
> quasi auf die erste Teilaufgabe "Wie viele Häuser muss
> Peter von seinem Haus aus weitergehen, um Max zu
> besuchen?".
Hm, ich denke, bei beiden Teilaufgaben sind a priori beide Interpretationen denkbar.
(Wobei viel für die Operatoraspekt-Interpretation spricht.)
> Ich habe die 2 als Operatoraspekt definiert. Wieso habe ich
> das gemacht? Ich behaupte, dass ich mir (unbewusst)
> folgende Frage gestellt habe: "Wie oft geht er (in einer
> Schritten) weiter?".
Ja.
> Mit anderen Worten: Mein Model basiert
> quasi auf die zweite Teilaufgabe "An welchem Haus ist Peter
> auf dem Weg zu Max angelangt, wenn er von zuhause aus 2
> Häuser weiter gegangen ist?".
Ich würde nunmehr für BEIDE Teilaufgaben die Operatoraspekt-Variante bevorzugen.
> > Wäre vielleicht eine andere Interpretation der 2
> sinnvoller?
>
> In diesem Fall scheint es sinnvoller zu sein die 2 als
> Operatoraspekt zu definieren, weil die daraus entstehenden
> Modelle für beide Teilaufgaben "schönere" Lösungen
> liefern.
Volle Zustimmung.
Ein weiteres Argument gegen die Kardinalzahlaspekt-Interpretation: Es ist gar nicht so klar, von welcher Menge die Kardinalität gemeint ist. Meine ursprüngliche Interpretation ("Menge der Häuser, die Peter erreicht") entbehrt nicht einer gewissen Willkür.
> (Mit einer äquivalenten Umformulierung der Frage kann man
> die 2 auch als Maßzahlaspekt definieren und erhält unter
> Anderem auch wieder mein vorgeschlagenes Modell.)
Ist wirklich auch der Maßzahlaspekt denkbar? Inwiefern würdest du hier von einer Größe sprechen?
> Wenn wir jeder auftretenden Zahl eine Bedeutung geben
> wollen, was ist dann mit der 10?
Ich würde sagen: Hier passt der Kardinalzahlaspekt, da die 10 als die Kardinalität der Menge der betrachteten Häuser gegeben ist.
> > In Teil b) von Beispiel 2 aus meinem Ausgangspost gibt
> > [mm]\nu^m(3)[/mm] an, bei welchem Haus Peter angelangt, wenn er
> > m-fach jeweils ein Haus (d.h. insgesamt m Häuser) weiter
> > geht.
>
> Ja, wobei Peter dann bei seinem Haus, also bei [mm]n=3\[/mm],
> startet.
Ja, so meinte ich das.
> > Auch a) lässt sich mit dieser besseren Modellierung
> > lösen.
>
> Ja, denn es ist quasi die Anzahl der Nachfolger von Peter
> zu Max gesucht.
So würde ich das nicht mehr formulieren, denn diese Formulierung entspräche ja wieder meiner ursprünglichen Kardinalzahlaspekt-Interpretation ("Kardinalität der Menge der Nachfolger von Peter zu Max").
In der Operatoraspekt-Interpretation: Gesucht ist, wie oft Peter ein Haus weiter gehen muss, um zu Max zu gelangen.
> Also erhalten wir
>
> [mm]\nu^m(3)=3+m\overset{!}{=}8[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow m=8-3=5[/mm].
Genau an diese Vorgehensweise dachte ich.
> Übrigens: Es freut mich sehr, dass ich dir helfen konnte.
> Ich lerne durch deine Beiträge hier viel.
Danke für die freundlichen Worte!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Mo 14.09.2015 | | Autor: | DieAcht |
> > (Mit einer äquivalenten Umformulierung der Frage kann man
> > die 2 auch als Maßzahlaspekt definieren und erhält unter
> > Anderem auch wieder mein vorgeschlagenes Modell.)
> Ist wirklich auch der Maßzahlaspekt denkbar? Inwiefern
> würdest du hier von einer Größe sprechen?
Wir fragen dann nicht mehr "Wie viele?" (Ordnungszahl) oder "Wie oft?" (Operatoraspekt), sondern "Wie lange?" (Maßzahl; Länge des Weges). Das Problem daran ist allerdings, dass man hier für eine passende äquivalente Umformung der Frage sehr aufpassen muss. Insgesamt macht es also nicht viel Sinn.
> > > Auch a) lässt sich mit dieser besseren Modellierung
> > > lösen.
> >
> > Ja, denn es ist quasi die Anzahl der Nachfolger von Peter
> > zu Max gesucht.
> So würde ich das nicht mehr formulieren, denn diese
> Formulierung entspräche ja wieder meiner ursprünglichen
> Kardinalzahlaspekt-Interpretation ("Kardinalität der Menge
> der Nachfolger von Peter zu Max").
> In der Operatoraspekt-Interpretation: Gesucht ist, wie oft
> Peter ein Haus weiter gehen muss, um zu Max zu gelangen.
Richtig. Ich wollte nur verdeutlichen, dass die entstandene Formel sofort weiterhilft.
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> P.S.: Ganz schön komplex, was wir von Grundschülern beim
> Sachrechnen erwarten, wenn selbst ich als
> Diplom-Mathematiker Schwierigkeiten habe, die intuitive
> Vorgehensweise sinnvoll zu begründen...
Hallo Tobias,
ich muss gestehen, dass ich dein Anliegen nicht so recht
verstehen kann. Ich glaube schlicht und einfach nicht,
dass irgendeinem Schüler oder irgendeiner Schülerin
durch eine "Formalisierung" der akademischen Sorte
mittels Mengenlehre , Mächtigkeiten und Begriffen
wie Kardinalzahl, Ordinalzahl, Maßzahl usw. bei derartigen
Fragestellungen ("Sätzchenaufgaben" nannte man sie
früher ...) in irgendeiner Weise geholfen werden
könnte.
