Folgerung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Di 14.09.2010 | | Autor: | Hejo |
| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] und alle q [mm] \in \IR, [/mm] q [mm] \not= [/mm] 1, gilt:
[mm] \summe_{k=o}^{n-1} q^k [/mm] = [mm] \bruch{q^n-1}{q-1}.
[/mm]
Folgern Sie hierraus für a,b [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] a^n-b^n [/mm] = [mm] (a-b)\summe_{k=o}^{n-1}a^kb^{n-1-k}
[/mm]
Was ergibt sich für n=2? |
Die Induktion habe ich hinbekommen ich weiß nur nicht wie ich zweige dass es für alle q [mm] \in \IR, q\not=1 [/mm] gilt.
Nur bei dem Folgern fehlt mir der Ansatz.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Di 14.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hejo!
> Die Induktion habe ich hinbekommen ich weiß nur nicht wie
> ich zweige dass es für alle q [mm]\in \IR, q\not=1[/mm] gilt.
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Wie hast Du denn dann die Induktion "hinbekommen"?
> Nur bei dem Folgern fehlt mir der Ansatz.
Es gilt (durch Umstellen der obigen Formel):
[mm] $q^n [/mm] \ = \ [mm] 1+(q-1)*\summe_{k=0}^{n-1}q^k$
[/mm]
Stelle hiermit nun [mm] $a^n-b^n$ [/mm] auf und fasse zusammen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Di 14.09.2010 | | Autor: | Hejo |
okay die induktion
z.zg.: [mm] \summe_{k=o}^{n-1} q^k [/mm] = [mm] \bruch{q^n-1}{q-1}
[/mm]
Induktionsverankerung für n=1
[mm] q^0 [/mm] =1 = [mm] \bruch{q^0-1}{q-1}=1
[/mm]
Induktionsschritt:
[mm] \summe_{k=0}^{n} q^k= \summe_{k=0}^{n-1} q^k+q^n
[/mm]
= [mm] \bruch{q^n-1}{q-1}+q^n
[/mm]
[mm] =\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}
[/mm]
= [mm] \bruch{q^{n-1}}{q-1} [/mm] + [mm] \bruch{q^n(q-1)}{q-1}
[/mm]
[mm] =\bruch{q^n-1+q^{n+1}-q^n}{q-1}
[/mm]
[mm] =\bruch{q^{n+1} -1}{q-1}
[/mm]
qed
[mm] q^n=1+(q-1)\summe_{k=0}^{n-1}q^k
[/mm]
oder
[mm] a^n=1+(a-1)\summe_{k=0}^{n-1}a^k
[/mm]
[mm] (1+(a-1)-b^n)\summe_{k=0}^{n-1}a^k [/mm] = [mm] (a-b)\summe_{k=o}^{n-1}a^kb^{n-1-k}
[/mm]
[mm] (a-b^n)\summe_{k=0}^{n-1}a^k [/mm] = [mm] (a-b)\summe_{k=o}^{n-1}a^kb^{n-1-k}
[/mm]
hier komm ich grad nich weiter:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Di 14.09.2010 | | Autor: | abakus |
> okay die induktion
> z.zg.: [mm]\summe_{k=o}^{n-1} q^k[/mm] = [mm]\bruch{q^n-1}{q-1}[/mm]
>
> Induktionsverankerung für n=1
>
> [mm]q^0[/mm] =1 = [mm]\bruch{q^0-1}{q-1}=1[/mm]
Also wenn [mm] q^0=1 [/mm] gilt, dann ist [mm] q^0-1=0. [/mm] Somit kann dein Bruch nie und nimmer 1 ergeben.
Gruß Abakus
>
> Induktionsschritt:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} q^k= \summe_{k=0}^{n-1} q^k+q^n[/mm]
>
> = [mm]\bruch{q^n-1}{q-1}+q^n[/mm]
>
> [mm]=\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{q^{n-1}}{q-1}[/mm] + [mm]\bruch{q^n(q-1)}{q-1}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{q^n-1+q^{n+1}-q^n}{q-1}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{q^{n+1} -1}{q-1}[/mm]
>
> qed
>
> [mm]q^n=1+(q-1)\summe_{k=0}^{n-1}q^k[/mm]
>
> oder
>
> [mm]a^n=1+(a-1)\summe_{k=0}^{n-1}a^k[/mm]
>
> [mm](1+(a-1)-b^n)\summe_{k=0}^{n-1}a^k[/mm] =
> [mm](a-b)\summe_{k=o}^{n-1}a^kb^{n-1-k}[/mm]
>
> [mm](a-b^n)\summe_{k=0}^{n-1}a^k[/mm] =
> [mm](a-b)\summe_{k=o}^{n-1}a^kb^{n-1-k}[/mm]
>
> hier komm ich grad nich weiter:)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Di 14.09.2010 | | Autor: | Hejo |
> Also wenn [mm]q^0=1[/mm] gilt, dann ist [mm]q^0-1=0.[/mm] Somit kann dein
> Bruch nie und nimmer 1 ergeben.
