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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 So 08.04.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | [mm] a_n [/mm] = [mm] (\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+..+\frac{1}{n+n}), [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Untersuche auf Monotonie und beschränktheit.
Mit Hilfe der Euler-Masceronischen Zahl c berechne man den Limes von [mm] a_n.
[/mm]
[mm] c_n [/mm] = 1 1/2 + .. + 1/n - ln n
konvergiert gegen die Euler-Masceronischen Zahl c |
[mm] a_n [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}
[/mm]
[mm] \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} [/mm] < [mm] \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+k}
[/mm]
[mm] \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} [/mm] - [mm] \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+k} [/mm] <0
[mm] -\frac{1}{2n+1} [/mm] <0
-> monoton steigend da
[mm] \frac{1}{2n+1} [/mm] ist sicher größer als 0, da n [mm] \in \IN
[/mm]
Beschränktheit nach unten klar
Beschränktheit nach oben, vermutung : [mm] a_n [/mm] = [mm] (\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+..+\frac{1}{n+n}) [/mm] < 1
Wie zeige ich das am geschicktesten? vollständige Induktion?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 So 08.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
schätze deine Summe durch n mal das erste Glied ab!
Die Monotonie hast du nicht richtig, schreib mal erst [mm] a_{n+1} [/mm] hin, da ändert sich nicht nur die Grenze oben!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 So 08.04.2012 | | Autor: | Lu- |
$ [mm] a_n [/mm] $ = $ [mm] (\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+..+\frac{1}{n+n}), [/mm] $ n $ [mm] \in \IN [/mm] $
[mm] a_{n+1} =\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+..+\frac{1}{n+1+n}+\frac{1}{n+2+n}
[/mm]
$ [mm] a_n [/mm] $ = $ [mm] \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} [/mm] $
$ [mm] a_{n+1} [/mm] $ = $ [mm] \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+2+k} [/mm] $
Wie mache ich denn jetzt nun die Monotonie?
Beschränktheit:
[mm] \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+..+\frac{1}{n+n} [/mm] < [mm] \frac{n}{n+1} [/mm] < 1 bei n [mm] \in \IN
[/mm]
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> [mm]a_n[/mm] = [mm](\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+..+\frac{1}{n+n}),[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>
> [mm]a_{n+1} =\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+..+\frac{1}{n+1+n}+\frac{1}{n+2+n}[/mm]
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}[/mm]
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+2+k}[/mm]
>
> Wie mache ich denn jetzt nun die Monotonie?
[mm] a_n-a_{n-1}=\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}=0
[/mm]
>
> Beschränktheit:
> [mm]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+..+\frac{1}{n+n}[/mm] <
> [mm]\frac{n}{n+1}[/mm] < 1 bei n [mm]\in \IN[/mm]
passt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 So 08.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
bilde [mm] a_n-a_{n+1} [/mm] und sieh nach ob es >0 oder <0
am besten machst du das mit der ersten form statt dem summenzeichen.
deine Summe für [mm] a_{n+1} [/mm] muss noch bis n+1 gehen, mit Pünktchen ist es richtig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 So 08.04.2012 | | Autor: | Lu- |
[mm] a_n [/mm] - [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1} [/mm] - [mm] \frac{1}{n+n+1} [/mm] - [mm] \frac{1}{n+2+n}
[/mm]
= [mm] \frac{(2n+1)*(2+2n)-(n+1)*(2+2n)-(n+1)*(2n+1)}{(n+1)*(2n+1)*(2+2n)}
[/mm]
= [mm] \frac{-4n^2+3n-1}{(n+1)*(2n+1)*(2+2n)}
[/mm]
Nenner >0
[mm] -4n^2 [/mm] > 7n+1 ab n> 1
Zähler < 1
=> Monotonie fallend.
> Mit Hilfe der Euler-Masceronischen Zahl c berechne man den Limes von $ [mm] a_n. [/mm] $
> $ [mm] c_n [/mm] $ = 1 1/2 + .. + 1/n - ln n
> konvergiert gegen die Euler-Masceronischen Zahl c
Wie soll ich das zeigen?
