Fnkt. mehrerer Veränderlicher < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 So 14.06.2009 | | Autor: | cracker |
| Aufgabe | Funktionen mehrerer Veränderlicher
Gegeben ist die Funktion
f (x, y) =(4x² + [mm] y²)*e^{1 - x² - y²}.
[/mm]
Bestimmen Sie die stationären Punkte von f, d.h. die Punkte (x, y) mit
grad f(x, y) = [mm] \vec{0} [/mm] |
hallo
ich bekomme grad f(x,y)= [mm] (2x*e^{1 - x² - y²}* [/mm] (4x-4x²-y²); [mm] 2y*e^{1- x²- y²}* [/mm] (1-4x²-y²))
für einen stat. punkt muss ja der grad f(x,y)= [mm] \vec{0} [/mm] sein.
was muss ich hier machen? raten???
ich hätte mir gedacht dass (0,0); (1,0); (0,1) stationäre punkte sind, wahrs auch noch mehr?!...aber muss ich dass nicht irgendwie begründen?..
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 So 14.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo cracker!
> ich bekomme grad f(x,y)= [mm](2x*e^{1 - x² - y²}*[/mm] (4x-4x²-y²); [mm]2y*e^{1- x²- y²}*[/mm] (1-4x²-y²))
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Ich erhalte hier:
[mm] $$\text{grad} [/mm] f(x,y) \ = \ [mm] \vektor{2x*e^{1-x^2-y^2}*\left(\red{4}-4x^2-y^2\right) \\ 2y*e^{1-x^2-y^2}*\left(1-4x^2-y^2\right)}$$
[/mm]
> für einen stat. punkt muss ja der grad f(x,y)= [mm]\vec{0}[/mm] sein.
Setze beide Terme des Gradienten gleich Null. Da jeweils der Term [mm] $e^{1-x^2-y^2}$ [/mm] nie Null werden kann, kannst Du diesen außen vor lassen.
Es verbleiben also als Bestimmungsgleichungen:
[mm] $$2x*\left(4-4x^2-y^2\right) [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$2y*\left(1-4x^2-y^2\right) [/mm] \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 So 14.06.2009 | | Autor: | cracker |
Ah,
das hatte ich übersehen..
okay, und wie löse ich dieses gleichungssystem am schlauesten ohne computerprogramm?
danke
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[Zitat von Loddar]
Es verbleiben also als Bestimmungsgleichungen:
$ [mm] 2x\cdot{}\left(4-4x^2-y^2\right) [/mm] \ = \ 0 $
$ [mm] 2y\cdot{}\left(1-4x^2-y^2\right) [/mm] \ = \ 0 $
Gruß
Loddar
[Zitat Ende]
Du kannst es systematisch durchgehen:
1. Gleichung anschauen:
1. Fall: x = 0
Das kannst du in die zweite Gleichung einsetzen und so passende y-Werte ermitteln. Das sollte 3 Lösungen geben.
2. Fall: [mm]4-4x^2-y^2=0[/mm] nachher
2. Gleichung anschauen:
1. Fall: y = 0
Das wieder in die erste Gleichung einsetzen und so passende x-Werte bekommen (hier bekommst du dann (0/0) doppelt, aber das schadet ja nichts). Das sollte noch zwei zusätzliche Lösungen geben.
2. Fall: [mm]1-4x^2-y^2=0[/mm]
Die zweiten Fälle klingen sehr ähnlich - von daher kann man die sozusagen in einem Aufwasch erledigen. Umgangssprachlich gesprochen: wenn der eine Term 0 ist, dann kann es der andere nicht werden. Da aber beide Produkte 0 werden müssen, geht das nur dann, wenn schon x=0 oder y=0 ist, aber die beiden Fälle hast du ja schon behandelt.
Formal z.B.
[mm]4-4x^2-y^2=0[/mm] | -3
[mm]1-4x^2-y^2=-3 \ne 0[/mm], also muss y=0 sein --> anderer Fall, bereits betrachtet.
Den anderen Fall dann entsprechend.
Gruß,
weightgainer
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