Wenn man es noch ein wenig komplizierter und für
gewisse Kreise am Anfang des 3. Jahrtausends
"politisch korrekt" machen möchte, sollte man
unbedingt auch noch berücksichtigen, dass die
altmodische Einteilung der Menge der Mitglieder
einer Schulklasse in zwei (und nur zwei) disjunkte
Teilmengen von "Jungen" und "Mädchen" heute nicht
mehr einfach so stehen gelassen werden darf.
Dazu ein Bild, das ich im Internet bei "TumblrInAction"
gefunden habe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
An den Moderator, der entscheiden muss, ob das
kopierte Bild freigegeben werden darf:
Da wo ich das Bild fand
(http://questionsfromtia.tumblr.com/post/109947997310/castielshappyplace-a-gender-spectrum-diagram-i)
steht ausdrücklich, dass jeder das Bild frei benützen
dürfe bzw. gar solle.
castielshappyplace:
„A gender spectrum diagram I made. May it serve use to
any and everyone who sees it.
Feel free to use it or the idea in any way ....“
Ich habe das Bild dann nur rausgeschnitten, weil
es anscheinend nicht möglich war, für das Bild allein
eine separate url zu finden, und weil die gesamte Seite
sehr umfangreich und unübersichtlich organisiert ist,
so dass mein Computer damit ins "Rotieren" geriet ...
LG , Al
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 So 13.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Al-Chwarizmi!
Danke auch dir für deine Anmerkungen!
> > P.S.: Ganz schön komplex, was wir von Grundschülern beim
> > Sachrechnen erwarten, wenn selbst ich als
> > Diplom-Mathematiker Schwierigkeiten habe, die intuitive
> > Vorgehensweise sinnvoll zu begründen...
>
>
> Hallo Tobias,
>
> ich muss gestehen, dass ich dein Anliegen nicht so recht
> verstehen kann. Ich glaube schlicht und einfach nicht,
> dass irgendeinem Schüler oder irgendeiner Schülerin
> durch eine "Formalisierung" der akademischen Sorte
> mittels Mengenlehre , Mächtigkeiten und Begriffen
> wie Kardinalzahl, Ordinalzahl, Maßzahl usw. bei
> derartigen
> Fragestellungen ("Sätzchenaufgaben" nannte man sie
> früher ...) in irgendeiner Weise geholfen werden
> könnte.
Das glaube ich selbstverständlich auch nicht.
Aber ich glaube, dass MIR dies hilft, die Struktur von Sätzchenaufgaben und damit den mathematischen Hintergründen der Zahlbedeutungen besser zu verstehen.
Und vielleicht kann es auch Lehrerinnen und Lehrern nicht schaden, den Stoff von einer höheren Sichtweise aus zu überblicken, die sie den Schülerinnen und Schülern nicht explizit vermitteln.
Solange ich diesen Überblick nicht habe, könnte ich z.B. nicht gezielt Sachaufgaben für Schülerinnen und Schüler auswählen oder mir systematisch didaktisch vereinfachte Erklärungen für die Wahl der Rechenart ausdenken.
Gleichwohl finde ich, dass an der Vielfalt der offenbar nötigen verschiedenen Formalisierungen deutlich wird, welch große geistige Leistungen Grundschülerinnen und -schüler erbringen, wenn sie mit den so verschiedenen Zahlaspekten intuitiv umgehen!
> Wenn man es noch ein wenig komplizierter und für
> gewisse Kreise am Anfang des 3. Jahrtausends
> "politisch korrekt" machen möchte, sollte man
> unbedingt auch noch berücksichtigen, dass die
> altmodische Einteilung der Menge der Mitglieder
> einer Schulklasse in zwei (und nur zwei) disjunkte
> Teilmengen von "Jungen" und "Mädchen" heute nicht
> mehr einfach so stehen gelassen werden darf.
OK, dann muss ich wohl in der Aufgabenstellung ergänzen: Jedes Mitglied DIESER Schulklasse fühlt sich zu genau einem der beiden Standard-Geschlechter zugehörig. (Ob diese Korrektheit Schülerinnen und Schülern beim Lösen von Sachaufgaben hilft? )
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Umfrage) Beendete Umfrage | | Datum: | 17:35 So 13.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Angeregt durch deine Antwort kommt mir gerade noch eine völlig andere Frage zu den Sachaufgaben in meinem Ausgangspost in den Sinn:
Wie erklärt man in diesen Beispielen Schülerinnen und Schülern, denen die nötige Rechnung nicht schon intuitiv klar ist, warum gewisse Zahlen zu addieren bzw. zu subtrahieren sind?
(Zu beachten ist dabei, dass die Schülerinnen und Schüler ja intuitiv verstehen sollen, was sie da rechnen, und nicht nur nach isolierten "Signalwörtern" im Aufgabentext Ausschau halten sollen.)
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> Angeregt durch deine Antwort kommt mir gerade noch eine
> völlig andere Frage zu den Sachaufgaben in meinem
> Ausgangspost in den Sinn:
>
> Wie erklärt man in diesen Beispielen Schülerinnen und
> Schülern, denen die nötige Rechnung nicht schon intuitiv
> klar ist, warum gewisse Zahlen zu addieren bzw. zu
> subtrahieren sind?
Hallo Tobias,
ich möchte mal voraussetzen dürfen, dass die betreffenden
Schülerinnen und/oder Schüler zählen können, so zum
Beispiel bis zwanzig.
