Folgenkonvergenz Bernoulli-Ung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Mo 13.09.2010 | | Autor: | ich89HD |
| Aufgabe | Aufgabe über "exotische" Zahlenfolgen
[mm] b_n=\wurzel[n]{10}
[/mm]
Hinweis: Man mache den Ansatz [mm] b_n=1+h_n [/mm] und beachte die Bernoullische Ungleichung [mm] (1+a)^n \ge [/mm] 1+na |
Lösung:
Mit [mm] b_n=1+h_n, h_n>0, [/mm] ergibt die Bernoullische Ungleichung:
[mm] 10=(1+h_n)^n \ge 1+nh_n \Rightarrow h_n \le \bruch{9}{n} \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty [/mm] )
Folglich gilt [mm] b_n \to [/mm] 1(n [mm] \to \infty [/mm] )
Mein Problem:
Ich sitze auf dem Schlauch und kann der Lösung nicht folgen.
[mm] 10=(1+h_n)^n \ge 1+nh_n [/mm] kann ich nicht nachvollziehen. Wieso gilt [mm] 10=(1+h_n)^n?
[/mm]
Danke schon einmal für Eure Mühe.
Ich habe die Forensuche und auch Google bemüht, konnte aber leider nichts finden, was mit weiterhilft.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ich89HD und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Aufgabe über "exotische" Zahlenfolgen
> [mm]b_n=\wurzel[n]{10}[/mm]
> Hinweis: Man mache den Ansatz [mm]b_n=1+h_n[/mm] und beachte die
> Bernoullische Ungleichung [mm](1+a)^n \ge[/mm] 1+na
> Lösung:
> Mit [mm]b_n=1+h_n, h_n>0,[/mm] ergibt die Bernoullische
> Ungleichung:
> [mm]10=(1+h_n)^n \ge 1+nh_n \Rightarrow h_n \le \bruch{9}{n} \to[/mm]
> 0 (n [mm]\to \infty[/mm] )
> Folglich gilt [mm]b_n \to[/mm] 1(n [mm]\to \infty[/mm] )
>
> Mein Problem:
> Ich sitze auf dem Schlauch und kann der Lösung nicht
> folgen.
> [mm]10=(1+h_n)^n \ge 1+nh_n[/mm] kann ich nicht nachvollziehen.
> Wieso gilt [mm]10=(1+h_n)^n?[/mm]
Na, oben ist doch die Folge [mm]h_n[/mm] definiert [mm]h_n=b_n-1[/mm] bzw. umgestellt [mm]b_n=1+h_n[/mm]
Und [mm]b_n=\sqrt[n]{10}[/mm]
Also [mm]\sqrt[n]{10}=1+h_n[/mm]
Nimm diese Gleichung "hoch n" und du hast [mm]\left( \ \sqrt[n]{10} \ \right)^n \ = \ (1+h_n)^n[/mm]
Also [mm]10=(1+h_n)^n[/mm] und weiter im Text ...
>
> Danke schon einmal für Eure Mühe.
>
> Ich habe die Forensuche und auch Google bemüht, konnte
> aber leider nichts finden, was mit weiterhilft.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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