Folgen mit Wurzel, Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Mo 14.04.2014 | | Autor: | drossel |
Hey
entschuldigt, zu dem Thema gibts viel im Internet aber bin anscheinend unfähig den passenden Thread zu finden, sorry:(.. Wenn man zb die Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n=\sqrt{\frac{2}{n}} [/mm] hat und zeigen will, dass es eine Nullfolge ist, kann man ja den Limes aus Stetigkeitsgründen unter die Wurzel ziehen.
Aber wie argumentiert man denn ohne Stetigkeit? Weil Folgen behandelt man ja in der Analysis in der Regel früher als Stetigkeit und trotzdem kommen ja Folgen mit Wurzeln wie die oben vor.
Kann mir jemand einen Tipp für eine alternative Argumentation geben wenn man noch nichts über Stetigkeit in der Vorlesung hatte?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Mo 14.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> entschuldigt, zu dem Thema gibts viel im Internet aber bin
> anscheinend unfähig den passenden Thread zu finden,
> sorry:(.. Wenn man zb die Folge [mm](a_n)[/mm] mit
> [mm]a_n=\sqrt{\frac{2}{n}}[/mm] hat und zeigen will, dass es eine
> Nullfolge ist, kann man ja den Limes aus
> Stetigkeitsgründen unter die Wurzel ziehen.
> Aber wie argumentiert man denn ohne Stetigkeit? Weil
> Folgen behandelt man ja in der Analysis in der Regel
> früher als Stetigkeit und trotzdem kommen ja Folgen mit
> Wurzeln wie die oben vor.
> Kann mir jemand einen Tipp für eine alternative
> Argumentation geben wenn man noch nichts über Stetigkeit
> in der Vorlesung hatte?
Nimm die Def. der Folgenkonvergenz !
Wir (Du, ich, ... ) vermuten, dass [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge ist. Wir müssen also zeigen: ist [mm] \varepsilon [/mm] >0, so ex. ein [mm] n_0=n_0(\varepsilon) \in \IN [/mm] mit
[mm] |a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n> [mm] n_0.
[/mm]
FRED
> Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Mo 14.04.2014 | | Autor: | drossel |
Hallo
danke für die Antwort. Ok, das hätte ich mir denken können sry, irgendwie hatte ich grad krampfhaft überlegt ob es noch andere weitere Begründungen gibt wieso man den Limes unter die Wurzel ziehen kann und dann nicht mehr daran gedacht... D.h. aber hätte mir auch auffallen müssen, vor der Stetigkeit hatten wir keinen Satz der einem liefert dass man das darf den Limes unter die Wurzel zu ziehen ohne dass man jedes mal die Konvergenz der Folge mit der Definition nachrechnen muss...
Sei [mm] \epsilon>0,
[/mm]
zu [mm] 2,\epsilon^2>0 [/mm] gibt es wegen dem archimedischen Axiom [mm] (\mathbb{R} [/mm] archimedisch angeordnet) ein [mm] n_0 \in \mathbb{N}, [/mm] s.d. [mm] 2
Also: Für [mm] \epsilon>0 [/mm] ex. nach obiger Überlegung/ nach dem archimedischen Axiom ein [mm] n_0 \in \mathbb{N}: |\sqrt{\frac{2}{n}}-0|=\sqrt{\frac{2}{n}}<\epsilon [/mm] für alle [mm] n\ge n_0.
[/mm]
Ich hatte dazu die Nebenrechnung gemacht:
[mm] \sqrt{\frac{2}{n}}<\epsilon \Rightarrow \frac{1}{\epsilon}<\sqrt{\frac{n}{2}} [/mm] und dies umgestellt zu [mm] \frac{2}{\epsilon^2}
Das archimedische Axiom haben wir so formuliert:
Für [mm] x,y\in \mathbb{R} [/mm] mit x,y>0 existiert ein [mm] n\in \mathbb{N}: [/mm] nx>y
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Mo 14.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> danke für die Antwort. Ok, das hätte ich mir denken
> können sry, irgendwie hatte ich grad krampfhaft überlegt
> ob es noch andere weitere Begründungen gibt wieso man den
> Limes unter die Wurzel ziehen kann und dann nicht mehr
> daran gedacht... D.h. aber hätte mir auch auffallen
> müssen, vor der Stetigkeit hatten wir keinen Satz der
> einem liefert dass man das darf den Limes unter die Wurzel
> zu ziehen ohne dass man jedes mal die Konvergenz der Folge
> mit der Definition nachrechnen muss...
>
> Sei [mm]\epsilon>0,[/mm]
> zu [mm]2,\epsilon^2>0[/mm] gibt es wegen dem archimedischen Axiom
> [mm](\mathbb{R}[/mm] archimedisch angeordnet) ein [mm]n_0 \in \mathbb{N},[/mm]
> s.d. [mm]2
> [mm]n\ge n_0.[/mm]
>
> Also: Für [mm]\epsilon>0[/mm] ex. nach obiger Überlegung/ nach dem
> archimedischen Axiom ein [mm]n_0 \in \mathbb{N}: |\sqrt{\frac{2}{n}}-0|=\sqrt{\frac{2}{n}}<\epsilon[/mm]
> für alle [mm]n\ge n_0.[/mm]
>
> Ich hatte dazu die Nebenrechnung gemacht:
> [mm]\sqrt{\frac{2}{n}}<\epsilon \Rightarrow \frac{1}{\epsilon}<\sqrt{\frac{n}{2}}[/mm]
> und dies umgestellt zu [mm]\frac{2}{\epsilon^2}
>
> Das archimedische Axiom haben wir so formuliert:
> Für [mm]x,y\in \mathbb{R}[/mm] mit x,y>0 existiert ein [mm]n\in \mathbb{N}:[/mm]
> nx>y
>
> Lg
Alles bestens !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Mo 14.04.2014 | | Autor: | drossel |
Vielen Dank! Liebe Grüße
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