Folge einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:19 Fr 12.02.2010 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Sei A= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 }.
[/mm]
Untersuchen Sie, ob die Folge [mm] (A^n)_{n \in \IN} [/mm] in Mat(3 [mm] \times [/mm] 3, [mm] \IR) [/mm] konvergiert und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert. |
Hallo,
Ich hab starke Schwierigkeiten hier überhaupt mal auf eine Idee zu kommen, wie ich prüfen kann, ob diese Folge konvergiert.
Was ich weiß ist, wenn A diagonialisierbar wäre, dann wäre [mm] A^n [/mm] = T* [mm] D^n *T^{-1}.
[/mm]
Aber da diese Matrix so "krumme" Eigenwerte hat, bin ich der festen Überzeugung, dass sie nicht diagonalisierbar ist.
Die Frage ist nur, wie ich mal auf einen Ansatz komme, wäre euch um jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Fr 12.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei A= [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 }.[/mm]
>
> Untersuchen Sie, ob die Folge [mm](A^n)_{n \in \IN}[/mm] in Mat(3
> [mm]\times[/mm] 3, [mm]\IR)[/mm] konvergiert und bestimmen Sie gegebenfalls
> den Grenzwert.
>
> Hallo,
> Ich hab starke Schwierigkeiten hier überhaupt mal auf
> eine Idee zu kommen, wie ich prüfen kann, ob diese Folge
> konvergiert.
> Was ich weiß ist, wenn A diagonialisierbar wäre, dann
> wäre [mm]A^n[/mm] = T* [mm]D^n *T^{-1}.[/mm]
Genau.
> Aber da diese Matrix so
> "krumme" Eigenwerte hat, bin ich der festen Überzeugung,
> dass sie nicht diagonalisierbar ist.
Was bedeutet "krumme" Eigenwerte bei dir? Wenn die Matrix drei verschiedene Eigenwerte hat, dann ist sie diagonalisierbar. (Das ist hier der Fall, und so "krumm" sind die gar nicht.)
Nehmen wir mal an, die Matrix hat die Eigenwerte [mm] $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$. [/mm] Fuer den Grenzwert ist ja der Grenzwert von [mm] $D^n$ [/mm] fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] zu betrachten, und falls dieser existiert, so ist er [mm] $\pmat{ \lim_{n\to\infty} \lambda_1^n & 0 & 0 \\ 0 & \lim_{n\to\infty} \lambda_2^n & 0 \\ 0 & 0 & \lim_{n\to\infty} \lambda_3^n }$ [/mm] -- und er existiert genau dann, wenn alle drei Limiten existieren.
So, und wann konvergiert [mm] $(\lambda^n)_{n\in\IN}$? [/mm] Falls [mm] $|\lambda| [/mm] < 1$ ist, geht das gegen 0. Falls [mm] $|\lambda| [/mm] > 1$ ist, divergiert es. Und fuer [mm] $\lambda [/mm] = 1$ konvergiert es, und fuer [mm] $\lambda [/mm] = -1$ schliesslich nicht.
Damit kannst du also sagen, ob [mm] $\lim_{n\to\infty} A^n$ [/mm] existiert oder nicht. Und falls es kein [mm] $\lambda$ [/mm] mit [mm] $\lambda [/mm] = 1$ gibt, kannst du im Falle der Konvergenz auch den Grenzwert angeben: dieser ist naemlich 0.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Fr 12.02.2010 | | Autor: | ms2008de |
Vielen dank dafür noch, habs hinbekommen, die Folge konvergiert, weil die 3 Eigenwerte Betrag [mm] \le [/mm] 1 haben
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