Folge von Maßen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Do 09.05.2019 | | Autor: | TS85 |
| Aufgabe | Sei [mm] (\mathcal{X}, \mathcal{A}) [/mm] ein messbarer Raum und sei [mm] (\mu_n)_{n \in \IN}
[/mm]
eine Folge von Maßen [mm] \mu_n:X \to [0,\infty]. [/mm] Ferner sei [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] eine Folge nichtnegativer Zahlen. Zeigen Sie, dass
[mm] \mu:=\summe_{i=1}^{\infty}a_n \mu_n
[/mm]
ein Maß ist. |
Wäre bei [mm] \mu:=\summe_{i=1}^{\infty}\mu_n
[/mm]
normalerweise beispielsweise die Subtraktivität, Subadditivität und dergleichen zu zeigen?
Wie genau verläuft dieser Beweis bei einer vorhandenen Folge [mm] a_n?
[/mm]
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Hiho,
> Sei [mm](\mathcal{X}, \mathcal{A})[/mm] ein messbarer Raum und sei
> [mm](\mu_n)_{n \in \IN}[/mm]
> eine Folge von Maßen [mm]\mu_n:X \to [0,\infty].[/mm]
> Ferner sei [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Folge nichtnegativer
> Zahlen. Zeigen Sie, dass
> [mm]\mu:=\summe_{i=1}^{\infty}a_n \mu_n[/mm]
> ein Maß ist.
> Wäre bei [mm]\mu:=\summe_{i=1}^{\infty}\mu_n[/mm]
> normalerweise beispielsweise die Subtraktivität,
> Subadditivität und dergleichen zu zeigen?
Es reicht zwei Eigenschaften für den Maßbeweis nachzuweisen. Welche?
> Wie genau verläuft dieser Beweis bei einer vorhandenen
> Folge [mm]a_n?[/mm]
Im großen und ganzen genauso wie ohne die [mm] $a_n$.
[/mm]
Du benötigt einmal die Nichtnegativität für die Umordnung von Summanden (wieso?), ansonsten ist alles gleich.
Fang mal an!
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Do 09.05.2019 | | Autor: | TS85 |
Ich probiere es einfach mal:
z.z.:
1.) [mm] \mu (\emptyset)=0
[/mm]
2.) [mm] \sigma [/mm] -Additivität
Sei dazu A [mm] \in \mathcal{A}.
[/mm]
Es gilt [mm] \mu_n [/mm] ist nichtnegativ, da alle [mm] a_n [/mm] und die [mm] \mu_n(A) [/mm] nichtnegativ sind [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN.
[/mm]
[mm] \mu [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n \mu_n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n \mu_n(A) \in \mathcal{A}
[/mm]
zu 1.):
[mm] \mu (\emptyset) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n \mu_n(\emptyset)=0,
[/mm]
da [mm] \mu_n(\emptyset)=0 \forall [/mm] n [mm] \in \IN.
[/mm]
zu 2.)
Sei [mm] (A_n)_{n=1}^{\infty} [/mm] paarweise disjunkt aus [mm] \mathcal{A}.
[/mm]
[mm] \mu( (A_n)_{n=1}^{\infty}) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n \mu_n( (A_n)_{n=1}^{\infty})=\summe_{n=1}^{\infty}a_n \summe_{n=1}^{\infty}\mu_n(A_n)
[/mm]
[mm] =\summe_{n=1}^{\infty}\summe_{n=1}^{\infty}a_n \mu_n(A_n)=\summe_{n=1}^{\infty}\mu (A_n)
[/mm]
q.e.d
Ist der Beweis richtig geführt und fehlt etwas in der Argumentationskette?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Fr 10.05.2019 | | Autor: | TS85 |
Was genau muss ich mir denn für den Schritt
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n \summe_{k=1}^{\infty}\mu_n(A_k)=\summe_{k=1}^{\infty}\summe_{n=1}^{\infty}a_n \mu_n (A_k)=\summe_{k=1}^{\infty}\mu (A_k)
[/mm]
ansehen? War deswegen von der Umordnung die Rede zu Beginn?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Fr 10.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Was genau muss ich mir denn für den Schritt
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n \summe_{k=1}^{\infty}\mu_n(A_k)=\summe_{k=1}^{\infty}\summe_{n=1}^{\infty}a_n \mu_n (A_k)=\summe_{k=1}^{\infty}\mu (A_k)[/mm]
>
> ansehen?
Du vertauscht die Reihenfolge der Summationen
> War deswegen von der Umordnung die Rede zu Beginn?
Ja.
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