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Folgerungen aus d Primzahlsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:23 Sa 12.11.2011
Autor: swetti

Aufgabe
Folgerung aus dem Primzahlsatz:

Zu zeigen ist
Es gibt keine reellen Polynome p(x), q(x) mit [mm] \pi(n)=p(n)/q(n) [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm]

Hallo,

diese Aufgabe soll ich zeigen. Ich habe aber sehr große Schwierigkeiten, richtig an die Aufgabe heran zu gehen, da ich nicht wirklich weiß, was genau ich zeigen muss.
Folgendes weiß ich: [mm] \pi(x)=#\{p \le x | p Primzahl \}. [/mm] Das kann ich abschätzen als [mm] \pi(x)= \bruch{x}{log(x)}. [/mm]

Uns uns wurde der Tipp gegeben, den Beweis über einen Widerspruch zu führen:
Nehme an, es gibt reelle Polynome p(x), q(x), so dass  [mm] \pi(n)= \bruch{n}{log(n)}=\bruch{p(n)}{q(n)}. [/mm] Dieses solle man mit der Begründung, dass Polynome anders als der Logarythmus wächst, zum Widerspruch führen.
Leider kann ich aus der Behauptung, dass p und q reell sind, nichts weiter ableiten als dass ihre Koeffizienten bzw. Nullstellen reell sind. Und damit komme ich hier nicht weiter.


Ich wäre für einen Tipp bzw. Lösungsansatz sehr froh, um zu wissen wie ich bei dieser Aufgabe (weiter)verfahren kann.

Vielen Dank im Vorraus, swetti

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
        
Bezug
Folgerungen aus d Primzahlsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:44 Mo 14.11.2011
Autor: reverend

Hallo swetti,

stehen Dir []Landau-Symbole zur Verfügung? Dann ist die Aufgabe leicht zu lösen.

Wenn nicht, wird es etwas schwieriger.

Nach Umformung müsste gelten:

[mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{\bruch{n}{\ln{n}}}{\bruch{p(n)}{q(n)}}=\lim_{n\to\infty}\bruch{n*q(n)}{p(n)*\ln{n}}=1 [/mm]

Grenzwert über l'Hospital untersuchen. Dann reduzierst Du die Aufgabe darauf, dass [mm] \ln{x} [/mm] nicht beliebig weit durch ein Polynom in x angenähert werden kann. Das ist dann schon einfacher zu lösen...

Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
Folgerungen aus d Primzahlsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:03 Mo 14.11.2011
Autor: felixf

Moin,

> stehen Dir []Landau-Symbole
> zur Verfügung? Dann ist die Aufgabe leicht zu lösen.
>  
> Wenn nicht, wird es etwas schwieriger.
>  
> Nach Umformung müsste gelten:
>  
> [mm]\lim_{n\to\infty}\bruch{\bruch{n}{\ln{n}}}{\bruch{p(n)}{q(n)}}=\lim_{n\to\infty}\bruch{n*q(n)}{p(n)*\ln{n}}=1[/mm]
>  
> Grenzwert über l'Hospital untersuchen. Dann reduzierst Du
> die Aufgabe darauf, dass [mm]\ln{x}[/mm] nicht beliebig weit durch
> ein Polynom in x angenähert werden kann. Das ist dann
> schon einfacher zu lösen...

oder man schreibt einach $p(x) = [mm] \sum_{i=0}^k a_i x^i$ [/mm] und $g(x) = [mm] \sum_{j=0}^\ell b_j x^j$ [/mm] mit [mm] $a_k \neq [/mm] 0 [mm] \neq b_\ell$. [/mm] Dann ist [mm] $\frac{p(n)}{q(n)} [/mm] = [mm] n^{k-\ell} \cdot \frac{a_k}{b_\ell} \cdot \frac{1 + \sum_{i=1}^k a_{k-i}/a_k n^{-i}}{1 + \sum_{j=1}^\ell b_{\ell-j}/b_\ell n^{-j}}$. [/mm] Der hintere Faktor geht fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] eindeutig gegen [mm] $\frac{1}{1} [/mm] = 1$.

Damit laesst sich [mm] $\frac{\frac{n}{\ln n}}{\frac{p(n)}{q(n)}}$ [/mm] etwas einfacher untersuchen, da man Faktoren die gegen etwas konstantes [mm] ($\neq [/mm] 0$) konvergieren nicht betrachten muss :-)

LG Felix

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