Folgenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:23 Mi 09.01.2008 | | Autor: | abi2007LK |
Hallo,
ich soll prüfen, in welchen Punkten die Funktion
f(x) = [mm] \frac{2x^3-6x^2}{x^2-9} [/mm] mit x [mm] \in \IR \backslash \{-3,3\}, [/mm] f(-3)=4, f(3)=3
stetig ist.
Zunächst habe ich überprüft, wo f(x) nicht definiert ist.
[mm] \gdw x^2-9 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_1 [/mm] = 3, [mm] x_2 [/mm] = -3
Ich nehme an, dass für f(x) in [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] stetig ist. Dann müsste folgendes gelten:
[mm] f(x_1) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_1} [/mm] f(x)
[mm] \gdw f(x_1) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_1+} [/mm] f(x)
[mm] \gdw f(x_1) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_1-} [/mm] f(x)
Analog für [mm] x_2
[/mm]
Nun wollte ich das Folgenkriterium anwenden.
"f: D [mm] \to \IR [/mm] ist genau dann stetig in [mm] x_0 \in [/mm] D, wenn für alle Folgen [mm] (x_n) [/mm] aus D mit [mm] x_n \to x_0 [/mm] gilt: [mm] f(x_n) \to f(x_0)."
[/mm]
Problem: [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] liegen bei mir garnich in der Definitionsmenge D. Das macht mich etwas "stutzig". Dann kann ich also auch das Folgenkriterium wohl nicht anwenden.
Oder doch?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Mi 09.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich würde folgendes machen:
> Hallo,
>
> ich soll prüfen, in welchen Punkten die Funktion
>
> f(x) = [mm]\frac{2x^3-6x^2}{x^2-9}[/mm] mit x [mm]\in \IR \backslash \{-3,3\},[/mm]
> f(-3)=4, f(3)=3
>
> stetig ist.
>
> Zunächst habe ich überprüft, wo f(x) nicht definiert ist.
>
> [mm]\gdw x^2-9[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow x_1[/mm] = 3, [mm]x_2[/mm] = -3
>
[mm] f(x)=\frac{2x^3-6x^2}{x^2-9}=\bruch{2x^2*(x-3)}{(x-3)*(x+3)}=\bruch{2x^2}{x+3}
[/mm]
jetzt ist [mm] \limes_{x\rightarrow{x_1}}f(x)=\limes_{x\rightarrow{3}}f(x)=3 [/mm] und damit f stetig in [mm] x_1=3.
[/mm]
Wie das jetzt jedoch mit [mm] x_2 [/mm] ist, kann ich auch nicht sagen.
Aber vielleicht bringt dich dieser Ansatz weiter.
MfG barsch
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Hallo abi2007LK!
Der elegenatere Weg wurde Dir ja bereits gezeigt mittels faktorisieren und kürzen.
Aber auch mit dem Folgenkriterium solltest Du jeweils zum selben Ergebnis kommen.
Gruß vom
Roadrunner
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