Folgevorschrift bilden < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Hybris |
| Aufgabe | | Auf dem ersten Schachfeld liegt ein Weizenkorn. Ich lege auf folgendes Schachfeld das Doppelte, was sich an dem vorherigen Feld befinden. Wie Körner sind am letzten Schachbrettfeld zu zählen und wie viele Körner befinden sich auf dem gesamten Brett? |
Hallo Jungs. Ich habe die Aufgabe etwas abgekürzt, das Wichtigste aber genannt.
Ich bin folgend vorgegangen. Ich weiß, dass es insgesammt 64 Felder gibt und das auf dem ersten 1 Korn liegt.
Es heißt ja, dass sich auf dem folgenden Feld das Doppelte vom Vorfeld liegen muss.
Somit ist das erste Teil: [mm] a_{n}=2*.........
[/mm]
So, da ich immer die Menge vom Vorfeld mit einbeziehen muss, würde ich sagen kann ich das folgend Ausdrücken: [mm] a_{n}=2*a_{n-1} [/mm] Ich beziehe so mit n-1 immer den Wert mit ein und multipliziere diesen mit 2. Soweit okay?
So, meine Funktionsvorschrift lautet somit: [mm] a_{n}=2*a_{n-1} [/mm] Mit dieser kann ich den Wert für mit Körnern gefülltes Schachfeld ausrechnen.
Problematisch ist hier, dass es sich um die Rekursive Schreibweise handelt, wo ein neuer Wert sich immer auf den Vorherigen beruft. Somit ist es mir kaum möglich, z.B. das Feld 50 auszurechnen......
So nun habe ich anders probiert aber zu keiner Lösung gekommen. Als Tipp habe ich [mm] a_{n}=2^{n-1} [/mm] bekommen. Diese kann ich leider nicht ganz nachvollziehen.
Somit meine Frage bzw. Fragen :)
Stimmt das erste was ich gemacht habe? Wie läuft das Zweite und drittens, wie rechne ich die Gesamte Menge an körnern aus?
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Mi 20.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Deine Überlegungen sind richtig. Nur würde ich so schreiben:
[mm] $a_1=1$ [/mm] und [mm] $a_{n+1}=2a_n$ [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1.
Damit kannst Du dann leicht mit Induktion zeigen, dass gilt:
$ [mm] a_{n}=2^{n-1} [/mm] $ für n [mm] \ge [/mm] 1
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Hybris |
Vielen Dank für schnelle Antwort.
Die Antwort 1 ist top, habe mehrmals durchlesen müssen aber nun sitzt es :) Es ist aber auch die Rekursive Schreibweise oder?
Zu dem zweiten Teil, kann man es ohne die V. I. nicht bilden?
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Hybris,
> Vielen Dank für schnelle Antwort.
>
> Die Antwort 1 ist top, habe mehrmals durchlesen müssen
> aber nun sitzt es :) Es ist aber auch die Rekursive
> Schreibweise oder?
Ja klar, mit Anfangsglied [mm]a_1=1[/mm]
Und ob du nun [mm]a_{n+1}=2a_n[/mm] für [mm]n\ge 1[/mm] oder wie du [mm]a_n=2a_{n-1}[/mm] für [mm]n\ge 1[/mm] mit Anfangsglied [mm]a_0=1[/mm] schreibst, kommt ja auf dasselbe raus.
>
> Zu dem zweiten Teil, kann man es ohne die V. I. nicht
> bilden?
Doch, natürlich, aber beweisen, dass die rekursive Darstellung zu der expliziten [mm]a_n=2^{n-1}[/mm] führt, geht schnell per Induktion.
Überlegen kannst du dir das ja auch heuristisch so:
Auf dem [mm]\red{1.}[/mm] Feld liegt [mm]1=2^0=2^{\red{1}-1}=a_1[/mm] Korn, also [mm]a_{\blue{1}}=2^{\blue{1}-1}[/mm]
Auf dem [mm]\red{2.}[/mm] Feld liegen [mm]2=2^1=2^{\red{2}-1}=2a_1=a_2[/mm] Körner, also [mm]a_{\blue{2}}=2^{\blue{2}-1}[/mm]
Auf dem [mm]\red{3.}[/mm] Feld liegen [mm]4=2^2=2^{\red{3}-1}=2a_2=a_3[/mm] Körner, also [mm]a_{\blue{3}}=2^{\blue{3}-1}[/mm]
usw ... [mm]a_{\blue{n}}=2^{\blue{n}-1}[/mm]
>
> Gruß
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Hybris |
Okay. Damit kann ich leben.
So wie ich das jetzt verstehe, sagen mir jetzt die beiden Beipiele aus, wie viel Körner auf welchen Feld zu finden sind. Wie berechne ich denn die Gesamtanzahl der Körner?
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Hybris,
> So wie ich das jetzt verstehe, sagen mir jetzt die beiden
> Beipiele aus, wie viel Körner auf welchen Feld zu finden
> sind. Wie berechne ich denn die Gesamtanzahl der Körner?
Die Zahl der Körner auf Feld n ist [mm] a_n=2^{n-1}, [/mm] wie Dir doch schon gesagt wurde.
Die Gesamtsumme kannst Du mit der Summenformel für ![[]](/images/popup.gif) geometrische Reihen berechnen, die Du warscheinlich kennst.
Du kannst auch von Anfang an überlegen:
Auf dem 1. Feld liegt 1 Korn
Dann kommen 2 Körner auf das 2. Feld.
Auf dem 1. und 2. Feld liegen also insgesamt 3 Körner.
Es kommen 4 Körner auf das 3. Feld.
Auf dem 1. bis 3. Feld liegen insgesamt 7 Körner.
Es kommen 8 Körner auf das 4. Feld.
Auf dem 1. bis 4. Feld liegen insgesamt 15 Körner.
Es kommen 16 Körner...
Vielleicht ist Dir bis hierher aufgefallen, dass auf jedes "neue" Feld immer genau ein Korn mehr kommt, als schon auf dem Brett liegen.
Also liegen auf allen 64 Feldern so viele Körner, wie auf ein fiktives 65. Feld kommen müssten, minus eins.
Also insgesamt [mm] 2^{64}-1 [/mm] Körner.
Grüße
reverend
|
|
|
|
