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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Fr 09.09.2005 | | Autor: | tux_03 |
Hallo Zusammen,
ich habe eine Frage bezüglich einer Folgerung für Folgen:
[mm]\left(a_n\right)[/mm] ist konvergent [mm] \Rightarrow \left(|a_n|\right)[/mm] ist konvergent?
Stimmt das. Oder gibts ein Gegenbeispiel? Falls nicht (also falls es stimmt) eine allgemeine Folgerung?
Ciao tux_03
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Hallo tux_03,
Das stimmt da die Betragsfunktion stetig ist.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Fr 09.09.2005 | | Autor: | tux_03 |
Hallo mathemaduenn,
> Das stimmt da die Betragsfunktion stetig ist.
Heißt das also:
Wenn z.B. eine Folge [mm]a_n[/mm] mit nur negativen Gliedern konvergent ist, besitzt sie ja einen Limes.
Durch die Betragsfunktion wird dann ja [mm]a_n[/mm] ins Positive überführt und weil nun die Betragsfunktion stetig ist besitzt [mm]|a_n|[/mm] dann auch einen Limes bzw. ist konvergent?
Kann man das als Verkettung bzw. Hintereinanderausführung von Funktionen sehen? Also [mm]|f(x)=a_n|[/mm]. Dann müsste ja jede konvergente Folge, durch eine Verkettung mit einer stetigen Funktion konvergent sein. Falls das so ist dann muss es ja auch einen Satz dafür geben. Oder? Kann man das auch logisch schlussfolgern z.B. mit [mm]a_n=- \bruch{1}{n}[/mm] ?
Danke schon mal.
Ciao tux_03
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Das ist alles vollkommen richtig!
Es gilt sogar folgendes:
Eine Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] ist genau dann stetig, wenn die Bildfolge [mm] $(f(a_n))_{n \in \IN}$ [/mm] jeder in [mm] $\IR$ [/mm] konvergenten Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] selbst wieder konvergent ist.
Überlegen wir uns wenigstens mal die eine Richtung:
Es sei $f$ stetig. Dies bedeutet: Für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] und alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gibt es ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, so dass für alle $y [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] gilt:
$|f(x) - f(y)| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Es sein nun [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine gegen [mm] $a\in \IR$ [/mm] konvergente Folge. Dies bedeutet: Es gibt ein [mm] $n_0 \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt:
[mm] $|a_n [/mm] - a| < [mm] \delta$.
[/mm]
Daraus folgt aber nach obigem:
[mm] $|f(a_n) [/mm] - f(a)| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Wir haben also: Es gibt ein [mm] $n_0 \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt:
[mm] $|f(a_n) [/mm] - f(a)| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Dies wiederum aber bedeutet ja gerade die Konvergenz der Folge [mm] $(f(a_n))_{n \in \IN}$ [/mm] gegen $f(a)$.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Sa 10.09.2005 | | Autor: | tux_03 |
Hallo Julius,
einfach genial! Das hilft nicht nur bei Konvergenzfrage der eigentlichen Aufgabenstellung. 
> Es gilt sogar folgendes:
>
> Eine Funktion [mm]f: \IR \to \IR[/mm] ist genau dann stetig, wenn
> die Bildfolge [mm](f(a_n))_{n \in \IN}[/mm] jeder in [mm]\IR[/mm]
> konvergenten Folge [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] selbst wieder
> konvergent ist.
>
> Überlegen wir uns wenigstens mal die eine Richtung:
>
Also gilt auch die Umkehrung?
Ciao tux_03
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:07 So 11.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
JA! die Umkehrung gilt auch, aber der Beweis ist haariger!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:07 Mo 12.09.2005 | | Autor: | tux_03 |
Hallo leduart,
danke für die Infos. Habs kapiert.
Ciao Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Fr 09.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Stetigkeit der Betragsfkt. stimmt zwar, ist aber mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Ich glaub man braucht ungefähr genau deine Beh. um die Stetigkeit zu beweisen!
also ein facher aus [mm] |an-am|<\varepsilon [/mm] folgt | |an|-|am| |< [mm] \varepsilon [/mm] (Dreiecksungl.) und damit mit Cauchy die Konvergenz.
Vorsicht! Umkehrung gilt nicht!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Sa 10.09.2005 | | Autor: | tux_03 |
Hallo leduart ,
danke, für die relativ einfache Erklärung. Ich denke ich habs kapiert.
Ciao tux_03
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