www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Differentiation" - Folgerungen für Exponenten
Folgerungen für Exponenten < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Folgerungen für Exponenten: Beweisverfifikation
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:59 So 08.03.2020
Autor: juppiheesters

Aufgabe
Ich betrachte folgende drei Gleichungen:

[mm] $x'(t)=e^{-ax(t)}-e^{-ay(t)}$ [/mm]
[mm] $y'(t)=e^{-ay(t)}-e^{-az(t)}$ [/mm]
[mm] $z'(t)=e^{-az(t)}$ [/mm]

wobei $a>0$ eine Konstante ist und die Funktionen $x,y,z$ nicht-negativ sind.

Mittels Trennung der Variablen lässt sich die dritte Gleichung explizit lösen als
[mm] $z(t)=\frac{1}{a}(\ln(a)+\ln(t+C))$. [/mm] Insbesondere gilt also [mm] $z(t)\to\infty$ [/mm] für [mm] $t\to\infty$. [/mm]

Zeigen möchte ich nun Folgendes.

(A) Es gilt auch [mm] $x(t)\to\infty$ [/mm] sowie [mm] $y(t)\to\infty$ [/mm] für [mm] $t\to\infty$. [/mm]

(B) Es existiert ein $T>0$, sodass $x(t)<y(t)<z(t)$ für alle $t>T$.



Ich wüsste gerne, ob meine Beweise in Ordnung sind.

Zu (A):

Zeige zunächst, dass [mm] $y(t)\to\infty$ [/mm] für [mm] $t\to\infty$. [/mm] Hierzu sei angenommen, dass $y$ beschränkt ist, d.h. [mm] $y\leq [/mm] M$ für ein $M>0$. Dann gilt [mm] $y'(t)\geq e^{-aM}-e^{-az(t)}$ [/mm] und da [mm] $e^{-az(t)}\to [/mm] 0$, folgt hieraus, dass $y'(t)>0$ für $t$ hinreichend groß. Dann ist $y$ aber konvergent (da nach oben beschränkt und monoton wachsend), was impliziert, dass [mm] $y'(t)\to [/mm] 0$. Das kann aber nur gelten, wenn [mm] $y(t)\to\infty$ [/mm] für [mm] $t\to\infty$. [/mm] Widerspruch zur Beschränktheit

Nun, da ich weiß, dass [mm] $y(t)\to\infty$, [/mm] kann ich das gleiche Argument anwenden auf $x$, also folgt [mm] $x(t)\to\infty$ [/mm] für [mm] $t\to\infty$. [/mm]


Zu (B):

Ich zeige zunächst, dass es ein $T>0$ gibt mit $y(t)<z(t)$ für alle $t>T$. Angenommen, das sei falsch, d.h. für jedes $T>0$ existiert ein $t'>T$ mit [mm] $y(t')\geq [/mm] z(t')$, also [mm] $y'(t')\leq [/mm] 0$. Da [mm] $y(t)\to\infty$ [/mm] nach (A), existiert ein $t''>t'$ mit $y'(t'')>0$. Da $z$ monoton anwächst, bedeutet das, dass $y$ um $z$ herum oszilliert, also immer wieder die Nullkline $y=z$ in schneidet. Das ist aber nicht möglich, denn die Nullkline kann nur "von oben nach unten" geschnitten werden, da die Menge [mm] $\{(y,z): y'>0\}$ [/mm] vorwärtsinvariant ist. Das sieht man, indem man eine kleine Störung [mm] $y(t)=z(t)+\varepsilon$ [/mm] betrachtet. Dann gilt [mm] $y'(t)=e^{-az}(e^{-a\varepsilon}-1)$ [/mm] und dies ist positiv.

Das gleiche Argument kann ich für $x(t)$ und $t>T'$ anwenden, da nach dem Gezeigten $y(t)$ für $t>T'$ monoton wachsend ist. Das heißt, es gibt ein $T''>T'$ mit $x(t)<y(t)$ für alle $t>T''$.

Insgesamt gibt es also ein $T>T''$ mit $x(t)<y(t)<z(t)$ für alle $t>T$.





Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[https://www.matheplanet.com/index.html]

        
Bezug
Folgerungen für Exponenten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:00 So 08.03.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  [https://www.matheplanet.com/index.html]

da fehlt wohl Stackexchange…

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Folgerungen für Exponenten: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Di 10.03.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]