Folgerung aus <=> Aussage < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen!
Ich habe den folgenden Satz gegeben:
Sei $Z: [mm] \mathbb{N}_0\times\Omega\rightarrow \mathbb{N}_0$ [/mm] ein Galton-Watson-Prozess mit [mm] $Z_0=1$. [/mm] Desweiteren sei $G: [mm] [-1,1]\rightarrow[-1,1]$ [/mm] die Erzeugendenfunktion der Nachkommensverteilung mit $m:=G'(1) [mm] \in [0,\infty)$ [/mm] und [mm] $G'(0)\neq1$. [/mm] Sei [mm] $q:=\mathbb{P}($$\exists$ [/mm] $n [mm] \in \mathbb{N}_0: Z_n=0)$ [/mm] die Aussterbewahrscheinlichkeit. Dann gilt [mm] \\
[/mm]
A: [mm] $\{q,1\}=\{x \in [0,1]: G(x)=x\}$ [/mm] und
B: $q<1$ genau dann, wenn $m>1$.
Meine Frage ist, ob man aus Punkt B schließen kann, dass
$q=1$ genau dann, wenn [mm] $m\leq1$ [/mm] gilt?
Danke für eure Hilfe!
GirlyMaths
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Mi 07.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
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> Ich habe den folgenden Satz gegeben:
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> Sei [mm]Z: \mathbb{N}_0\times\Omega\rightarrow \mathbb{N}_0[/mm] ein
> Galton-Watson-Prozess mit [mm]Z_0=1[/mm]. Desweiteren sei [mm]G: [-1,1]\rightarrow[-1,1][/mm]
> die Erzeugendenfunktion der Nachkommensverteilung mit
> [mm]m:=G'(1) \in [0,\infty)[/mm] und [mm]G'(0)\neq1[/mm]. Sei
> [mm]q:=\mathbb{P}([/mm][mm]\exists[/mm] [mm]n \in \mathbb{N}_0: Z_n=0)[/mm] die
> Aussterbewahrscheinlichkeit. Dann gilt [mm]\\[/mm]
> A: [mm]\{q,1\}=\{x \in [0,1]: G(x)=x\}[/mm] und
> B: [mm]q<1[/mm] genau dann, wenn [mm]m>1[/mm].
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> Meine Frage ist, ob man aus Punkt B schließen kann, dass
> [mm]q=1[/mm] genau dann, wenn [mm]m\leq1[/mm] gilt?
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> Danke für eure Hilfe!
> GirlyMaths
Aus A bekommt man: $q [mm] \in [/mm] [0,1]$, also insbesondere $q [mm] \le [/mm] 1$.
Mit B hat man dann natürlich:
$q=1 [mm] \gdw [/mm] m [mm] \le [/mm] 1$.
FRED
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