> Gruß Abakus
ich meinte natürlich [mm] \bruch{q-1}{q-1}=1
[/mm]
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Hallo,
> > Also wenn [mm]q^0=1[/mm] gilt, dann ist [mm]q^0-1=0.[/mm] Somit kann dein
> > Bruch nie und nimmer 1 ergeben.
> > Gruß Abakus
>
>
> ich meinte natürlich [mm]\bruch{q-1}{q-1}=1[/mm]
Jo!
Deine Rechnung im Induktionsschritt ist auch ok, aber streiche die 3.Zeile, das muss am Ende herauskommen (was es ja auch in deiner Rechnung tut)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Di 14.09.2010 | | Autor: | Hejo |
könnt ihr mir noch bei der folgerung weiterhelfen bitte:)
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Hmm... also ich sehe nicht so recht wie dein Ansatz zum Erfolg führen soll...
Nimm doch mal für [mm] $q=\bruch{a}{b}$ [/mm] und setz das in deine vorher bewiesene Aussage ein!
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Hejo |
[mm] q=\bruch{a}{b}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n-1} (\bruch{a}{b})^k=\bruch{(\bruch{a}{b})^n-1}{(\bruch{a}{b})-1}
[/mm]
[mm] (\bruch{a}{b})^n= 1+(\bruch{a}{b}-1)\summe_{k=0}^{n-1} (\bruch{a}{b})^k
[/mm]
und jetzt?
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> [mm]q=\bruch{a}{b}[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1} (\bruch{a}{b})^k=\bruch{(\bruch{a}{b})^n-1}{(\bruch{a}{b})-1}[/mm]
Hallo,
und jetzt aufgepaßt, jetzt wird gezaubert:
das obige ist äquivalent zu
[mm]\summe_{k=0}^{n-1} a^k*b^{-k}=\bruch{(\bruch{a}{b})^n-1}{(\bruch{a}{b})-1}*\bruch{b^n}{b^n}=\bruch{a^n-b^n}{(a-b)b^{n-1}}[/mm].
Jetzt bist Du wieder dran...
Gruß v. Angela
>
> [mm](\bruch{a}{b})^n= 1+(\bruch{a}{b}-1)\summe_{k=0}^{n-1} (\bruch{a}{b})^k[/mm]
>
> und jetzt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Hejo |
danke für den tipp:)
[mm] \summe_{k=0}^{n-1} a^k\cdot{}b^{-k}=\bruch{(\bruch{a}{b})^n-1}{(\bruch{a}{b})-1}\cdot{}\bruch{b^n}{b^n}=\bruch{a^n-b^n}{(a-b)b^{n-1}}
[/mm]
[mm] a^n-b^n=(a-b)b^{n-1}\summe_{k=0}^{n-1} a^k\cdot{}b^{-k}
[/mm]
man kann doch das [mm] b^{n-1} [/mm] nich einfach mit dem [mm] b^{-k}, [/mm] welches hinter dem Summenzeichen steht multiplizieren oder!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Mi 15.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> danke für den tipp:)
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1} a^k\cdot{}b^{-k}=\bruch{(\bruch{a}{b})^n-1}{(\bruch{a}{b})-1}\cdot{}\bruch{b^n}{b^n}=\bruch{a^n-b^n}{(a-b)b^{n-1}}[/mm]
>
> [mm]a^n-b^n=(a-b)b^{n-1}\summe_{k=0}^{n-1} a^k\cdot{}b^{-k}[/mm]
>
> man kann doch das [mm]b^{n-1}[/mm] nich einfach mit dem [mm]b^{-k},[/mm]
> welches hinter dem Summenzeichen steht multiplizieren
> oder!?
Na klar kannst Du das. Es gilt:
$c* [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i= \summe_{i=1}^{n}c*a_i$
[/mm]
Das nennt man "Distributivgesetz"
FRED
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> danke für den tipp:)
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1} a^k\cdot{}b^{-k}=\bruch{(\bruch{a}{b})^n-1}{(\bruch{a}{b})-1}\cdot{}\bruch{b^n}{b^n}=\bruch{a^n-b^n}{(a-b)b^{n-1}}[/mm]
>
> [mm]a^n-b^n=(a-b)b^{n-1}\summe_{k=0}^{n-1} a^k\cdot{}b^{-k}[/mm]
>
> man kann doch das [mm]b^{n-1}[/mm] nich einfach mit dem [mm]b^{-k},[/mm]
> welches hinter dem Summenzeichen steht multiplizieren
> oder!?
Hallo,
doch.
Beachte, daß das n hier fest ist. [mm] b^{n-1} [/mm] ist also eine Konstante.
Den Rest hat Dir Fred gesagt.
Gruß v. Angela
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