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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Mo 02.05.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo Matheraum.
Ich habe mal eine Frage...
Es geht zunächst um folgende Behauptung:
Wenn die Folge [mm] ((x_k,y_k))_{k \in \IN} [/mm] mit [mm] (x_k,y_k) \in \IR^2 [/mm] divergiert, so divergiert auch die Folge [mm] (z_k)_{k \in \IN}, [/mm] definiert durch [mm] z_k=x_k+y_k
[/mm]
Diese Behauptung ist falsch. Denn [mm] x_k=(-1)^n [/mm] und [mm] y_k=(-1)^{n+1} [/mm] sind zwar divergent im [mm] \IR^2, [/mm] aber für [mm] z_k [/mm] gilt [mm] z_k=x_k+y_k=(-1)^n+(-1)^{n+1}=0
[/mm]
Und somit ist [mm] z_k [/mm] nicht divergent
Es geht anschließend um folgende Behauptung:
Wenn die Folge [mm] ((x_k,y_k))_{k \in \IN} [/mm] mit [mm] (x_k,y_k) \in \IR^2 [/mm] konvergiert, so konvergiert auch die Folge [mm] (z_k)_{k \in \IN}, [/mm] definiert durch [mm] z_k=x_k+y_k
[/mm]
Diese behauptung ist wahr. Denn [mm] x_k=\bruch{1}{k} [/mm] und [mm] y_k=\bruch{1}{k} [/mm] sind konvergent im [mm] \IR^2 [/mm] und für [mm] z_k [/mm] gilt [mm] z_k=x_k+y_k=\bruch{1}{k}+\bruch{1}{k}=\bruch{2}{k}
[/mm]
Und somit ist [mm] z_k [/mm] ebenfalls konvergent
Wären die Beweise damit abgeschlossen bzw. ausreichend oder sollte ausführlicher bewiesen werden?
Hoffe ihr könnt mir helfen.
Mit freundlichen Grüßen Dominic Vandrey
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Hallo thadod,
du kannst eine Aussage widerlegen, indem du ein einziges Gegenbeispiel angibst. Dies hast du im ersten Fall getan.
Um eine Aussage jedoch beweisen zu wollen, genügt leider kein Beispiel. Nutze die Definition der Konvergenz, um die Aussage allgemein zu beweisen.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Mo 02.05.2011 | | Autor: | huzein |
du hast folgendes zu zeigen:
[mm] $(x_n,y_n)\to (x,y)\in\mathbb{R}^2\implies z_n:=(x_n+y_n)\to [/mm] x+y.$
und das zeigt du, wie bereits geschrieben, mit der [mm] $\varepsilon$-Definition [/mm] des Grenzwertes einer Folge.
dazu kannst du den folgenden hilfssatz verwenden, falls ihr den hattet:
[mm] $(x_n,y_n)\to (x,y)\in\mathbb{R}^2\iff x_n\to x\in\mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $y_n\to y\in\mathbb{R}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mi 04.05.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo...
Also die Aufgabe lautet die behauptung auf wahr oder falsch zu überprüfen.
Behauptung:
Wenn die Folge $ [mm] ((x_k,y_k))_{k \in \IN} [/mm] $ mit $ [mm] (x_k,y_k) \in \IR^2 [/mm] $ konvergiert, so konvergiert auch die Folge $ [mm] (z_k)_{k \in \IN}, [/mm] $ definiert durch $ [mm] z_k=x_k+y_k [/mm] $
Ich habe nun folgende Definition:
Eine Folge [mm] (\vec{x_k})_{k \in \IN} [/mm] heißt im [mm] \IR^n [/mm] konvergent gegen [mm] \vec{a} \in\IR^n, [/mm] wenn [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\vec{x_k}-\vec{a}|=0, [/mm] wobei [mm] (|\vec{x_k}-\vec{a}|)_{k \in \IN} [/mm] einfach eine Folge reeller Zahlen ist, und dafür wissen wir, was Konvergenz ist. Man schreibt dann auch [mm] \vec{a}=\limes_{k\rightarrow\infty}\vec{x_k}.
[/mm]
Wenn nun [mm] ((x_k,y_k))_{k \in \IN} [/mm] im [mm] \IR^2 [/mm] nach (x,y) konvergiert, dann gilt insbesondere, dass [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}x_k=x [/mm] und [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}y_k=y
[/mm]
Also ist die Aussage wahr...
Wenn ich das richtig verstanden habe oder???
mfg thadod
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Hallo,
das ist jetzt von der Argumentation her alles richtig. Ob es von der Schreibweise her ausreicht, hängt davon ab, in welchem Kontext die Aufgabe gestellt wurde. Du könntest bspw. für die beiden einzelnen Komponenten die Konvergenz per [mm] \varepsilon/\wurzel{2} [/mm] an Stelle von [mm] \varepsilon [/mm] zeigen, und mit der Euklidischen Norm wird das dann sozusagen eine runde Sache.
Gruß, Diophant
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