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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 So 20.02.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Schreibe formal:
a) die Negation der Aussage [mm] $\limes_{n\rightarrow \infty}a_{n}=a$
[/mm]
b) die Aussage: [mm] $(a_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] konvergiert nicht. |
Hallo,
a) und b) ist die gleiche Aussage:
[mm] $\exists [/mm] \ n>N, \ [mm] |a_{n}-a|>\epsilon$ [/mm]
Stimmt das so?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 So 20.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Schreibe formal:
>
> a) die Negation der Aussage [mm]\limes_{n\rightarrow \infty}a_{n}=a[/mm]
>
> b) die Aussage: [mm](a_{n})_{n\in \IN}[/mm] konvergiert nicht.
> Hallo,
>
>
> a) und b) ist die gleiche Aussage:
>
> [mm]\exists \ n>N, \ |a_{n}-a|>\epsilon[/mm]
>
>
> Stimmt das so?
Nein.
Die Aussage b) sagt, dass die Folge divergent ist.
Die Negation von a) sagt nur, dass die Zahl a nicht Grenzwert ist. Damit kann die Folge trotzdem noch konvergieren, allerdings gegen einen anderen Grenzwert.
Gruß Abakus
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
>
> Danke und Gruss
>
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 So 20.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
Dann wäre b:
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR, [/mm] \ [mm] \existsl [/mm] n>N, [mm] |a_{n}-x|>\epsilon$
[/mm]
richtig?
Danke!
Gruss
kushkush
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Hi,
> Dann wäre b:
>
> [mm]\forall x \in \IR, \ \existsl n>N, |a_{n}-x|>\epsilon[/mm]
>
> richtig?
Nein, leider nicht. Divergenz bedeutet nicht, dass für alle n>N gelten muss [mm] |a_{n}-x|>\varepsilon.
[/mm]
Wenn du es schon so haben möchtest, wäre eine äquivalente Formulierung für b zum Beispiel:
"Für alle [mm] x\in\IR [/mm] gibt es ein [mm] \varepsilon>0, [/mm] sodass dafür kein [mm] N\in\IN [/mm] existiert mit [mm] |a_n-x|<\varepsilon [/mm] für alle n>N"
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 So 20.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Hi,
> > Dann wäre b:
> >
> > [mm]\forall x \in \IR, \ \existsl n>N, |a_{n}-x|>\epsilon[/mm]
> >
> > richtig?
> Nein, leider nicht. Divergenz bedeutet nicht, dass für
> alle n>N gelten muss [mm]|a_{n}-x|>\varepsilon.[/mm]
> Wenn du es schon so haben möchtest, wäre eine
> äquivalente Formulierung für b zum Beispiel:
> "Für alle [mm]x\in\IR[/mm] gibt es ein [mm]\varepsilon>0,[/mm] sodass
> dafür kein [mm]N\in\IN[/mm] existiert mit [mm]|a_n-x|<\varepsilon[/mm] für
> alle n>N"
Dann wohl eher:
"Für alle [mm]x\in\IR[/mm] und alle [mm]\varepsilon>0,[/mm] gibt es
kein [mm]N\in\IN[/mm] mit [mm]|a_n-x|<\varepsilon[/mm] für
alle n>N"
>
> Gruß
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 So 20.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo abakus,
> > äquivalente Formulierung für b zum Beispiel:
> > "Für alle [mm]x\in\IR[/mm] gibt es ein [mm]\varepsilon>0,[/mm] sodass
> > dafür kein [mm]N\in\IN[/mm] existiert mit [mm]|a_n-x|<\varepsilon[/mm] für
> > alle n>N"
> Dann wohl eher:
> "Für alle [mm]x\in\IR[/mm] und alle [mm]\varepsilon>0,[/mm] gibt es
> kein [mm]N\in\IN[/mm] mit [mm]|a_n-x|<\varepsilon[/mm] für
> alle n>N"
Müsste nicht ein einziges [mm] \varepsilon [/mm] ausreichen?
Konvergenz von [mm] a_n [/mm] gegen ein x hieße
"Für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] N\in\IN [/mm] mit [mm] |a_n-x|<\varepsilon [/mm] für alle n>N", Aussage b) ist die Negation davon.
Tut mir leid, dass ich hier noch keinen Fehler sehe. Wäre für eine Erklärung sehr dankbar, dann lerne ich dazu!
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 So 20.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti,
Deine Aussage wäre gleichbedeutend mit "existiert mindestens ein n>N für ... [mm] >\epsilon" [/mm] , oder?
Danke!
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo kamaleonti,
>
>
> Deine Aussage wäre gleichbedeutend mit "existiert
> mindestens ein n>N für ... , oder?
Ja, das ist Teil der negierten Aussage (bzw. der Aussage in b))
siehe unten
>
>
>
>
> Danke!
>
>
> Gruss
>
> kushkush
Nun, [mm](a_n)[/mm] konvergent bedeutet, dass es einen (eind.) GW [mm]a\in\IR[/mm] gibt.
Das macht zusammen mit der [mm]\varepsilon[/mm]-Def.:
[mm]\exists a\in\IR \ \forall\varepsilon>0 \ \exists n_0\in\IN \ \forall n\in\IN \ : \ n\ge n_0 \ \Rightarrow \ |a_n-a|<\varepsilon[/mm]
Die Negation des Ganzen dreht alle Quantoren um und negiert die Aussage [mm]p\rightarrow q[/mm], gibt also [mm]p\wedge \neg q[/mm]
Also [mm]\forall a\in\IR \ \ \exists\varepsilon>0 \ \forall n_0\in\IN \ \exists n\in\IN \ : \ n\ge n_0 \ \wedge \ |a_n-a|\ge\varepsilon[/mm]
Das [mm]n\ge n_0[/mm] kannst du auch in einen Quantor packen:
Konvergenz: [mm]\exists a\in\IR \ \forall\varepsilon>0 \ \exists n_0\in\IN \ \forall n\ge n_0 \ : \ |a_n-a|<\varepsilon[/mm]
Nicht-Konvergenz entsprechend:
[mm]\forall a\in\IR \ \exists\varepsilon>0 \ \forall n_0\in\IN \ \exists n\ge n_0 \ : \ |a_n-a|\ge\varepsilon[/mm]
Da hast du die oben erfragte Existenz des [mm] $n\ge n_0$ [/mm] nochmal verdeutlicht ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Mo 21.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo schachuzipus,
Danke für die Erklärungen.
Gruss
kushkush
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