Ein Modell für die an einer Straße entlang aufgereihten
und nummerierten Häuser kann man auch in einem Schulzimmer
(zum Beispiel, aber nicht unbedingt an der Wandtafel) leicht
kreieren. Ein solches anschauliches Modell sollte nach allem,
was mir über Intelligenz und intellektuelle Flexibilität von
Kindern im Schulalter (und sogar noch ziemlich weit darüber
hinaus) bekannt ist, ausreichen, um daran ein "natürliches"
Verständnis für Addition und Subtraktion zu vermitteln.
Irgendeine "axiomatische" Methode dafür schiene mir nicht
besser, sondern als an den Haaren herbeigezogen.
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:46 Mo 14.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
> ich möchte mal voraussetzen dürfen, dass die
> betreffenden
> Schülerinnen und/oder Schüler zählen können, so zum
> Beispiel bis zwanzig.
Das sollten wir in der Tat voraussetzen. Vorher sollte man sich sicherlich nicht mit derartigen Sachaufgaben auseinandersetzen.
> Ein Modell für die an einer Straße entlang aufgereihten
> und nummerierten Häuser kann man auch in einem
> Schulzimmer
> (zum Beispiel, aber nicht unbedingt an der Wandtafel)
> leicht
> kreieren.
Die Idee gefällt mir.
> Ein solches anschauliches Modell sollte nach
> allem,
> was mir über Intelligenz und intellektuelle Flexibilität
> von
> Kindern im Schulalter (und sogar noch ziemlich weit
> darüber
> hinaus) bekannt ist, ausreichen, um daran ein
> "natürliches"
> Verständnis für Addition und Subtraktion zu vermitteln.
Wenn ich die Vorgehensweise richtig verstehe, werden Addition (bzw. Subtraktion) hier mittels wiederholtem "eine Zahl weiter (bzw. zurück) Gehen" erklärt ("3+2 ist die Zahl, die man erreicht, wenn man von 3 aus 2 mal je eine Zahl weiter zählt").
Das überzeugt mich.
(Das passt dann übrigens perfekt zu dem von DieAcht vorgeschlagenen Operatoraspekt-Modell!)
Bei der "Mädchen- und Jungen-Aufgabe" (Beispiel 1) hingegen braucht man ja eine andere Vorstellung von der Addition ("12+17 ist die Anzahl der Schülerinnen und Schüler der Schulklasse zusammen, wenn es 12 Jungen und 17 Mädchen in der Klasse gibt").
Hier würde man als Veranschaulichung wohl Strichlisten aus 12 und 17 Strichen wählen.
Um alle Striche zusammen zu zählen, muss man von den 12 Strichen aus noch 17 mal je einen Strich hinzuzählen.
So lässt sich die Addition im Kardinalzahlaspekt offenbar auch auf die Erklärung der Addition durch wiederholtes Eins-Hinzuzählen zurückführen.
> Irgendeine "axiomatische" Methode dafür schiene mir
> nicht
> besser, sondern als an den Haaren herbeigezogen.
Sicherheitshalber nochmal: Selbstverständlich dient die von mir angestrebte Formalisierung nicht dazu, Kindern diese Formalisierung beizubringen.
Sie hilft mir aber, über Sachaufgaben zu reflektieren und sie so besser zu überblicken.
Deine Antwort hat mich zu weitergehenden Gedanken angeregt! Ich habe den Eindruck, viel gelernt zu haben. Danke dafür.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Mo 14.09.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Wenn ich die Vorgehensweise richtig verstehe, werden
> Addition (bzw. Subtraktion) hier mittels wiederholtem "eine
> Zahl weiter (bzw. zurück) Gehen" erklärt ("3+2 ist die
> Zahl, die man erreicht, wenn man von 3 aus 2 mal je eine
> Zahl weiter zählt").
> Das überzeugt mich.
Richtig. Ich habe erst vor zwei Wochen meinem Cousin, der nur von 1 bis 5 zählen konnte, (am Strand / im Wasser) die Addition (und die Subtraktion) ein bisschen beigebracht. Bleiben wir bei dem oben genannten Beispiel: Er hatte dann schon mit den Fingern bis 3 gezählt und dann habe ich ihm beigebracht von dort aus wieder neu anzufangen. Dann sollte er am Ende alle aufgeklappten Finger zusammenzählen.
> (Das passt dann übrigens perfekt zu dem von DieAcht
> vorgeschlagenen Operatoraspekt-Modell!)
Soweit ich das verstanden habe gehört das "Weiterzählen" bei der Addition (im Allgemeinen) zum Zählzahlaspekt. Die 2 habe ich (unbewusst) als "2 mal" interpretiert und somit als Operatoraspekt definiert.
(Übrigens entsteht bei Kleinkindern beim Weiterzählen folgender (berüchtigter) Fehler:
[mm] $3+2\quad\rightarrow\quad\underbrace{\text{3}\quad\text{4}}_{\text{zwei Zahlen}}$.
[/mm]
Mit anderen Worten: Sie zählen die Zahl 3 schon dazu und kommen nicht bei der 5 an. Das sieht man auch bspw. bei Brettspielen sehr oft.)
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> > Wenn ich die Vorgehensweise richtig verstehe, werden
> > Addition (bzw. Subtraktion) hier mittels wiederholtem "eine
> > Zahl weiter (bzw. zurück) Gehen" erklärt ("3+2 ist die
> > Zahl, die man erreicht, wenn man von 3 aus 2 mal je eine
> > Zahl weiter zählt").
> > Das überzeugt mich.
