Folge/Modellgleichung bestimme < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Do 09.12.2010 | | Autor: | Lisa_M |
| Aufgabe | Auf einer Insel wurde durch eine Naturkatastrophe die komplette Fauna zerstört. Nach einiger Zeit siedelte sich wieder eine bestimmte Schmetterlingsart an. Zuerst waren es 10 Stueck. Jedes Jahr vermehrt sich der Bestand um 10% und es kommen 5 Schmetterlinge von anderen Inseln dazu.
1) Wie lautet die Modellgleichung fuer das Schmetterlingswachstum?
2) Wie lautet die explizite Darstellung fuer die Bestandsgrösse nach n Jahren?
3) Wieviele Schmetterlinge befinden sich nach 10 Jahren auf der Insel? |
1) Ist die Modellgleichung die Rekursionsform oder was muss ich hier machen? Bin mir nicht sicher, ob ich das richtige Thema getroffen habe.
2) 10,16,21 [mm] 8\5...
[/mm]
an = an-1 + [mm] 1\10 [/mm] an-1 + 5
Ist das hier richtig oder ist das Aufgabe 1)?
3) [mm] a10=a9+5+1\10*a9
[/mm]
Wie kann ich das hier ausrechnen ohne alle vorherigen Glieder auszurechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:46 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi
Deine als Lösung für b. angegebene Rekursionsformel ist richtig (auch wenn sie hier nicht so angezeigt wird, wie du das wolltest). Sie stellt die Lösung für Aufgabenteil a. dar.
Man kann sie noch etwas zusammenfassen in der Form
[mm] a_0 [/mm] = 10 und [mm] a_n [/mm] = [mm] 1,1*a_{n-1} [/mm] + 5 für n [mm] \ge [/mm] 1 .
Für die Lösung zu b. musst du diese Rekursionsformel in eine explizite Formel umwandeln, aus der du dann eben [mm] a_{10} [/mm] berechnen kannst, ohne auf [mm] a_9 [/mm] zurückgreifen zu müssen.
Dazu musst du dir mal die ersten drei bis vier Folgenglieder mit Hilfe der Rekursion allgemein aufschreiben, Kalmmern auflösen, neu ordnen und sehen, ob du eine Gesetzmäßigkeit erkennen kannst, also ob du die entstehende Summe zusammenfassen kannst (Tipp : geometrische Reihe).
Gruß Sax.
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