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| Aufgabe | Beweisen Sie:
Ist [mm] (z_{n}) [/mm] eine Folge in [mm] \IC [/mm] und z [mm] \in \IC, [/mm] so gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}z_{n} [/mm] = z [mm] \gdw \begin{cases} limes_{n\rightarrow\infty}Re(z_{n}), = Re(z) \\ limes_{n\rightarrow\infty}Im(z_{n}), =Im(z) \end{cases} [/mm] |
Ich weiß nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
Das einzige was mir dazu eingefallen ist, ist wenn z.B [mm] z_{n} [/mm] = 2/n+i
dann wäre [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}z_{n} [/mm] = i, Re = 0 und Im = i
Aber wie soll ich die Aufgabe beweisen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 So 21.04.2013 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie:
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> Ist [mm](z_{n})[/mm] eine Folge in [mm]\IC[/mm] und z [mm]\in \IC,[/mm] so gilt
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}z_{n}[/mm] = z [mm]%5Cgdw%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20limes_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7DRe(z_%7Bn%7D)%2C%20%3D%20Re(z)%20%5C%5C%20limes_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7DIm(z_%7Bn%7D)%2C%20%3DIm(z)%20%5Cend%7Bcases%7D[/mm]
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> Ich weiß nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
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> Das einzige was mir dazu eingefallen ist, ist wenn z.B
> [mm]z_{n}[/mm] = 2/n+i
> dann wäre [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}z_{n}[/mm] = i, Re = 0
> und Im = i
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> Aber wie soll ich die Aufgabe beweisen.
Hallo,
verwende die [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von z.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 So 21.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie:
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> Ist [mm](z_{n})[/mm] eine Folge in [mm]\IC[/mm] und z [mm]\in \IC,[/mm] so gilt
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}z_{n}[/mm] = z [mm]\gdw \begin{cases} limes_{n\rightarrow\infty}Re(z_{n}), = Re(z) \\ limes_{n\rightarrow\infty}Im(z_{n}), =Im(z) \end{cases}[/mm]
>
> Ich weiß nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
>
> Das einzige was mir dazu eingefallen ist, ist wenn z.B
> [mm]z_{n}[/mm] = 2/n+i
> dann wäre [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}z_{n}[/mm] = i, Re = 0
> und Im = i
>
> Aber wie soll ich die Aufgabe beweisen.
Sei $w=u+iv [mm] \in \IC [/mm] $ mit $u,v [mm] \in \IR.$
[/mm]
Zeige zunächst, falls Ihr das nicht hattet:
$|u| [mm] \le [/mm] |w| [mm] \le [/mm] |u|+|v|$ und $|v| [mm] \le [/mm] |w| [mm] \le [/mm] |u|+|v|$ .
Dann ist z.B.:
[mm] $|Re(z_n)-Re(z)| \le |z_n-z| \le |Re(z_n)-Re(z)|+|Im(z_n)-Im(z)|$ [/mm] für alle n.
FRED
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> > Beweisen Sie:
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> > Ist [mm](z_{n})[/mm] eine Folge in [mm]\IC[/mm] und z [mm]\in \IC,[/mm] so gilt
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}z_{n}[/mm] = z [mm]\gdw \begin{cases} limes_{n\rightarrow\infty}Re(z_{n}), = Re(z) \\ limes_{n\rightarrow\infty}Im(z_{n}), =Im(z) \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Ich weiß nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
> >
> > Das einzige was mir dazu eingefallen ist, ist wenn z.B
> > [mm]z_{n}[/mm] = 2/n+i
> > dann wäre [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}z_{n}[/mm] = i, Re = 0
> > und Im = i
> >
> > Aber wie soll ich die Aufgabe beweisen.
>
>
>
> Sei [mm]w=u+iv \in \IC[/mm] mit [mm]u,v \in \IR.[/mm]
>
> Zeige zunächst, falls Ihr das nicht hattet:
>
> [mm]|u| \le |w| \le |u|+|v|[/mm] und [mm]|v| \le |w| \le |u|+|v|[/mm] .
|u| [mm] \le [/mm] |w| [mm] \le [/mm] |u|+|v|
<=> |u| [mm] \le \wurzel{u^{2}+v^{2}} \le [/mm] |u|+|v| | ()²
<=> u² [mm] \le [/mm] u²+v² [mm] \le [/mm] u²+2uv+v²
<=> |v| [mm] \le \wurzel{u^{2}+v^{2}} \le [/mm] |u|+|v| | ()²
<=> v² [mm] \le [/mm] u²+v² [mm] \le [/mm] u²+2uv+v²
>
> Dann ist z.B.:
>
> [mm]|Re(z_n)-Re(z)| \le |z_n-z| \le |Re(z_n)-Re(z)|+|Im(z_n)-Im(z)|[/mm]
> für alle n.
Und wie beweise ich hiermit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}z_{n}=z [/mm] ?
