Folge konv. höchstens eine Zah < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Mo 25.12.2006 | | Autor: | Disap |
Moin zusammen,
und frohe Weihnachtstage wünsche ich.
| Aufgabe |
Beweisen Sie:
Die Folge [mm] (a_n)_{n\ge m} [/mm] konvergiert höchstens gegen eine reelle Zahl a.
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Ich dachte hier an einen Beweis durch Widerspruch, indem ich sage, die Folge [mm] a_n [/mm] konvergiere sowohl gegen a als auch gegen b, wobei [mm] $a\not= [/mm] b$
Es gilt also:
[mm] $\lim_{n \to \infty} a_n [/mm] =a$
Setze [mm] $\varepsilon:= |a-b|\slash2$
[/mm]
Nach Definition muss gelten
[mm] $|a_n-a|<\varepsilon$
[/mm]
[mm] $|a_n-b|<\varepsilon$
[/mm]
Addiere beide Gleichungen:
[mm] $|a_n-a|+|a_n-b|<2\varepsilon$
[/mm]
[mm] 2\varepsilon [/mm] war ja nach meiner Definition |a-b|.
Um auf einen Widerspruch zu kommen, müsste ich auf ein Ergebnis der Art:
[mm] $|a-b|<|a_n-a|+|a_n-b|<2\varepsilon=|a-b|$
[/mm]
Also Widerspruch: $|a-b|<|a-b|$
Daraus kann man dann folgern, dass a doch gleich b sein muss.
Um auf: [mm] $|a-b|<|a_n-a|+|a_n-b|<2\varepsilon=|a-b|$ [/mm] zu kommen, da bräuchte ich eure Hilfe.
Liebe Grüße
Disap
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Mo 25.12.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Um auf: [mm]|a-b|<|a_n-a|+|a_n-b|<2\varepsilon=|a-b|[/mm] zu kommen,
> da bräuchte ich eure Hilfe.
>
[mm] |a-b|=|a-a_n+a_n-b|\le|a-a_n|+|b-a_n| [/mm] nach der Dreiecksungleichung. Ich glaube das wars.
> Liebe Grüße
> Disap
mfg ullim
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