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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Mi 27.03.2013 | | Autor: | f12 |
Sei $a<b$ zwei reelle Zahlen. Ich definiere [mm] $a_n:=a+\frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $b_n:=b+\frac{1}{n}$. [/mm] Nun betrache ich die Intervalle [mm] $I_n:=[a_n,b_n)$. [/mm] Wieso gilt dass für [mm] $n\to \infty$, $\mathbf1_{I_n}$ [/mm] gegen [mm] $\mathbf1_{I}:=\mathbf1_{(a,b]}$ [/mm] konvergiert? Wobei [mm] $\mathbf1_A$ [/mm] für die charakteristische Funktion der Megne $A$ steht.
Kann mir das jemand mathematisch "sauber" erklären. Herzlichen Dank für eure Hilfe.
Gruss
f12
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Mi 27.03.2013 | | Autor: | hippias |
Ich werde es gerne versuchen: Aber dazu sage mir, wie ihr den Grenzwert einer Folge von Intervallen definiert habt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Mi 27.03.2013 | | Autor: | f12 |
Kann ich nicht. Es ist aus einem Buch und dort wurde dies nicht eingeführt. Sie schreiben einfach:
[mm] $\lim_{n\to\infty}I_n=I$.
[/mm]
Gruss
f12
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Mi 27.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo f12,
entweder du hast die entsprechende Definition im Buch noch nicht gefunden (Wird z.B. irgendwo eine Konvergenz von Mengen reeller Zahlen eingeführt?) oder das Buch ist an dieser Stelle schlampig.
Wie heißt denn das Buch und auf welcher Seite tritt dieser Limes auf?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Mi 27.03.2013 | | Autor: | f12 |
Es ist das Buch Diffusions, Markov Processes and Martingales by Rogers and Williams Volume 2 auf Seite 12. Dort wird es für Stoppzeiten gemacht, das spielt aber keine Rolle.
Gruss
f12
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Mi 27.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
Danke!
Leider finde ich die entsprechende Stelle bei ![[]](/images/popup.gif) Google Books nicht.
Am besten, du rufst diesen Link mal auf und beschreibst genau, um welche Stelle es in dieser Ausgabe geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Mi 27.03.2013 | | Autor: | f12 |
Auf Seite 12, ziemlich oben: [mm] $H=\lim Z[S_n,T_n)$ [/mm] wobei $H=Z(S,T]$. Was ich korrigieren muss, eigentlich betrachten wir: [mm] $\mathbf1_{[a_n,b_n)}\to\mathbf1_{(a,b]}$ [/mm] wobei die [mm] $\mathbf1_A$ [/mm] für die charakteristische Funktion der Menge $A$ steht. Ich werde das in meiner Frage korrigieren.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Mi 27.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo f12,
geht es um PUNKTWEISE Konvergenz der charakteristischen Funktionen? Falls ja:
Sei [mm] $x\in\IR$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $1_{I_n}(x)\to1_I(x)$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
Fallunterscheidung:
1. Fall: [mm] $x\le [/mm] a$. Dann ist [mm] $x\not\in I_n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] und [mm] $x\not\in [/mm] I$. Also [mm] $1_{I_n}(x)=0\to0=1_I(x)$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
2. Fall: [mm] $aa+\bruch1N\ge a+\bruch1n$ [/mm] und somit [mm] $x\in I_n$. [/mm] Also [mm] $1_{I_n}(x)=1$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ und somit [mm] $1_{I_n}(x)\to 1=1_I(x)$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
3. Fall: $x>b$. Dann gilt [mm] $x\not\in [/mm] I$ und $x-b>0$. Wegen letzterem existiert ein [mm] $N\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] mit [mm] $\bruch1Nb+\bruch1N\ge b+\bruch1n$ [/mm] und somit [mm] $x\not\in I_n$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$. Also [mm] $1_{I_n}(x)\to 0=1_I(x)$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
Wenn ich irgendeinen Schritt genauer ausführen soll, einfach nachfragen!
Viele Grüße
Tobias
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