Hat da noch wer einen Tipp?
Liebe Grüße
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> [mm]a_n[/mm] - [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\frac{1}{n+1}[/mm] - [mm]\frac{1}{n+n+1}[/mm] - [mm]\frac{1}{n+2+n}[/mm]
> = [mm]\frac{(2n+1)*(2+2n)-(n+1)*(2+2n)-(n+1)*(2n+1)}{(n+1)*(2n+1)*(2+2n)}[/mm]
> = [mm]\frac{-4n^2+3n-1}{(n+1)*(2n+1)*(2+2n)}[/mm]
>
> Nenner >0
Hallo,
soweit folge ich.
> [mm]-4n^2[/mm] > 7n+1 ab n> 1
Das ist sicher verkehrt.
> Zähler < 1
Wen interessiert denn, ob der Nenner kleiner oder größer als 1 ist?
Du willst doch wissen, ob der Quotient größer oder kleiner als 0 ist.
Wenn man Bruchrechnung kann, wird der Quotient übrigens übersichtlicher:
[mm]a_n[/mm] - [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\frac{1}{n+1}[/mm] - [mm]\frac{1}{n+n+1}[/mm] - [mm]\frac{1}{n+2+n}[/mm]
> = [mm]\frac{(2n+1)*(2+2n)-(n+1)*(2+2n)-(n+1)*(2n+1)}{(n+1)*(2n+1)*(2+2n)}[/mm]
= [mm]\frac{(2n+1)*2(1+n)-(n+1)*2(1+n)-(n+1)*(2n+1)}{(n+1)*(2n+1)*2(1+n)}[/mm]
= [mm]\frac{(2n+1)*2-2(1+n)-(2n+1)}{(2n+1)*2(1+n)}[/mm]
=???
>
> => Monotonie fallend.
>
>
> > Mit Hilfe der Euler-Masceronischen Zahl c berechne man den
> Limes von [mm]a_n.[/mm]
> > [mm]c_n[/mm] = 1 1/2 + .. + 1/n - ln n
> > konvergiert gegen die Euler-Masceronischen Zahl c
> Wie soll ich das zeigen?
> Hat da noch wer einen Tipp?
Ja.
Bedenke, daß [mm] a_n+c_n=c_{2n}+ln(2n)-ln(n).
[/mm]
Verwende Logarithmusgesetze und bilde dann den Grenzwert.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Mo 09.04.2012 | | Autor: | Lu- |
> Wenn man Bruchrechnung kann, wird der Quotient übrigens
> übersichtlicher:
>
> [mm]a_n[/mm] - [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\frac{1}{n+1}[/mm] - [mm]\frac{1}{n+n+1}[/mm] -
> [mm]\frac{1}{n+2+n}[/mm]
> > =
> [mm]\frac{(2n+1)*(2+2n)-(n+1)*(2+2n)-(n+1)*(2n+1)}{(n+1)*(2n+1)*(2+2n)}[/mm]
> =
> [mm]\frac{(2n+1)*2(1+n)-(n+1)*2(1+n)-(n+1)*(2n+1)}{(n+1)*(2n+1)*2(1+n)}[/mm]
> = [mm]\frac{(2n+1)*2-2(1+n)-(2n+1)}{(2n+1)*2(1+n)}[/mm]
> =???
Wenn ich weiterkürze, dann steht wieder die Anfangszeile da.
wenn ich ausrechne:
[mm] \frac{-1}{6n+4n^2+2}
[/mm]
Also ist der Quotient < 0 -> wachsende Monotonie
> $ [mm] a_n+c_n=c_{2n}+ln(2n)-ln(n). [/mm] $
Wie kommst du darauf?
