Folgen und Grenzwerte < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Pure |
- Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.-
Hallo,
ich habe hier jetzt noch eine Aufgabe, die ist zwar so ähnlich, wie die letzte Frage, die ich gestellt habe, ich bekomm sie aber trotzdem nicht gelöst...
Ein Gegenstand wird aus einem Kühlschrank (5°C) in eine wärmere Umgebung (20°C) gebracht. Unter geeigneten Bedingungen gilt: In jeder Minute ist der Temperaturzuwachs z(n) 10% der Differenz zwischen 20°C und der Temperatur, die der Körper gerade hat. a(n) ist die Temperatur des Körpers zu Beginn der n-ten Minute. Es gilt dann a1=5 ; a(n+1)=a(n)+z(n)
a) Geben Sie den Zuwachs z(n) an.
b)Zeigen Sie mithilfe des Monotoniekriteriums, dass die Folge a(n) konvergent ist.
c) Zeigen Sie mithilfe der Grenzwertsätze, dass 20 Grenzwert der Folge ist.
Für z(n) hab ich herausgefunden, dass das eigentlich [20°C - a(n)]/10 ist, denke ich.
Die ersten Glieder der Folge habe ich auch errechnet, die wären a(n)= 5; 6,5; 7,85; 9,065;... Aber das hilft mir ehrlich gesagt auch nicht auf die Sprünge.
Aber jetzt fehlen mir b) und c) und ich habe keine Ahnung, wie der Ansatz sein soll. Dazu brauche ich ja das allgemeine Glied a(n), oder?
Wäre nett, wenn ich Hilfe bekomme, denn das ist eine Hausaufgabe, die benotet wird und Mathe ist nicht gerade so ein rosiges Fach bei mir -> Unterkurs:-( Ich bin total deprimiert.
LG Pure
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Mi 16.11.2005 | | Autor: | piler |
Hi,
a) a(n+1) = a(n) + 0.1 * (a(n-1)-a(n))
der neue Wert ist also +10% von aktueller Wert - Vorwert
zu b) Monotoniekriterium für die Folge a(n)
das lautet ja: a(n+1) < (an) (also monoton fallen) (die folge a(n) )
Einfach einsetzen und aurechnen.
Wenn wir das ganze als Reihe betrachent, also a(0) + a(1) + a(2) + ... + a(n) addieren, wird die Zahl immer grösser, aber wird einen bestimmten Wert nicht überschreiten (das ist dein Grenzwert)
Du hast eine Nullfolge (Eine Folge, bei der die Folgeglieder immer kleiner werden, also gegen 0 konvergieren), deren einzelnen Glieder du aufsummierst. Die Summe wird so also immer grösser, wird aber einen bestimmten Wert nicht überschreiten, da a(n) ja 0 ist, also irgendwann kommt (für n gegen Unendlich) nichts mehr hinzu.
Ich weiss nicht ob ihr schon die Epsilonumgebung habt
du könntest zeigen, dass ab einem bestimmten n alle Folgeglieder ganz nah bei der 20 sind
also ab a(n0) alle Folgeglieder kleiner als ( 20 - ein kleiner wert, z.B. 0.01)
einfach eine formel aufstellen : |a(n) - a(n0) | < 0.01 für alle n > n0
zu c) fehlt mir im Moment der Ansazu, bin aber noch am überlegen.
Fall du meine Ausführungen nicht verstanden hast, kannst du gerne nochmal Nachfragen.
Vielleicht hilft dir das auch von alleine auf die c) zu kommen
P.S:
deine werte halte ich für Falsch
a(0) = 5; (start)
a(1) = 5 + 0.1 * (20-5) / 2 also 5+ 0.1 * 7,5 und das ist 5,75
usw
zur c mal eine Idee:
zeige, dass 0 + a(n) = 20 - a(n)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:20 Do 17.11.2005 | | Autor: | Pure |
Hi und danke für die schnelle Antwort 
Ich habe leider noch ein paar Fragen dazu:
zu a): Heißt es nicht, dass es um 10% der Differenz aus 20°C und der momentanen Temperatur geht? Oder ist das von dir nur eine andere Schreibweise?
zu b): Woher weiß ich denn, dass a(n) eine Nullfolge ist? Muss man sich da einfach ein paar Werte ausrechnen, um das zu sehen oder was muss man tun?
Und: Was setze ich bei der Formel mit der Epsolinumgebung (das Thema hatten wir schon, aber sie wollte, dass wir uns das größtenteils alleine beibringen und da habe ich total versagt...) für a(n0) ein? Und ab welchem n sind dann alle Folgeglieder ganz nah bei der 20, wenn man die Formel auflöst? Von der Überlegung her ist ja klar, dass es net wärmer als 20 werden kann, aber ich hab trotzdem meine Probleme damit.
LG Pure
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pure!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Gruß
Loddar
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