Folgen Eigenschaften < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:59 So 09.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe 1 | | Seien [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] zwei Folgen, sodass [mm] (a_n b_n) [/mm] eine Nullfolge ist. Gilt dann, dass [mm] (a_n) [/mm] oder [mm] (b_n) [/mm] eine Nullfolge sein muss? |
| Aufgabe 2 | | Man gebe ein Beispiel für eine Zahlenfolge an, die alternierend ihrem Grenzwert a = -6 zustrebt und für die [mm] K_0 [/mm] = -3 eine obere und [mm] K_u [/mm] = -12 eine untere Schranke ist. |
Zuerst zu Aufgabe 1:
lt. Satz aus der Vorlesung weiß ich,dass
wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = a und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] = b, dann ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n b_n=a*b
[/mm]
Jetzt gilt ja nach Regeln der Multiplikation:
a*b=0 [mm] \gdw [/mm] a=0 oder b=0
Reicht das hier für die Begründung, dass [mm] a_n [/mm] oder [mm] b_n [/mm] eine Nullfolge sein muss?
Zu Aufgabe 2:
Hier habe ich mir folgende Folge überlegt:
[mm] a_n=-6+(-1)^n*\frac{6}{n}
[/mm]
Daraus ergeben sich die Folgeglieder -12, -3, -8, -4.5,...
Muss ich hier noch irgendwas bzgl beschränktheit zeigen, oder habe ich eurer meinung nach die aufgabe bereits erfüllt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 So 09.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
vorweg: Der wirkliche Tipp zur Aufgabe steht unten (rotmarkiert)!
> Seien [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] zwei Folgen, sodass [mm](a_n b_n)[/mm] eine
> Nullfolge ist. Gilt dann, dass [mm](a_n)[/mm] oder [mm](b_n)[/mm] eine
> Nullfolge sein muss?
> Man gebe ein Beispiel für eine Zahlenfolge an, die
> alternierend ihrem Grenzwert a = -6 zustrebt und für die
> [mm]K_0[/mm] = -3 eine obere und [mm]K_u[/mm] = -12 eine untere Schranke
> ist.
> Zuerst zu Aufgabe 1:
> lt. Satz aus der Vorlesung weiß ich,dass
> wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = a und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_n[/mm] = b, dann ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n b_n=a*b[/mm]
>
> Jetzt gilt ja nach Regeln der Multiplikation:
> a*b=0 [mm]\gdw[/mm] a=0 oder b=0
>
> Reicht das hier für die Begründung, dass [mm]a_n[/mm] oder [mm]b_n[/mm]
> eine Nullfolge sein muss?
Du scheinst Dir selbst unsicher zu sein - weißt Du auch, warum? Weil der
Satz der Vorlesung ja die Voraussetzung hat, dass beide Folgen konvergieren.
Wie sieht es aber mit
$0=0*n$
aus (also [mm] $(a_n)_n \equiv (0)_n$ [/mm] und [mm] $(b_n)_n$ [/mm] definiert durch [mm] $b_n:=n$)?
[/mm]
Oder
[mm] $0=0*(-1)^n$?
[/mm]
Solche Fälle ("konvergent * divergent") hast Du gar nicht erfassst. (Man kann
sich überlegen, ob in einem solchen Fall die konvergente Folge vielleicht
*speziell* sein muss; aber das nur nebenbei...)
Jetzt aber der eigentliche Tipp zur Aufgabe (den Fall "divergent*divergent"
haben wir dann oben auch noch nicht behandelt):
Betrachte
[mm] $a_n:=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ (-1)^{(n+1)/2}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$
[/mm]
und
[mm] $b_n:=\begin{cases} (-1)^{n/2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$
[/mm]
Hier ist durchweg [mm] $a_n*b_n=0\,,$ [/mm] insbesondere also
[mm] $a_n*b_n=0 \to 0\,.$
[/mm]
Aber weder [mm] $(a_n)_n$ [/mm] noch [mm] $(b_n)_n$ [/mm] kann Nullfolge sein, weil...?
Leider muss ich jetzt weg, aber dann darf jemand anderes auf Aufgabe
2 antworten...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:36 So 09.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Die Folgen können keine Nullfolgen sein, weil sie divergent sind und somit nicht gegen 0 konvergieren.
Kann ich bei den Folgen nicht der Einfachheit halber annehmen, dass:
$ a_n:=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases} $
und
$ b_n:=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases} $
Weil es gilt ja auch, wenn eine Folge zwei Teilfolgen hat, die gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren, ist sie divergent!
