Folge mit positiver Varianz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gib eine Folge von Zufallsvariablen Xn mit gleicher Varianz [mm] \sigma [/mm] > 0, die in Verteilung gegen ein X
konvergieren mit Var(X) = 0. |
Hi,
ich soll diese Aufgabe lösen. Allerdings habe ich keine Ahnung, wie solch eine Folge aussehen könnte.
Mich stört zum einen, dass ich mir das nicht vorstellen kann. Wie sollen Folgen, die alle KONSTANT gleich stark "gestreut" sind im Unendlichen nicht mehr gestreut sein? In der Vorlesung waren wir in etwa beim zentralen Grenzwertsatz, aber hier kann ich auch keine Brücke schlagen, die Standardnormalverteilung hat ja auch Varianz 1 und nicht 0. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen, wie das funktionieren soll?
Danke und Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Mo 18.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Herr-Vorragend,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Betrachte mal Zweipunktverteilungen mit [mm] $P(X_n=0)=p_n$ [/mm] und [mm] $P(X_n=a_n)=1-p_n$. [/mm] Waehle nun [mm] $a_n,p_n$ [/mm] geschickt.
vg Luis
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Hallo Luis,
danke für die nette Begrüßung und danke für deinen Tipp.
Ich habe den jetzt mal so gedeutet: Ich setze [mm] a_n [/mm] auf 1/n, dadurch wird die Zweipunktverteilung im Unendlichen eine Einpunktverteilung, wo die Varianz natürlich 0 ist. Um für alle endlichen Werte für $n$ eine konstante Varianz zu erhalten muss man $p$ geschickt wählen. Also habe ich mir folgendes gedacht:
$EX = [mm] a_n p_n$ [/mm] (ich habe hier [mm] p_n [/mm] und [mm] 1-p_n [/mm] andersrum, als du es vorgeschlagen hast, ist einfacher zum Rechnen))
[mm] $EX^2 [/mm] = [mm] a_n^2 p_n$
[/mm]
$VarX = [mm] EX^2 [/mm] - [mm] (EX)^2 [/mm] = [mm] a_n^2 p_n [/mm] - [mm] a_n^2 p_n^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{n^2}(p_n [/mm] - [mm] p_n^2)$
[/mm]
Und das soll konstant sein, also muss [mm] $p_n [/mm] - [mm] p_n^2 [/mm] = C [mm] n^2$ [/mm] für irgend eine Konstante C. Das habe ich nun mit der ABC-Formel gelöst und erhalte (als einen Wert) [mm] $p_n [/mm] = [mm] \frac{1 + \sqrt{1 - 4C n^2}}{2}$
[/mm]
Das Problem ist, dass der Radikant hier irgendwann negativ wird und wir dann bei komplexen Zahlen angelange...Ist das so beabsichtigt oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht? Mit komplexen Zahlen habe ich eigentlich relativ wenig am Hut als Informatiker :D
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Mo 18.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis,
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> danke für die nette Begrüßung und danke für deinen
> Tipp.
>
> Ich habe den jetzt mal so gedeutet: Ich setze [mm]a_n[/mm] auf 1/n,
> dadurch wird die Zweipunktverteilung im Unendlichen eine
> Einpunktverteilung, wo die Varianz natürlich 0 ist. Um
> für alle endlichen Werte für [mm]n[/mm] eine konstante Varianz zu
> erhalten muss man [mm]p[/mm] geschickt wählen. Also habe ich mir
> folgendes gedacht:
>
> [mm]EX = a_n p_n[/mm] (ich habe hier [mm]p_n[/mm] und [mm]1-p_n[/mm] andersrum, als du
> es vorgeschlagen hast, ist einfacher zum Rechnen))
> [mm]EX^2 = a_n^2 p_n[/mm]
> [mm]VarX = EX^2 - (EX)^2 = a_n^2 p_n - a_n^2 p_n^2 = \frac{1}{n^2}(p_n - p_n^2)[/mm]
>
> Und das soll konstant sein, also muss [mm]p_n - p_n^2 = C n^2[/mm]
> für irgend eine Konstante C. Das habe ich nun mit der
> ABC-Formel gelöst und erhalte (als einen Wert) [mm]p_n = \frac{1 + \sqrt{1 - 4C n^2}}{2}[/mm]
>
> Das Problem ist, dass der Radikant hier irgendwann negativ
> wird und wir dann bei komplexen Zahlen angelange...Ist das
> so beabsichtigt oder habe ich irgendwo einen Fehler
> gemacht? Mit komplexen Zahlen habe ich eigentlich relativ
> wenig am Hut als Informatiker :D
>
> Danke und Gruß
Setze mal lieber [mm] $p_n=1-1/n$ [/mm] und bestimme [mm] $a_n$ [/mm] ...