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>
> > Wenn man Bruchrechnung kann, wird der Quotient übrigens
> > übersichtlicher:
> >
> > [mm]a_n[/mm] - [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\frac{1}{n+1}[/mm] - [mm]\frac{1}{n+n+1}[/mm] -
> > [mm]\frac{1}{n+2+n}[/mm]
> > > =
> >
> [mm]\frac{(2n+1)*(2+2n)-(n+1)*(2+2n)-(n+1)*(2n+1)}{(n+1)*(2n+1)*(2+2n)}[/mm]
> > =
> >
> [mm]\frac{(2n+1)*2(1+n)-(n+1)*2(1+n)-(n+1)*(2n+1)}{(n+1)*(2n+1)*2(1+n)}[/mm]
> > = [mm]\frac{(2n+1)*2-2(1+n)-(2n+1)}{(2n+1)*2(1+n)}[/mm]
> > =???
> Wenn ich weiterkürze, dann steht wieder die Anfangszeile
> da.
> wenn ich ausrechne:
[mm] a_n-a_{n-1}=
[/mm]
> [mm]\frac{-1}{6n+4n^2+2}[/mm]
> Also ist der Quotient < 0 -> wachsende Monotonie
Hallo,
nein.
Nicht "wachsende Monotonie", sondern "monoton wachsend".
>
> > [mm]a_n+c_n=c_{2n}+ln(2n)-ln(n).[/mm]
> Wie kommst du darauf?
Bevor Du diese Frage stellst, solltest Du prüfen, ob es überhaupt stimmt, was ich sage.
Hast Du's nachgerechnet?
Wenn nein: mach's. Und?
Wenn ja: dann ist Dir nicht mehr rätselhaft, wie ich darauf gekommen bin.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Di 10.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo, ja dumme Frage ;)
[mm] a_n+c_n=c_{2n}+ln(2n)-ln(n). [/mm]
[mm] (\frac{1}{n+1} [/mm] + [mm] \frac{1}{n+2}+..+\frac{1}{n+n}) [/mm] +(1+1/2 + ..+1/n) - [mm] ln(n)=(1+1/2+..+1/n+....+\frac{1}{2n}) [/mm] - ln(2n) +ln(2n)-ln(n)
[mm] (\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+..+\frac{1}{n+n}) [/mm] +(1+1/2 + ..+1/n) = [mm] (1+1/2+..1/n+..+\frac{1}{2n})
[/mm]
stimmt also.
> Verwende Logarithmusgesetze
[mm] a_n [/mm] + [mm] c_n [/mm] = [mm] c_{2n} [/mm] + [mm] ln(\frac{2n}{n})
[/mm]
[mm] a_n [/mm] + [mm] c_n [/mm] = [mm] c_{2n} [/mm] + ln(2)
ZuZeigen:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: | [mm] a_n [/mm] - [mm] lim_{n->\infty} c_n| <\varepsilon
[/mm]
Wie tuhe ich nun weiter?
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> [mm]a_n[/mm] + [mm]c_n[/mm] = [mm]c_{2n}[/mm] + ln(2)
Hallo,
genau.
Also ist
[mm] a_n=c_{2n}-c_n [/mm] +ln(2).
Und nun den limes:
[mm] \lim a_n=\lim (c_{2n}-c_n [/mm] +ln(2))=???
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 So 15.04.2012 | | Autor: | Lu- |
> $ [mm] \lim a_n=\lim (c_{2n}-c_n [/mm] $ +ln(2))
man weiß doch, dass [mm] c_{2n} [/mm] und [mm] c_n [/mm] konvergieren gegen die Euler-Masceronischen Zahl c
würde, dass nicht bedeuten der grenzwert von [mm] a_n [/mm] ist ln(2)?
LG
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> > [mm]\lim a_n=\lim (c_{2n}-c_n[/mm] +ln(2))
>
> man weiß doch, dass [mm]c_{2n}[/mm] und [mm]c_n[/mm] konvergieren gegen die
> Euler-Masceronischen Zahl c
> würde, dass nicht bedeuten der grenzwert von [mm]a_n[/mm] ist
> ln(2)?
Hallo,
ja, so ist es.
LG Angela
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