Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 So 13.11.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Zeige, dass die Folge mit den Gliedern [mm] b_n [/mm] = [mm] a_n [/mm] - n , n [mm] \in \IN, [/mm] kovergiert, woberi [mm] a_n [/mm] die Folge [mm] \frac{n^2}{n+4},n \in \IN [/mm] ist. |
[mm] b_n [/mm] = [mm] \frac{n^2}{n+4} [/mm] -n
lim [mm] \frac{n^2}{n+4} [/mm] -n
n -> [mm] \infty
[/mm]
die Folge [mm] a_n [/mm] ist divergent aber da ist ist der grenzwert 0 oder?
|
|
| |
|
> Zeige, dass die Folge mit den Gliedern [mm]b_n[/mm] = [mm]a_n[/mm] - n , n
> [mm]\in \IN,[/mm] kovergiert, woberi [mm]a_n[/mm] die Folge [mm]\frac{n^2}{n+4},n \in \IN[/mm]
> ist.
> [mm]b_n[/mm] = [mm]\frac{n^2}{n+4}[/mm] -n
>
> lim [mm]\frac{n^2}{n+4}[/mm] -n
> n -> [mm]\infty[/mm]
>
> die Folge [mm]a_n[/mm] ist divergent aber da ist ist der grenzwert 0 oder?
Nur raten nützt nichts:
[mm] b_n=\frac{n^2}{n+4}-n=\frac{n^2}{n+4}-\frac{n(n+4)}{n+4}=\frac{-4n}{n+4}
[/mm]
Und das konvergiert gegen?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 So 13.11.2011 | | Autor: | sissile |
gegen -4
Nun
| [mm] \frac{-4n}{n+4}-4| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
| [mm] \frac{-4n}{n+4}- (\frac{4n+16}{n+4})|
[/mm]
| [mm] \frac{-8n-16}{n+4} [/mm] | > [mm] \frac{-8n-16}{n+4} >\frac{-8n-16}{2n}=-4n [/mm] -16/2n
Stimmts? Wie gehts weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 So 13.11.2011 | | Autor: | sissile |
Auf ein neues
[mm] |\frac{-4n}{n+4} [/mm] +4| = [mm] |\frac{-4n}{n+4} [/mm] + [mm] \frac{4n+16}{n+4}|
[/mm]
[mm] =|\frac{16}{n+4}| [/mm] > [mm] \frac{16}{n+4} [/mm] > [mm] \frac{16}{2n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
ab n > 4
[mm] \frac{16}{2n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
8 [mm] \epsilon [/mm] < n
STimmts? Was muss ich jetzt noch da machen>?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:31 So 13.11.2011 | | Autor: | sissile |
N [mm] \ge [/mm] 8 [mm] \varepsilon
[/mm]
N > 8 [mm] \varepsilon [/mm] + 1
ist dass so richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 So 13.11.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] =|\frac{16}{n+4}| [/mm] $ > $ [mm] \frac{16}{n+4} [/mm] $ > $ [mm] \frac{16}{2n} [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon [/mm] $
Also mal der Reihe nach:
1. [mm] $|\frac{16}{n+4}| [/mm] > [mm] \frac{16}{n+4} [/mm] $
das ist Quark.
[mm] $|\frac{16}{n+4}| \geq \frac{16}{n+4} [/mm] $
so stimmt's.
2. Das Problem und schlampige Grenzen tauchen mehrmals auf. Ich setz einfach mal [mm] $\varepsilon=1$ [/mm] und $n=4$ ein:
$ |8| > 8 > 8 < 1 $
Keine einzige der Ungleichungen ist richtig.
3. Also nehmen wir mal $n=9$, dann stimmt's doch hinten, nicht?
[mm] $\frac{16}{13} [/mm] > [mm] \frac{16}{18} [/mm] <1$
Also alles richtig. Nur ist's leider nutzlos, weil offensichtlich [mm] $\frac{16}{13}>1$, [/mm] d.h. Deine Schlußfolgerung, daß damit
$ [mm] \left|\frac{-4n}{n+4} +4\right| <\varepsilon$
[/mm]
gilt ist falsch.
Das Problem ist, daß Du folgende Logik angewandt hast:
$5>1<3\ [mm] \Rightarrow\ [/mm] 5<3$
Merke: Eine Ungleichungskette, bei der das < Zeichen die Richtung ändert, bringt nix.
[mm] $\left|\frac{16}{n+4}\right| \leq \frac{16}{n} <\varepsilon$ [/mm] für [mm] $n>\frac{16}{\varepsilon}$
[/mm]
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 So 13.11.2011 | | Autor: | sissile |
Gut, wird ins Hirn gespeichert!
N [mm] \ge [/mm] 16/ [mm] \varepsilon
[/mm]
N > 16/ [mm] \varepsilon [/mm] +1
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Es muss heißen:
