www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Sonstiges" - Folgerung
Folgerung < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Folgerung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Do 05.07.2012
Autor: eps

[mm] w_i [/mm] sind positive reelle Zahlen.
[mm] W_k=w_1+\cdots+w_k [/mm]

Folgt aus
[mm] \bruch{w_1}{W_1}\ge \bruch{w_2}{W_2}\ge \cdots \ge \bruch{w_n}{W_n}, [/mm] dass
[mm] W_k^2\ge w_{k+1}\sum_{i=1}^{k-1} W_i [/mm]  für  [mm] 2\le [/mm] k [mm] \le [/mm] n-1

Eigentlich wollte ich ein Beispiel finden, dass die erste Bedingung gilt und die zweite nicht, doch so ein Beispiel scheint es nicht zu geben (andersrum gibt es solch ein Beispiel). Deshalb müsste aus dem ersten das zweite folgen, doch auch da komm ich nicht weiter. Vielleicht kann mir jemand helfen?

Danke schonmal...

        
Bezug
Folgerung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:49 Do 05.07.2012
Autor: barsch

Hallo!

Ohne es selbst versucht zu haben: Aber hast du mal vollständige Induktion über k versucht?!

Gruß
barsch


Bezug
        
Bezug
Folgerung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:14 Do 05.07.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

es gilt:

[mm] $w_{k+1}\sum_{i=1}^{k-1} W_i [/mm] = [mm] W_{k+1} w_{k+1}\sum_{i=1}^{k-1} \bruch{W_i}{W_{k+1}} \le W_{k+1} w_{k+1} \sum_{i=1}^{k-1} \bruch{w_i}{w_{k+1}} [/mm] = [mm] W_{k+1}W_{k-1} [/mm] = [mm] (W_k [/mm] + [mm] w_{k+1})(W_k [/mm] - [mm] w_k) [/mm] = [mm] W_k^2 [/mm] +  [mm] w_{k+1}W_k [/mm] - [mm] w_k w_{k+1} [/mm] - [mm] w_kW_k [/mm] = [mm] W_k^2 [/mm] + ( [mm] w_{k+1} [/mm] - [mm] w_k)W_k [/mm] - [mm] w_k w_{k+1}$ [/mm]

b.z.z

[mm] $(w_{k+1} [/mm] - [mm] w_k)W_k [/mm] - [mm] w_k w_{k+1} [/mm] < 0 [mm] \quad\gdw\quad (w_{k+1} [/mm] - [mm] w_k)W_k [/mm] < [mm] w_kw_{k+1} \quad\gdw\quad \bruch{1}{w_k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{w_{k+1}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{W_k}$ [/mm]

Das sieht doch schon ein bisschen besser aus :-)

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Folgerung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 Do 05.07.2012
Autor: eps

Super, danke, das hat mir weitergeholfen!!! Es folgt wirklich daraus. Vielen Dank!

> Hiho,
>  
> es gilt:
>  
> [mm]w_{k+1}\sum_{i=1}^{k-1} W_i = W_{k+1} w_{k+1}\sum_{i=1}^{k-1} \bruch{W_i}{W_{k+1}} \le W_{k+1} w_{k+1} \sum_{i=1}^{k-1} \bruch{w_i}{w_{k+1}} = W_{k+1}W_{k-1} = (W_k + w_{k+1})(W_k - w_k) = W_k^2 + w_{k+1}W_k - w_k w_{k+1} - w_kW_k = W_k^2 + ( w_{k+1} - w_k)W_k - w_k w_{k+1}[/mm]
>  

Das letzte Gleichheitszeichen hab ich nicht verstanden, aber ich konnte zeigen, dass unter der gegebenen Voraussetzung [mm] w_{k+1}W_k [/mm] - [mm] w_k w_{k+1} [/mm] - [mm] w_kW_k \le [/mm] 0 folgt.

> b.z.z
>
> [mm](w_{k+1} - w_k)W_k - w_k w_{k+1} < 0 \quad\gdw\quad (w_{k+1} - w_k)W_k < w_kw_{k+1} \quad\gdw\quad \bruch{1}{w_k} - \bruch{1}{w_{k+1}} < \bruch{1}{W_k}[/mm]
>  
> Das sieht doch schon ein bisschen besser aus :-)
>  
> MFG,
>  Gono.


Bezug
                        
Bezug
Folgerung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:49 Do 05.07.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Super, danke, das hat mir weitergeholfen!!! Es folgt
> wirklich daraus. Vielen Dank!
>  
> > Hiho,
>  >  
> > es gilt:
>  >  
> > [mm]w_{k+1}\sum_{i=1}^{k-1} W_i = W_{k+1} w_{k+1}\sum_{i=1}^{k-1} \bruch{W_i}{W_{k+1}} \le W_{k+1} w_{k+1} \sum_{i=1}^{k-1} \bruch{w_i}{w_{k+1}} = W_{k+1}W_{k-1} = (W_k + w_{k+1})(W_k - w_k) = W_k^2 + w_{k+1}W_k - w_k w_{k+1} - w_kW_k = W_k^2 + ( w_{k+1} - w_k)W_k - w_k w_{k+1}[/mm]
>  
> >  

> Das letzte Gleichheitszeichen hab ich nicht verstanden,

dieses:
[mm] $$W_k^2 [/mm] +  [mm] w_{k+1}W_k [/mm] - [mm] w_k w_{k+1} [/mm] - [mm] w_kW_k [/mm] = [mm] W_k^2 [/mm] + ( [mm] w_{k+1} [/mm] - [mm] w_k)W_k [/mm] - [mm] w_k w_{k+1}\text{ ?}$$ [/mm]

Da passiert doch nicht viel, da wird nur [mm] $W_k$ [/mm] einmal ausgeklammert, ich schreib's mal anders auf:
[mm] $$W_k^2 [/mm] +  [mm] w_{k+1}\mathbf{\blue{W_k}} [/mm] - [mm] w_k w_{k+1} [/mm] - [mm] w_k\mathbf{\blue{W_k}}=W_k^2+ \mathbf{\blue{W_k}}(w_{k+1}-w_k)-w_kw_{k+1}\,.$$ [/mm]

Und wenn Du rechterhand nun nochmal beim mittleren Summanden, der ja ein Produkt ist, die Faktoren vertauschst (die Multiplikation in [mm] $\IR$ [/mm] ist ja kommutativ), hast Du genau Gonos Form.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Folgerung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:20 Fr 06.07.2012
Autor: eps

oh ja - na klar - ich hab vorhin was anderes gelesen und das hat nicht gepasst ;-)

Bezug
                                        
Bezug
Folgerung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:44 Fr 06.07.2012
Autor: Marcel

Hi,

> oh ja - na klar - ich hab vorhin was anderes gelesen und
> das hat nicht gepasst ;-)

kann ich verstehen - ich muss auch oft die Sachen auf einem Blatt Papier vor mir liegen haben. Am Monitor wird man schon schnell mal unkonzentriert ^^

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]