vg Luis
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Hallo Luis,
okay, den Ansatz habe ich auch verfolgt und bin zu dem Ergebnis gekommen, dass mit [mm] $a_n [/mm] = n [mm] \sqrt{\frac{1}{n-1}}$ [/mm] die Varianz immer 1 ist. Nun verstehe ich aber noch nicht, wieso im Unendlichen die Varianz 0 ist, kannst du mir ein paar Denkanstöße geben?
Nochmals Danke und Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Mo 18.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Mach dir mal ein Bild der Verteilung(en). Was ist wohl die Grenzverteilung?
Uebrigens: Der Ansatz hat noch einen Schoenheitsfehler (ist mir zunaechst auch durch die Lappen gegangen): [mm] $X_1$ [/mm] hat *nicht* die Varianz 1.
vg Luis
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Okay, ich versuche mir das irgendwie [mm] vorzustellen...$a_n$ [/mm] wandert immer weiter nach rechts und gleichzeitig konvergiert [mm] $p_n$ [/mm] gegen 1 und damit wird die Stelle 0 immer unwahrscheinlicher...der Erwartungswert driftet immer näher an [mm] $a_n$ [/mm] heran und die Streuung wird immer kleiner...stimmt das ganz grob so? :)
Ich muss zugeben, ich tu mir etwas schwer bei der Vorstellung, da fand ich den ersten Ansatz sehr viel anschaulicher, auch wenn er nicht funktioniert hat.
Vielen Dank für deine kompetente Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Mo 18.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Okay, ich versuche mir das irgendwie vorzustellen...[mm]a_n[/mm]
> wandert immer weiter nach rechts und gleichzeitig
> konvergiert [mm]p_n[/mm] gegen 1 und damit wird die Stelle 0 immer
> unwahrscheinlicher...
Mit [mm] $p_n=1-1/n$? [/mm] Im Gegenteil!
> der Erwartungswert driftet immer
> näher an [mm]a_n[/mm] heran und die Streuung wird immer
> kleiner...stimmt das ganz grob so? :)
Nein, die *Varianz* bleibt gleich.
> Ich muss zugeben, ich tu mir etwas schwer bei der
> Vorstellung, da fand ich den ersten Ansatz sehr viel
> anschaulicher, auch wenn er nicht funktioniert hat.
Ich fasse mal zusammen, was mir vorschwebt: Betrachte [mm] $X_n$ [/mm] mit
[mm] $P(X_n=0)=1-1/(n+1)$ [/mm] und [mm] $P(X_n=a_n)=1/(n+1)$ [/mm] . Zu zeigen: [mm] $(X_n)$ [/mm] konvergiert gegen eine Einpunktverteilung mit $P(X=0)=1$ ...
>
> Vielen Dank für deine kompetente Hilfe.
Gerne.
vg Luis
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Okay, da war ein Missverständnis zwischen uns beiden, weil ich die Wahrscheinlichkeiten anfangs für 0 und [mm] a_n [/mm] andersrum hatte als du. So wie es jetzt ist finde ich es auch logisch und bin zufrieden :) Vielen Dank und schönen Abend noch.
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