>
> Richtig. Ich habe erst vor zwei Wochen meinem Cousin, der
> nur von 1 bis 5 zählen konnte, (am Strand / im Wasser) die
> Addition (und die Subtraktion) ein bisschen beigebracht.
> Bleiben wir bei dem oben genannten Beispiel: Er hatte dann
> schon mit den Fingern bis 3 gezählt und dann habe ich ihm
> beigebracht von dort aus wieder neu anzufangen. Dann sollte
> er am Ende alle aufgeklappten Finger zusammenzählen.
>
> > (Das passt dann übrigens perfekt zu dem von DieAcht
> > vorgeschlagenen Operatoraspekt-Modell!)
>
> Soweit ich das verstanden habe gehört das "Weiterzählen"
> bei der Addition (im Allgemeinen) zum Zählzahlaspekt. Die
> 2 habe ich (unbewusst) als "2 mal" interpretiert und somit
> als Operatoraspekt definiert.
>
> (Übrigens entsteht bei Kleinkindern beim Weiterzählen
> folgender (berüchtigter) Fehler:
>
> [mm]3+2\quad\rightarrow\quad\underbrace{\text{3}\quad\text{4}}_{\text{zwei Zahlen}}[/mm].
>
> Mit anderen Worten: Sie zählen die Zahl 3 schon dazu und
> kommen nicht bei der 5 an. Das sieht man auch bspw. bei
> Brettspielen sehr oft.)
Hallo zusammen,
bei diesem Thema möchte ich nur noch darauf hinweisen,
dass auch in unseren Sprachen gewisse Relikte dieser
"Unsicherheit" auszumachen sind:
"In 8 Tagen" (französisch "dans 8 jours") wird noch oft für
"in einer Woche" verwendet, obwohl eine Woche bekanntlich
nur 7 Tage hat.
Im Gegenteil dazu sagen wir in Deutsch "in 14 Tagen" für
"in 2 Wochen", aber im Französischen sagt man dafür
"dans 15 jours". Bei diesen Sprechweisen "in 8 Tagen" oder
"dans quinze jours" wird also der Starttag mitgezählt.
Da weise ich auch gerne noch darauf hin, dass z.B. der
Satz "Diesen Monat trafen dreimal mehr Flüchtlinge aus
Syrien ein als im letzten Monat" offenbar nicht für alle
dasselbe bedeutet. Angenommen, im vergangenen Monat
seien in einer Region 1000 syrische Flüchtlinge angekommen.
Nun bedeutet "dreimal mehr als 1000" für die einen
3*1000=3000, für die anderen aber 1000+3*1000=4000 !
Um den diesbezüglichen Konflikt zu klären, sollte man sich
z.B. klar machen, dass "B hat einmal mehr Äpfel als A"
dasselbe bedeutet wie "B hat doppelt so viele Äpfel wie A".
Und manche sollten sich angewöhnen, anstelle der
(fälschlich verwendeten) Wendung "x Mal mehr als"
die treffendere und auch mathematisch richtige Wendung
"x Mal so viele wie" anzuwenden.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Do 17.09.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> Irgendeine "axiomatische" Methode dafür schiene mir
> nicht besser, sondern als an den Haaren herbeigezogen.
Genau so sehe ich das auch. Oder um es einfacher zu sagen:
"Auch ein Mathematiker (ich wollte nicht wieder "Herren Obermathematiker" sagen) darf hin und wieder einfach nur den gesunden Menschenverstand benutzen. Dann lässt sich das ursprünglch gestellte Problem auch ohne Umwege lösen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Do 17.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ralph!
Vielen Dank für deine Meinung.
Wenn ich nun darauf eingehe, führt dies zwar ein wenig von meinem Ausgangsproblem weg, aber zumindest für mich ist das okay.
> > Irgendeine "axiomatische" Methode dafür schiene mir
> > nicht besser, sondern als an den Haaren herbeigezogen.
>
> Genau so sehe ich das auch. Oder um es einfacher zu sagen:
> "Auch ein Mathematiker (ich wollte nicht wieder "Herren
> Obermathematiker" sagen) darf hin und wieder einfach nur
> den gesunden Menschenverstand benutzen. Dann lässt sich
> das ursprünglch gestellte Problem auch ohne Umwege lösen.
Ich frage mich, ob wir Kindern mit Schwierigkeiten bei Sachaufgaben nicht völlig unrecht tun, wenn wir einfach an den "gesunden Menschenverstand" appellieren, gemäß dem das ja alles "klar" oder "trivial" sei (wobei für denjenigen, dem nicht alles klar ist, mitschwingt: "Wer diese Trivialität nicht sieht, der ist aber dumm...").
Provokativ gefragt: Sind diese "trivial"-Sager nicht die eigentlichen "Herren Obermathematiker"?
Wenn man sich mit Grundschul-Mathematikdidaktik auseinandersetzt (z.B. weil man Grundschullehrer(in) werden will), kommt man nicht umhin, sich nach (veranschaulichenden) Erklärungen für die Anwendbarkeit gewisser Rechenarten in Sachsituationen zu fragen.
(Insbesondere sollte man als Grundschullehrer(in) z.B. verstehen, dass die Grundrechenarten ganz verschiedene Arten von Anwendungen haben.)
Das muss nicht mit formalen Modellen geschehen, auch wenn ich den Eindruck habe, dass zumindest mir dies sehr hilft.
Aber eine wesentliche Motivation für mich, mich nun mit formalen Modellen zu beschäftigen, war schlichtweg Interesse daran!
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:14 Mo 14.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Noch bevor ich mich dem (wohl kompliziertesten) Maßzahlaspekt widmen kann, stoße ich auf Schwierigkeiten.