Hier konvergiert ja dann a_{2n} gegen 0 und a_{2n-1} gegen 1, bzw bei den Teilfolgen von b_n umgekehrt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 So 09.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Die Folgen können keine Nullfolgen sein, weil sie
> divergent sind und somit nicht gegen 0 konvergieren.
>
> Kann ich bei den Folgen nicht der Einfachheit halber
> annehmen, dass:
>
>
> [mm]a_n:=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> und
>
> [mm]b_n:=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> Weil es gilt ja auch, wenn eine Folge zwei Teilfolgen hat,
> die gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren, ist sie
> divergent!
> Hier konvergiert ja dann [mm]a_{2n}[/mm] gegen 0 und [mm]a_{2n-1}[/mm] gegen
> 1, bzw bei den Teilfolgen von [mm]b_n[/mm] umgekehrt.
Ja, [mm] a_n*b_n [/mm] =0 für jedes n.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:05 So 09.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Noch eine letzte (doofe) frage:
ist es überhaupt erlaubt, solche reihen zu definieren?
bis jetzt hatten wir, wenn wir alternierende reihen hatten, immer so etwas:
[mm] a_n=(-1)^n*... [/mm] also eine reihe mit wechselndem vorzeihen!
Ist es mathematisch erlaubt, eine Reihe mit Fallunterscheidung zu definieren??
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 So 09.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Noch eine letzte (doofe) frage:
das ist keine doofe, sondern eine *etwas am Thema vorbei*-Frage. Ich
sage Dir aber gleich, warum!
> ist es überhaupt erlaubt, solche reihen zu definieren?
Es geht um Folgen, nicht um Reihen - natürlich sind Reihen sozusagen
erst mal wieder spezielle Folgen...
> bis jetzt hatten wir, wenn wir alternierende reihen
> hatten, immer so etwas:
>
> [mm]a_n=(-1)^n*...[/mm] also eine reihe mit wechselndem vorzeihen!
>
> Ist es mathematisch erlaubt, eine Reihe mit
> Fallunterscheidung zu definieren??
Warum soll es nicht erlaubt sein, etwas mit Fallunterscheidung zu definieren
(nach wie vor geht es aber um FOLGEN!).
Was nicht erlaubt wäre, wäre
[mm] $a_n:=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \in \IP \\ 2, & \mbox{für } n \in \IN \setminus \{p \in \IP \mid p \text{ ungerade}\} \end{cases}$
[/mm]
[mm] ($\IP:=\{n \in \IN \mid n \text{ ist prim!}\}$.)
[/mm]
Warum nicht? (Ich gebe zu, es ist ein wenig versteckt. Hinweis: Was wäre
[mm] $a_2$?)
[/mm]
Oder auch
[mm] $a_n:=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \le 10 \\ 10, & \mbox{für } n \ge 10 \end{cases}\,.$
[/mm]
(Warum? Achte genau auf die Ungleichheitszeichen!)
Erlaubt wäre aber (bei Funktionen)
[mm] $f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \le 1 \\ 1, & \mbox{für } x \ge 1 \end{cases}$
[/mm]
Womit das Ganze zu tun hat? Mit der Rechtseindeutigkeit:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_%28Mathematik%29#Mengentheoretische_Definition
Siehe auch
Seite 2
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 So 09.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Man gebe ein Beispiel für eine Zahlenfolge an, die
> alternierend ihrem Grenzwert a = -6 zustrebt und für die
> [mm]K_0[/mm] = -3
Hier ist wohl [mm] K_{\text{obere Schranke}}=K_{\text{o}}=-3 [/mm] und nicht [mm] K_{0} [/mm] gemeint.
> eine obere und [mm]K_u[/mm] = -12 eine untere Schranke
> ist.
Mit meiner Verbesserung oben passt auch diese Bezeichnung.
> Zu Aufgabe 2:
> Hier habe ich mir folgende Folge überlegt:
>
> [mm]a_n=-6+(-1)^n*\frac{6}{n}[/mm]
Richtig.
> Daraus ergeben sich die Folgeglieder -12, -3, -8, -4.5,...
>
> Muss ich hier noch irgendwas bzgl beschränktheit zeigen,
> oder habe ich eurer meinung nach die aufgabe bereits
> erfüllt?
Du hast die Aufgabe mit der Angabe von [mm] a_n [/mm] gelöst, allerdings
solltest du noch kurz begründen wieso [mm] a_n [/mm] gegen [mm] $-6\$ [/mm] konvergiert
und wieso [mm] -12=K_{\text{u}}\le a_n\le K_{\text{o}}=-3 [/mm] gilt.
(Das verlangt zwar nicht die Aufgabe, aber sicher ist sicher.)
