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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 So 27.01.2008 | | Autor: | M4rc |
| Aufgabe | 2. Gegeben ist die Zahlenfolge 1;5/6;7/11;9/18;11/27
a.) Ermitteln Sie an und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] an = g
b.) Berechnen Sie die Zahl n0 [mm] \in \IN [/mm] für die gilt, dass |an-g|<1/10 für alle n>n0 |
Ich habe das Bildungsgesetz ermittelt:
an=(2n+1)/(n²+2)
dann den Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}an [/mm] => (2n+1)/(n²+2) unbestimmter ausdurck also L Hospital
=> 2/2n=1/n => g=0
Ich bin mir nicht sicher ob das richtig ist...
und wie ich jetz teilaufgabe b machen soll weiss ich gar nicht
danke im vorraus
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> 2. Gegeben ist die Zahlenfolge 1;5/6;7/11;9/18;11/27
> a.) Ermitteln Sie an und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} an = g[/mm]
> b.) Berechnen Sie die Zahl n0 [mm]\in \IN[/mm] für die gilt, dass
> |an-g|<1/10 für alle n>n0
> Ich habe das Bildungsgesetz ermittelt:
>
> an=(2n+1)/(n²+2)
>
> dann den Grenzwert
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}an[/mm] => (2n+1)/(n²+2) unbestimmter
> ausdurck also L Hospital
>
> => 2/2n=1/n => g=0
Man braucht allerdings auf diesen Spatzen von Grenzwert nicht unbedingt mit der L'Hospitalschen Kanone zu schiessen:
[mm]\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n+1}{n^2+2}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2+\frac{1}{n}}{n+\frac{2}{n}}=0[/mm]
> Ich bin mir nicht sicher ob das richtig ist...
Doch, doch, es stimmt schon: Immer wenn [mm] $a_n$ [/mm] eine gebrochen-rationale Funktion von $n$ ist und das Nennerpolynom höheren Grad als das Zählerpolynom hat ist der Limes $=0$.
>
> und wie ich jetz teilaufgabe b machen soll weiss ich gar
> nicht
Oft hilft es schon, die Aufgabenstellung einfach mal in mathematischer Form aufs Papier zu schreiben: Du musst also ein [mm] $n_0$ [/mm] finden, ab dem für alle [mm] $n>n_0$ [/mm] gilt, dass
[mm]|a_n-g|<\tfrac{1}{10}[/mm]
Wegen $g=0$ und [mm] $a_n\geq [/mm] 0$ vereinfacht sich dies zu
[mm]\frac{2n+1}{n^2+2}\leq \frac{1}{10}[/mm]
Dies ist eine quadratische Ungleichung für $n$, die Du sogar explizit lösen kannst. Hast Du die Lösungsmenge der $n$, die diese Ungleichung erfüllen, gefunden, dann wählst Du [mm] $n_0$ [/mm] einfach so, dass aus [mm] $n>n_0$ [/mm] folgt, dass $n$ in der Lösungsmenge liegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 So 27.01.2008 | | Autor: | M4rc |
das ist jetzt bestimmt nicht mehr so kompliziert wenn man Ahnung von Ungleichungen hat hab ich jetzt nun nicht wiklich.
[mm] \bruch{2n+1}{n²+2}<\bruch{1}{10}
[/mm]
[mm] 2n+1<\bruch{1}{10}*(n²+2)
[/mm]
[mm] 1<\bruch{1}{10}n²+\bruch{1}{5}-2n
[/mm]
10<n²+2-20n
so und nun weiss ich nicht mehr weiter pq kann man hier wohl kaum anwenden...???
thx> > 2. Gegeben ist die Zahlenfolge 1;5/6;7/11;9/18;11/27
> > a.) Ermitteln Sie an und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} an = g[/mm]
>
> > b.) Berechnen Sie die Zahl n0 [mm]\in \IN[/mm] für die gilt, dass
> > |an-g|<1/10 für alle n>n0
> > Ich habe das Bildungsgesetz ermittelt:
> >
> > an=(2n+1)/(n²+2)
> >
> > dann den Grenzwert
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}an[/mm] => (2n+1)/(n²+2) unbestimmter
> > ausdurck also L Hospital
> >
> > => 2/2n=1/n => g=0
>
> Man braucht allerdings auf diesen Spatzen von Grenzwert
> nicht unbedingt mit der L'Hospitalschen Kanone zu
> schiessen:
>
das kam mir im moment am einfachsten und am schnellsten vor^^
> [mm]\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n+1}{n^2+2}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2+\frac{1}{n}}{n+\frac{2}{n}}=0[/mm]
>
> > Ich bin mir nicht sicher ob das richtig ist...
>
> Doch, doch, es stimmt schon: Immer wenn [mm]a_n[/mm] eine
> gebrochen-rationale Funktion von [mm]n[/mm] ist und das
> Nennerpolynom höheren Grad als das Zählerpolynom hat ist
> der Limes [mm]=0[/mm].
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> das ist jetzt bestimmt nicht mehr so kompliziert wenn man
> Ahnung von Ungleichungen hat hab ich jetzt nun nicht
> wiklich.
>
> [mm]\bruch{2n+1}{n²+2}<\bruch{1}{10}[/mm]
>
> [mm]2n+1<\bruch{1}{10}*(n²+2)[/mm]
>
> [mm]1<\bruch{1}{10}n²+\bruch{1}{5}-2n[/mm]
>
> 10<n²+2-20n
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , oder, noch etwas handlicher: [mm] $0
>
> so und nun weiss ich nicht mehr weiter pq kann man hier
> wohl kaum anwenden...???
Aber sicher schon: damit kannst Du die Nullstellen der zugehörigen quadratischen Gleichung [mm] $0=n^2-20n-8$ [/mm] bestimmen: [mm] $n_1\approx [/mm] -0.39$ und [mm] $n_2\approx [/mm] 20.39$. Die Lösungsmenge der Ungleichung ist also [mm] $\mathrm{L}=\;]-\infty;n_1[\;\cup\;]n_2;+\infty[$, [/mm] denn der Graph der quadratischen Funktion $f(n):= [mm] n^2-20n-8$ [/mm] ist eine nach oben geöffnete Parabel, die nur gerade für [mm] $n\in [n_1;n_2]$ [/mm] auf oder unterhalb der $n$-Achse liegt.
Das heisst, Du kannst als Lösung der ursprünglichen Aufgabenstellung einfach [mm] $n_0 [/mm] := 20$ (oder grösser) wählen. Dann gilt, gemäss unserer Lösung der entsprechenden Ungleichung, dass für alle [mm] $n>n_0$ [/mm] die gewünschte Beziehung [mm] $|a_n-g|<\frac{1}{10}$ [/mm] gilt.
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