Ein Beispiel dazu:
Beispiel 3 (unklarer Zahlaspekt im Zusammenhang mit Kardinalzahlaspekt):
Berta hat 10 Bonbons. Christa hat 3 Bonbons mehr als Berta. Wie viele Bonbons hat Christa?
Klar ist, dass die 10 und die Lösung 10+3=13 Kardinalzahlen darstellen.
Mir ist aber unklar, welcher der gängigen Zahlaspekte auf die Zahl 3 zutreffen würde.
Kardinalzahlaspekt? Zwar deutet die Formulierung "3 Bonbons" darauf hin, dass eine Anzahl gesucht ist. Es ist jedoch überhaupt keine 3-elementige Menge (etwa eine bestimmte Teilmenge der Menge der 13 Bonbons von Christa) ausgezeichnet.
Ordinalzahlaspekt? Nein, denn es ist keine Reihenfolge irgendwelcher Bonbons ausgezeichnet, bezüglich der das 3. Bonbon gegeben wäre.
Operatoraspekt? Ich wüsste keinen Vorgang, der 3 mal wiederholt wird.
Daher folgende Frage: Wird die Zahl 3 in obiger Aufgabenstellung von irgendeinem gängigen Zahlaspekt erfasst?
Wie würde man die Aufgabe Schülerinnen und Schülern näher bringen (die nicht ohnehin schon eine Intuition dafür haben)?
Naheliegend wäre, zunächst Bertas 10 Bonbons z.B. nebeneinander anzumalen.
Dann würde man wohl genauso viele Bonbons für Christa darunter malen und dann (in anderer Farbe) noch 3 weitere Bonbons für Christa neben Christas erste 10 Bonbons malen.
Damit wäre dieses Problem auf die Addition der Kardinalzahlen 10 und 3 zurückgeführt.
Zur Frage eines geeigneten formalen Modells habe ich mir folgende Gedanken gemacht:
Naheliegend ist natürlich, die Mengen
$B:=$Menge der Berta gehörenden Bonbons
$C:=$Menge der Christa gehörenden Bonbons
einzuführen.
Gegeben ist $|B|=10$ und gesucht ist $|C|$.
Doch wie lässt sich die 3 ins Modell einbauen?
Vielleicht mittels folgender Definition:
Eine endliche Menge $F$ hat [mm] $m\in\IN_0$ [/mm] Elemente mehr als eine endliche Menge $E$, falls eine disjunkte Zerlegung [mm] $F=F_1\cup F_2$ [/mm] existiert mit [mm] $|F_1|=|E|$ [/mm] und [mm] $|F_2|=m$.
[/mm]
Diese Definition entspricht folgender Intuition: "m Elemente mehr haben" bedeutet "aus genauso vielen Elementen und m weiteren Elementen bestehen".
Dann kann man zeigen, dass F genau dann m Elemente mehr als E hat, falls $|F|=|E|+m$ gilt.
Dann kann man die Angabe "Christa hat 3 Bonbons mehr als Berta" ins formale Modell übertragen durch "C hat 3 Elemente mehr als B".
Also $|C|=|B|+3=10+3=13$.
Für Anregungen bin ich wieder dankbar!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 16.09.2015 | | Autor: | DieAcht |
Zunächst: Ich habe deinen Beitrag etwas umstrukturiert. Ich hoffe, dass das in Ordnung ist.
Die Aufgabe:
> Berta hat 10 Bonbons. Christa hat 3 Bonbons mehr als Berta.
> Wie viele Bonbons hat Christa?
Deine Lösung:
> Naheliegend ist natürlich, die Mengen
>
> [mm]B:=[/mm]Menge der Berta gehörenden Bonbons
> [mm]C:=[/mm]Menge der Christa gehörenden Bonbons
>
> einzuführen.
> Gegeben ist [mm]|B|=10[/mm] und gesucht ist [mm]|C|[/mm].
> Doch wie lässt sich die 3 ins Modell einbauen?
>
> Vielleicht mittels folgender Definition:
> Eine endliche Menge [mm]F[/mm] hat [mm]m\in\IN_0[/mm] Elemente mehr als eine
> endliche Menge [mm]E[/mm], falls eine disjunkte Zerlegung [mm]F=F_1\cup F_2[/mm]
> existiert mit [mm]|F_1|=|E|[/mm] und [mm]|F_2|=m[/mm].
Diese kreierte(?) Definition gefällt mir!
> Diese Definition entspricht folgender Intuition: "m
> Elemente mehr haben" bedeutet "aus genauso vielen Elementen
> und m weiteren Elementen bestehen".
> Dann kann man zeigen, dass F genau dann m Elemente mehr
> als E hat, falls [mm]|F|=|E|+m[/mm] gilt.
>
> Dann kann man die Angabe "Christa hat 3 Bonbons mehr als
> Berta" ins formale Modell übertragen durch "C hat 3
> Elemente mehr als B".
> Also [mm]|C|=|B|+3=10+3=13[/mm].
Deine Frage:
> Daher folgende Frage: Wird die Zahl 3 in obiger
> Aufgabenstellung von irgendeinem gängigen Zahlaspekt
> erfasst?
Ja, allerdings ändert die Wahl des Aspektes (in der Regel) das Modell.
> Klar ist, dass die 10 und die Lösung 10+3=13 Kardinalzahlen darstellen.
Ja.
> Kardinalzahlaspekt? Zwar deutet die Formulierung "3
> Bonbons" darauf hin, dass eine Anzahl gesucht ist. Es ist
> jedoch überhaupt keine 3-elementige Menge (etwa eine
> bestimmte Teilmenge der Menge der 13 Bonbons von Christa)
> ausgezeichnet.