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:28 Di 11.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Meine Begründung wäre, dass ich die Folge in 2 Teilfolgen teilen kann:
wobei [mm] a_{2k} [/mm] eine monoton fallende und [mm] a_{2k-1} [/mm] eine monoton steigende folge ist.
jetzt gilt noch, dass [mm] min(a_{2k-1})=-12 [/mm] und [mm] max(a_{2k})=-3 [/mm] (aufgrund der monotonie)!
Weiters gilt, dass sich beide Teilfogen denselben grenzwert annähern, nämlich -6!
Wäre das genug begründung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Di 11.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Meine Begründung wäre, dass ich die Folge in 2 Teilfolgen
> teilen kann:
> wobei [mm]a_{2k}[/mm] eine monoton fallende und [mm]a_{2k-1}[/mm] eine
> monoton steigende folge ist.
Die Teilfolgen explizit aufschreiben schadet hier nicht. Die
Begründung der Monotonie der Teilfolgen fehlt übrigens.
> jetzt gilt noch, dass [mm]min(a_{2k-1})=-12[/mm] und [mm]max(a_{2k})=-3[/mm]
> (aufgrund der monotonie)!
Wegen [mm] a_{2k-1} [/mm] monoton steigend ist
[mm] \min_{k\in\IN}(a_{2k-1})=a_{2*1-1}=a_{1}=-12
[/mm]
und wegen [mm] a_{2k} [/mm] monoton fallend ist
[mm] \max_{k\in\IN}(a_{2k})=a_{2*1}=a_{2}=-3.
[/mm]
> Weiters gilt, dass sich beide Teilfogen denselben
> grenzwert annähern, nämlich -6!
1. Sei [mm] a_n [/mm] eine Folge, die gegen [mm] $a\$ [/mm] konvergiert. Der Grenzwert
der Folge [mm] a_n [/mm] geht dann nicht gegen [mm] $a\$, [/mm] sondern er ist [mm] $a\$.
[/mm]
Grenzwerte sind bereits angekommen!
2. Ist [mm] a_n [/mm] eine Folge, die gegen [mm] $a\$ [/mm] konvergiert, dann konvergiert
auch jede Teilfolge [mm] a_{n_k} [/mm] gegen (den selben Grenzwert) [mm] $a\$.
[/mm]
3. Ich hatte dir nicht ohne Grund zunächst vorgeschlagen die
Konvergenz der Folge [mm] a_n [/mm] gegen [mm] $-6\$ [/mm] zu begründen und dann
erst die Behauptung
[mm] -12=K_{\text{u}}\le a_n\le K_{\text{o}}=-3
[/mm]
wieder aufzugreifen. Wenn wir nämlich zeigen, dass
[mm] \lim_{n\to\infty}a_n=-6,
[/mm]
dann gilt nach 2. auch
[mm] \lim_{k\to\infty}a_{2k}=-6\text{ und }\lim_{k\to\infty}a_{2k-1}=-6.
[/mm]
> Wäre das genug begründung?
Das ist hier zwar eine gute Übung, aber auch unnötig. Es ist
[mm] \lim_{n\to\infty}\left((-1)^n*\frac{6}{n}\right)=0,
[/mm]
denn das Produkt einer Nullfolge und einer beschränkten Folge ist
wieder eine Nullfolge, so dass wir mit den Grenzwertsätzen erhalten
[mm] \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left(-6+(-1)^n*\frac{6}{n}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(-6\right)+\lim_{n\to\infty}\left((-1)^n*\frac{6}{n}\right)=-6.
[/mm]
Außerdem gilt offensichtlich
[mm] $-6-\frac{6}{n}\le a_n\le -6+\frac{6}{n}$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN,
[/mm]
so dass ... (It's your turn!)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Di 11.11.2014 | | Autor: | fred97 |
Noch einfacher:
[mm] |a_n+6|=\bruch{6}{n}
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Mi 12.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Fred,
> Noch einfacher:
>
> [mm]|a_n+6|=\bruch{6}{n}[/mm]
Ja, darauf wollte ich hinaus. Ich muss aber gestehen, dass ich
das auch von irgendeinem Beitrag von dir gesehen und mir ein-
geprägt habe. Vielen Dank! 
Und damit der Fragesteller sich nicht verläuft:
Schreibe die Ungleichung
[mm] $-6-\frac{6}{n}\le a_n\le -6+\frac{6}{n}$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
äquivalent um. Was folgt daraus und wie kannst du diese Eigen-
schaft benutzen um deinen Beweis "eleganter" zu machen?
Gruß
DieAcht
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