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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Di 24.11.2009 | | Autor: | Melda |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n})n\in\IN\sub [/mm] eine Folge positiver reeller Zahlen.Wir setzen [mm] d_{n}:= [/mm] n [mm] \left(1-\bruch{ a_{n+1}}{a_{n}} \right).
[/mm]
Beweisen Sie folgende Aussagen:
(a) wenn es eine Zahl [mm] N\in\IN\sub [/mm] ein [mm] \beta>1 [/mm] gibt mit [mm] d_{n}\ge\beta [/mm] für alle [mm] n\geN [/mm] dann konvergiert [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}. [/mm] Hinweis.Zeigen Sie zuerst, dass [mm] (\beta-1)a_{n} \le (n-1)a_{n}-na_{n+1}, [/mm] für [mm] n\geN. [/mm]
(b) Die Voraussetzung für das Quotienten-Kriterium impliziert die Voraussetzung für das Kriterium
aus (a). Das heißt, wenn man mit dem Quotienten-Kriterium zeigen kann, daß eine Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}
[/mm]
konvergiert, dann kann man dies auch mit dem Kriterium aus (a) zeigen. |
Hallo,
ich benötige eine Start hilfe, weiss nicht recht wie ich anfangen soll.
Danke im vorraus
Melda
PS: es heißt [mm] a_{n+1}/ a_{n} [/mm] Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Di 24.11.2009 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
Fang einfach mal an mit dem $ \beta< n * (1-\bruch{ a_{n+1}}{a_{n}} \right). $ forme um
und versuche beim Quotientenkriterium zu landen
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:53 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Melda |
Hallo;
ich hab das jetzt mal umgeformt und bin gelandet bei:
[mm] |-\bruch{\beta}{n}+1|>|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|
[/mm]
muss ich jetzt das Qotientenkriterium anwenden?
Viele Grüße Melda
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Mi 25.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich muss auch diese Aufgabe machen (habe leider nicht mehr so lange Zeit)
ich habe jetzt hier das Quotientenkriterium angewendet und habe nun
zum Schluss [mm] \bruch {n+1}{n}=\bruch{1}{2} \le [/mm] teta
somit ist 0<1/2<1
ich versteh aber nicht, was das mit der Aufgabe a zu tun hat :S
Ich bedanke mich im voraus
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Mi 25.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt sieht man doch direkt, dass das Quotientenkriterium erfüllt ist, sobald n so gross ist, dass [mm] \beta/n<1.
[/mm]
also habt ihr aus der bed. für d-n folgt, dass das QKr gilt.
Jetzt noch umgekehrt: ausgehend vom Quotientenkriterium
[mm] a_{n+1}/a_n<1<1-r [/mm] auf das [mm] d_n [/mm] Kriterium kommen.
Dann habt ihr gezeigt, dass man jedes der beiden als Ersatz für das andere nehmen kann.
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Do 26.11.2009 | | Autor: | Melda |
Hallo,
ich verstehe nicht wie du auf
> Jetzt noch umgekehrt: ausgehend vom Quotientenkriterium
> [mm]a_{n+1}/a_n<1<1-r[/mm] auf das [mm]d_n[/mm] Kriterium kommen.
gekommen bist. Das Quotientenkriterium lautet doch: [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|\le [/mm] teta
Gruß Melda
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Do 26.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab das kleiner gleich vor 1-r vergessen. Was ist denn dein "teta", das muss echt kleiner 1 sein, und das hab ich als Hinweis benutzt und 1-r geschrieben.
Gruss leduart
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