Ja, aber durch deine Argumentation oben ist die Aussage
"Christa hat drei Bonbons mehr als Berta"
äquivalent zu
"Christa hat genau so viele Bonbons wie Berta und darüberhinaus drei Bonbons mehr."
Also: Wir fügen hinzu
[mm] $D:=\text{Menge der Christa gehörenden Extra-Bonbons, die sie mehr als Berta hat}$.
[/mm]
Modell: Seien [mm] A_1,\ldots,A_n [/mm] endliche, paarweise disjunkte Mengen. Dann gilt
[mm] $\big|\bigcup_{k=1}^{n}A_k\big|=\sum_{k=1}^{n}\big|A_k\big|$.
[/mm]
Gesucht ist [mm] $|C|\$. [/mm] Wir wissen: [mm] $B\$ [/mm] ist disjunkt zu [mm] $D\$. [/mm] Demnach gilt
[mm] $|B\cup [/mm] D|=|B|+|D|=10+3=13=|C|$.
Hier haben wir die Kardinalzahlen 10 und 3 addiert.
> Ordinalzahlaspekt? Nein, denn es ist keine Reihenfolge
> irgendwelcher Bonbons ausgezeichnet, bezüglich der das 3.
> Bonbon gegeben wäre.
Ja, das macht hier wirklich keinen Sinn.
> Operatoraspekt? Ich wüsste keinen Vorgang, der 3 mal
> wiederholt wird.
Wir setzen die 10 als Kardinalzahl. Außerdem nehmen wir die 3 als Operatorzahl und verwenden als Operator die Nachfolgerfunktion
[mm] $\nu\colon\IN\to\IN\colon n\mapsto [/mm] n+1$.
Mit der Kardinalzahl als Argument erhalten wir
[mm] $\nu^{3}(|B|)=\nu^{3}(10)=(\nu\circ\nu\circ\nu)(10)=13$.
[/mm]
Beachte: Hier ist die 3 keine Kardinalzahl mehr.
> Wie würde man die Aufgabe Schülerinnen und Schülern
> näher bringen (die nicht ohnehin schon eine Intuition
> dafür haben)?
> Naheliegend wäre, zunächst Bertas 10 Bonbons z.B.
> nebeneinander anzumalen.
> Dann würde man wohl genauso viele Bonbons für Christa
> darunter malen und dann (in anderer Farbe) noch 3 weitere
> Bonbons für Christa neben Christas erste 10 Bonbons
> malen.
> Damit wäre dieses Problem auf die Addition der
> Kardinalzahlen 10 und 3 zurückgeführt.
Richtig. Aber: Die Durchführung der Addition muss nicht immer durch Vereinigung von disjunkten Mengen geschehen: Paul zum Beispiel zählt weiter: [mm] $[11,\quad 12,\quad 13]\$. [/mm]
Am Ende ist das wohl hier auch Geschmackssache. Wenn ich an die erste Aufgabe (vom Eingangspost) denke, dann würde ich die 17 Mädchen ganz sicher nicht als Operatorzahl definieren. Irgendwie hat sich das zu meiner letzten Mitteilung etwas wiederholt. Ich weiß nicht genau ob dir das nun weiterhilft, deshalb auch nur als Mitteilung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Mi 16.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Erneut herzlichen Dank, dass du du so viele Gedanken hier einbringst!
> Zunächst: Ich habe deinen Beitrag etwas umstrukturiert.
> Ich hoffe, dass das in Ordnung ist.
Selbstverständlich.
> Die Aufgabe:
>
> > Berta hat 10 Bonbons. Christa hat 3 Bonbons mehr als
> Berta.
> > Wie viele Bonbons hat Christa?
>
> Deine Lösung:
>
> > Naheliegend ist natürlich, die Mengen
> >
> > [mm]B:=[/mm]Menge der Berta gehörenden Bonbons
> > [mm]C:=[/mm]Menge der Christa gehörenden Bonbons
> >
> > einzuführen.
> > Gegeben ist [mm]|B|=10[/mm] und gesucht ist [mm]|C|[/mm].
> > Doch wie lässt sich die 3 ins Modell einbauen?
> >
> > Vielleicht mittels folgender Definition:
> > Eine endliche Menge [mm]F[/mm] hat [mm]m\in\IN_0[/mm] Elemente mehr als
> eine
> > endliche Menge [mm]E[/mm], falls eine disjunkte Zerlegung [mm]F=F_1\cup F_2[/mm]
> > existiert mit [mm]|F_1|=|E|[/mm] und [mm]|F_2|=m[/mm].
>
> Diese kreierte(?) Definition gefällt mir!
Ja, die Definition habe ich mir aus Anlass dieser Aufgabe ausgedacht.
> Deine Frage:
>
> > Daher folgende Frage: Wird die Zahl 3 in obiger
> > Aufgabenstellung von irgendeinem gängigen Zahlaspekt
> > erfasst?
>
> Ja, allerdings ändert die Wahl des Aspektes (in der Regel)
> das Modell.
>
> > Klar ist, dass die 10 und die Lösung 10+3=13
> Kardinalzahlen darstellen.
>
> Ja.
>
> > Kardinalzahlaspekt? Zwar deutet die Formulierung "3
> > Bonbons" darauf hin, dass eine Anzahl gesucht ist. Es ist
> > jedoch überhaupt keine 3-elementige Menge (etwa eine
> > bestimmte Teilmenge der Menge der 13 Bonbons von Christa)
> > ausgezeichnet.