>
> FRED
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Hallo,
> > Sei [mm]w=u+iv \in \IC[/mm] mit [mm]u,v \in \IR.[/mm]
> >
> > Zeige zunächst, falls Ihr das nicht hattet:
> >
> > [mm]|u| \le |w| \le |u|+|v|[/mm] und [mm]|v| \le |w| \le |u|+|v|[/mm] .
> |u| [mm]\le[/mm] |w| [mm]\le[/mm] |u|+|v|
> <=> |u| [mm]\le \wurzel{u^{2}+v^{2}} \le[/mm] |u|+|v| | ()²
> <=> u² [mm]\le[/mm] u²+v² [mm]\le[/mm] u²+2uv+v²
>
> <=> |v| [mm]\le \wurzel{u^{2}+v^{2}} \le[/mm] |u|+|v| | ()²
> <=> v² [mm]\le[/mm] u²+v² [mm]\le[/mm] u²+2uv+v²
Auf der rechten Seite muss es bei beiden lauten: $2*|u|*|v|$ statt 2uv,
dann ist es OK.
> > Dann ist z.B.:
> >
> > [mm]|Re(z_n)-Re(z)| \le |z_n-z| \le |Re(z_n)-Re(z)|+|Im(z_n)-Im(z)|[/mm]
> > für alle n.
> Und wie beweise ich hiermit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}z_{n}=z[/mm] ?
Wenn [mm] $\lim_{n\to\infty}Re(z_n) [/mm] = Re(z)$ und [mm] $\lim_{n\to\infty}Im(z_n) [/mm] = Im(z)$, dann gilt doch:
[mm] $|Re(z_n) [/mm] - Re(z)| [mm] \to [/mm] 0, [mm] |Im(z_n) [/mm] - Im(z)| [mm] \to [/mm] 0,$ [mm] (n\to\infty)
[/mm]
Was kannst du also aus der Ungleichung:
$0 [mm] \le |z_n-z| \le |Re(z_n)-Re(z)|+|Im(z_n)-Im(z)|$
[/mm]
für $n [mm] \to \infty$ [/mm] folgern?
Viele Grüße,
Stefan
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> Hallo,
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> > > Sei [mm]w=u+iv \in \IC[/mm] mit [mm]u,v \in \IR.[/mm]
> > >
> > > Zeige zunächst, falls Ihr das nicht hattet:
> > >
> > > [mm]|u| \le |w| \le |u|+|v|[/mm] und [mm]|v| \le |w| \le |u|+|v|[/mm] .
> > |u| [mm]\le[/mm] |w| [mm]\le[/mm] |u|+|v|
> > <=> |u| [mm]\le \wurzel{u^{2}+v^{2}} \le[/mm] |u|+|v| | ()²
> > <=> u² [mm]\le[/mm] u²+v² [mm]\le[/mm] u²+2uv+v²
> >
> > <=> |v| [mm]\le \wurzel{u^{2}+v^{2}} \le[/mm] |u|+|v| | ()²
> > <=> v² [mm]\le[/mm] u²+v² [mm]\le[/mm] u²+2uv+v²
>
> Auf der rechten Seite muss es bei beiden lauten: [mm]2*|u|*|v|[/mm]
> statt 2uv,
> dann ist es OK.
>
>
> > > Dann ist z.B.:
> > >
> > > [mm]|Re(z_n)-Re(z)| \le |z_n-z| \le |Re(z_n)-Re(z)|+|Im(z_n)-Im(z)|[/mm]
> > > für alle n.
> > Und wie beweise ich hiermit
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}z_{n}=z[/mm] ?
>
> Wenn [mm]\lim_{n\to\infty}Re(z_n) = Re(z)[/mm] und
> [mm]\lim_{n\to\infty}Im(z_n) = Im(z)[/mm], dann gilt doch:
>
> [mm]|Re(z_n) - Re(z)| \to 0, |Im(z_n) - Im(z)| \to 0,[/mm]
> [mm](n\to\infty)[/mm]
>
> Was kannst du also aus der Ungleichung:
>
> [mm]0 \le |z_n-z| \le |Re(z_n)-Re(z)|+|Im(z_n)-Im(z)|[/mm]
>
> für [mm]n \to \infty[/mm] folgern?
Ich kann daraus folgern, dass [mm] |z_n-z| [/mm] für n gegen unendlich gegen null geht.
>
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>
>
> Viele Grüße,
> Stefan
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Hallo,
> > Was kannst du also aus der Ungleichung:
> >
> > [mm]0 \le |z_n-z| \le |Re(z_n)-Re(z)|+|Im(z_n)-Im(z)|[/mm]
> >
> > für [mm]n \to \infty[/mm] folgern?
>
> Ich kann daraus folgern, dass [mm]|z_n-z|[/mm] für n gegen
> unendlich gegen null geht.
Genau, und das ist gleichbedeutend mit [mm] \lim z_n [/mm] = z.
Viele Grüße,
Stefan
>
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