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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Sa 08.05.2010 | | Autor: | Esra |
| Aufgabe | Die Folge [mm] a_{n}n \in \IN [/mm] sei definiert durch
[mm] a_{n+1}=1+(a_{n} [/mm] / [mm] 1+a_{n}) [/mm] , [mm] a_{o}=0
[/mm]
für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen Sie, dass an konverget ist und bestimmen sie den Grenzwert. |
hallo leute,
ich habe ein problem mit der aufgabe undzwar , wie zeige ich die konvergenz.
ich habe zuerst für n werte eingesetz :
für n= 0 wissen wir ist ao=0
n= 1 ist a1=1 ??
soll ich das so weiter machen?
und für grenzwert dann versuchen an auszuklammern?
würde mich feuen, wenn mir da jemand helfen kann
danke im vorraus
Lg Esra
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Hallo Esra,
> Die Folge [mm]a_{n}n \in \IN[/mm] sei definiert durch
> [mm]a_{n+1}=1+(a_{n}[/mm] / [mm]1+a_{n})[/mm] , [mm]a_{o}=0[/mm]
> für alle n [mm]\in \IN.[/mm] Zeigen Sie, dass an konverget ist und
> bestimmen sie den Grenzwert.
> hallo leute,
>
> ich habe ein problem mit der aufgabe undzwar , wie zeige
> ich die konvergenz.
> ich habe zuerst für n werte eingesetz :
> für n= 0 wissen wir ist ao=0
> n= 1 ist a1=1 ??
> soll ich das so weiter machen?
Nun, berechene noch 1-2 Folgenglieder, das sollte dir den Eindruck vermitteln, dass die Folge monoton steigen ist.
Zeige also (mit Induktion):
(1) [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist monoton steigend
(2) [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist nach oben beschränkt
Daraus folgt, dass [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ [/mm] existiert
> und für grenzwert dann versuchen an auszuklammern?
Bezeichne den Grenzwert mit $a$, dann ist [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=a$
[/mm]
Du hast aus der rekurs. Definition also im Grenzfall die Gleichung [mm] $a=1+\frac{a}{1+a}$
[/mm]
Das löse nach a auf ...
> würde mich feuen, wenn mir da jemand helfen kann
>
> danke im vorraus
> Lg Esra
Gruß
schachuzipus
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