>
> Ja, aber durch deine Argumentation oben ist die Aussage
>
> "Christa hat drei Bonbons mehr als Berta"
>
> äquivalent zu
>
> "Christa hat genau so viele Bonbons wie Berta und
> darüberhinaus drei Bonbons mehr."
>
> Also: Wir fügen hinzu
>
> [mm]D:=\text{Menge der Christa gehörenden Extra-Bonbons, die sie mehr als Berta hat}[/mm].
Hier würde ich einwenden, dass mir diese Menge nicht wohldefiniert erscheint.
Welche von Christas Bonbons sollen nun Elemente von D sein?
Oder ist das so gemeint: Wir WÄHLEN willkürlich eine 3-elementige Teilmenge $D [mm] \subseteq [/mm] C$?
> Gesucht ist [mm]|C|\[/mm]. Wir wissen: [mm]B\[/mm] ist disjunkt zu [mm]D\[/mm].
> Demnach gilt
>
> [mm]|B\cup D|=|B|+|D|=10+3=13=|C|[/mm].
Ich würde diese Rechnung wie folgt notieren:
[mm] $|C|=|B\cup [/mm] D|=|B|+|D|=10+3=13$.
Zu begründen ist aus meiner Sicht dann noch [mm] $|C|=|B\cup [/mm] D|$.
Diese Eigenschaft würde man wohl als Interpretation von "Christa hat 3 Bonbons mehr als Berta" ins Modell aufnehmen.
Mit leichter Veränderung (ich verlange nicht, dass D eine Teilmenge von C ist), entspräche diese Interpretation folgender Definition:
Eine endliche Menge $F$ hat [mm] $m\in\IN_0$ [/mm] Elemente mehr als eine endliche Menge $E$, falls eine (und damit alle) m-elementigen zu E disjunkte(n) Menge(n) G die Eigenschaft [mm] $|F|=|E\cup [/mm] G|$ hat/haben.
Diese Definition entspricht der Intuition: "Wenn man zu E noch m Elemente hinzufügt, hat man genauso viele Elemente, wie F besitzt".
(Diese neue Definition ist natürlich äquivalent zu der von mir schon kreierten.)
> Hier haben wir die Kardinalzahlen 10 und 3 addiert.
Ich tendiere inzwischen dementsprechend dazu, die 3 als Kardinalzahl anzusehen, obwohl 3 Kardinalität keiner bestimmten ausgezeichneten Menge ist.
Aber in jeder unserer beiden formalen Lösungen haben wir (explizit oder implizit) die 3 als Kardinalzahl einer mit einer gewissen Willkür selbst gewählten Menge verwendet.
> > Operatoraspekt? Ich wüsste keinen Vorgang, der 3 mal
> > wiederholt wird.
>
> Wir setzen die 10 als Kardinalzahl. Außerdem nehmen wir
> die 3 als Operatorzahl und verwenden als Operator die
> Nachfolgerfunktion
>
> [mm]\nu\colon\IN\to\IN\colon n\mapsto n+1[/mm].
>
> Mit der Kardinalzahl als Argument erhalten wir
>
> [mm]\nu^{3}(|B|)=\nu^{3}(10)=(\nu\circ\nu\circ\nu)(10)=13[/mm].
>
> Beachte: Hier ist die 3 keine Kardinalzahl mehr.
Hier stellt sich mir die Frage, im Sinne welcher Intuition [mm] $\nu^3(|B|)$ [/mm] als Kardinalität von C zu identifizieren ist?
Vielleicht so: Wenn wir 3 mal je ein Bonbon zu Bertas Bonbons hinzunehmen, haben wir Christas Bonbon-Anzahl.
(Hier würde auch der Operatoraspekt zutage treten.)
Andererseits würde ich diese Intuition eher so formaler fassen:
Wir betrachten (Bonbon-)Mengen [mm] $B=B_0\subset B_1\subset B_2\subset B_3$, [/mm] wobei [mm] $B_{i+1}$ [/mm] jeweils aus [mm] $B_i$ [/mm] "durch Hinzunahme eines Bonbons entsteht".
Dann entspricht |C| gemäß obiger Intuition [mm] $|B_3|$.
[/mm]
> Richtig. Aber: Die Durchführung der Addition muss nicht
> immer durch Vereinigung von disjunkten Mengen geschehen:
> Paul zum Beispiel zählt weiter: [mm][11,\quad 12,\quad 13]\[/mm].
>
Natürlich ist das eine sinnvolle Lösungsstrategie für jemandem mit einem ausgebildeten Zahlenverständnis.
Bei dem vorliegenden Berta-Christa-Beispiel stellt sich mir jedoch die Frage, inwiefern dieses Weiterzählen der Intuition von "3 Bonbons mehr" entspricht.
> Am Ende ist das wohl hier auch Geschmackssache.
Ja.
Mein Geschmack sieht hier wie folgt aus:
Mir gefallen unsere beiden Kardinalzahl-Ansätze besser, da sie aus meiner Sicht der Intuition von "3 Bonbons mehr" eher entsprechen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Mo 14.09.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Tobias!
Deine Lösungen zeigen sofort folgendes:
Beim Kardinalzahlaspekt entsteht die Addition durch Vereinigung von disjunkten Mengen. Die Subtraktion entsteht durch Restmengenbildung.
Außerdem habe ich mir folgendes überlegt:
Beim Ordinalzahlaspekt (Zählzahl/Ordnungszahl) entsteht die Addition durch Weiterzählen. Die Subtraktion entsteht durch Rückwärtszählen.
Beim Operatoraspekt entsteht die Addition durch Verkettung von Operatoren. Die Subtraktion entsteht durch den Umkehroperator.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Mo 14.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Danke für deine weiteren Beiträge!
Genau so eine Übersicht suche ich.
Leider befürchte ich, dass die Realität komplexer ist, als wir es gerne hätten... :-(
> Beim Kardinalzahlaspekt entsteht die Addition durch
> Vereinigung von disjunkten Mengen. Die Subtraktion entsteht
> durch Restmengenbildung.
Das scheinen mir auch die Hauptanwendungsfelder von Addition und Subtraktion von zwei Kardinalzahlen zu sein.
> Beim Ordinalzahlaspekt (Zählzahl/Ordnungszahl) entsteht
> die Addition durch Weiterzählen. Die Subtraktion entsteht
> durch Rückwärtszählen.
Ich würde mein Beispiel von Peter, der vom 3. Haus in der Straße 5 Häuser weiter zu Max' Haus (dem 8. Haus in der Straße) geht, so interpretieren:
"3+5=8" entspricht hier "Ordnungszahl+Operatorzahl/Zählzahl=Ordnungszahl".
Unabhängig davon ob man die 5 nun dem Operatorzahlaspekt oder dem Zählzahlaspekt zuordnen möchte, hat die 5 hier sicherlich eine andere Bedeutung als die 3 und die 8.
Ein Anwendungsbeispiel für eine sinnvolle Summe zweier Ordnungszahlen habe ich nicht gefunden.
Die Differenz zweier Ordnungszahlen tritt hingegen sehr wohl als eine Umkehrung von obiger Addition auf: Um vom 3. Haus zum 8. Haus zu gelangen, muss man $8-3=5$ Häuser weitergehen.
"8-3=5" entspricht hier "Ordnungszahl-Ordnungszahl=Operatorzahl/Zählzahl"
> Beim Operatoraspekt entsteht die Addition durch Verkettung
> von Operatoren. Die Subtraktion entsteht durch den
> Umkehroperator.
Diese Überlegungen sind mir nicht klar.
Hast du ein Anwendungsbeispiel?
Insbesondere ist mir nicht ganz klar, was du in diesem Zusammenhang unter einem Operator und der Verkettung zweier Operatoren verstehst.
Unter einer Operatorzahl verstehe ich eine Angabe, wie oft etwas geschieht.
Möglicherweise kann keine Liste der Bedeutungen von Additionen und Subtraktionen in Sachzusammenhängen endgültige Vollständigkeit beanspruchen. :-(
Dennoch kann man versuchen, möglichst viele insbesondere wichtige Bedeutungen aufzulisten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:09 Di 15.09.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Ein Anwendungsbeispiel für eine sinnvolle Summe zweier
> Ordnungszahlen habe ich nicht gefunden.
Mir ist dazu leider auch nichts sinnvolles eingefallen.
> > Beim Operatoraspekt entsteht die Addition durch Verkettung
> > von Operatoren. Die Subtraktion entsteht durch den
> > Umkehroperator.
> Diese Überlegungen sind mir nicht klar.
> Hast du ein Anwendungsbeispiel?
>
> Insbesondere ist mir nicht ganz klar, was du in diesem
> Zusammenhang unter einem Operator und der Verkettung zweier
> Operatoren verstehst.
> Unter einer Operatorzahl verstehe ich eine Angabe, wie oft
> etwas geschieht.
Ich nehme wieder unser Beispiel, aber vorher kurz:
Nachfolgerfunktion:
[mm] $\nu\colon\IN\to\IN\colon n\mapsto [/mm] n+1$.
Verkettung:
[mm] $\nu^1:=\nu\$,
[/mm]
[mm] $\nu^{n+1}:=\nu\circ\nu^{n}$.
[/mm]
Unser Beispiel: In einer Straße stehen 10 Häuser nebeneinander. Peter wohnt im 3. Haus, sein Freund Max im 8. Haus. An welchem Haus ist Peter auf dem Weg zu Max angelangt, wenn er von zuhause aus 2 Häuser weiter gegangen ist?
Wir setzen nun die 3 als Kardinalzahl und die 2 als Operatorzahl. Unser Operator ist nun die Nachfolgerfunktion. Das Argument ist die Kardinalzahl. Den Operator führen wir nun "hintereinander" aus. Die Anzahl der Wiederholungen ist gerade die Operatorzahl. Wir erhalten
[mm] $\nu^2(3)=(\nu\circ\nu)(3)=5$.
[/mm]
Also: Die Antwort auf die Frage "Wie oft verketten wir den Operator?" liefert die Operatorzahl selbst. Damit wird beim Operatoraspekt die Addition quasi ersetzt und zwar durch eine Verkettung vom Operator. (Die Operatorzahl ist selbstverständlich bei einem Operatoraspekt gegeben.)
Spielen wir nun das Spiel anders rum:
In einer Straße stehen 10 Häuser nebeneinander. Peter wohnt im 3. Haus, sein Freund Max im 8. Haus. An welchem Haus ist Max auf dem Weg zu Peter angelangt, wenn er von zuhause aus 2 Häuser weiter gegangen ist?
Wir setzen nun die 8 als Kardinalzahl und die 2 wieder als Operatorzahl. Der Umkehroperator ist gegeben durch
[mm] $\nu^{-1}(m)=m-1=:\mu(m)$.
[/mm]
Demnach erhalten wir
[mm] $\mu^2(m)=(\mu\circ\mu)(8)=6$.
[/mm]
Tut mir leid für meine schlechte Ausdrucksweise. Ich hoffe, dass es mit dem einfachem Beispiel klar geworden ist. Ich wollte eine etwas allgemeinere Aussage treffen und nicht speziell mit den Begriffen Funktion, Umkehrfunktion und Iteration arbeiten. Macht das jetzt Sinn? Immer diese Praxis...
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