Flußintegralberechnung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Mi 06.09.2006 | | Autor: | Daeda |
| Aufgabe | Es sei [mm]G:= \left\{ (x,y) \in \IR^2 | y\ge0 , x^2+y^2\ge1 \right\}[/mm] gegeben. Das Vektorfeld [mm]\vec v : \IR^2 \to \IR^2[/mm] sei definiert durch
[mm]\vec v (x,y) := \vektor{x^2 \\ xy}[/mm]
Berechnen sie den Fluß [mm] \integral_{\partial G}^{}{\vec v * \vec N ds} [/mm] von [mm] \vec [/mm] v durch den Rand von G
1. direkt und
2. mittels des Divergenzsatzes |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe in meinen Unterlagen dazu gefunden dass [mm]\vec N[/mm] die Normale zur Fläche G sein muss.
Aus der Aufgabe geht dieser Vektor direkt hervor, da G ja einen Halbkreis mit dem Radius 1 um den Ursprung ist.
Also ist die Normale [mm] \vektor{0 \\ -1}
[/mm]
Wie bekommen ich aber die Normale wenn das nicht so einfach zu sehen ist.
Ich kann mich aus meiner Schulzeit noch an ein Verfahren erinnern wie man zu einer Fläche im dreidimensionalen Raum die Normale findet.
Das geht aber hier nicht.
Wie gehe ich dann weiter vor wenn ich die Normale gefunden habe.
In meinen Aufzeichnungen ist das Verfahren zwar beschrieben, aber ich kann nicht nachvollziehen was da gemacht wird.
Ich habe bereits die Lösung vor mir liegen, aber diese ist sehr kurz gehalten.
So sieht übrigens die Lösung zu 1. aus
[mm] \integral_{\partial G}^{}{\vec v * \vec N\ ds} =\integral_{-1}^{1}{\vec v (x,0)*\vektor{0\\ -1}dx} + \integral_{0}^{\pi}{\vec v (\cos t,\sin t)* \vektor{\cos t \\ sin t}dt} = 0 + \integral_{0}^{\pi}{cos t\dt} = 0[/mm]
Woher kommen auf einmal die Grenzen?
Kann mir jmd diese Lösung erklären oder eine eigene posten?
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Nun, das erste Integral sollte kein problem sein, das ist nur das Integral über das grade Stück der x-Achse. Den Normalenvektor hast du ja selber angegeben.
Bei dem zweiten wechselt man die Koordinaten.
Der Halbkreis kannn durch einen Vektor der Länge 1 beschrieben werden, der sich im Ursprung dreht. Der Winkel t liegt dabei zwischen x-Achse und Vektor
Dieser Vektor ist [mm] \vektor{\cos t \\ \sin t}. [/mm] Er berührt deinen halbkreis mit der Spitze und steht auch senkrecht darauf. Gleichzeitig liefert er dir ja auch die xy-Werte für die Funktion.
Und die Grenzen? Naja, der angesprochene Winkel erzeugt ja nen Halbkreis, also Winkel von 0 bis [mm] \pi [/mm] (in Radiant, nicht Grad. Grad liefert Mist beim Integrieren!)
Die Funktion frißt ja nun keine x(y)-Werte mehr, sondern nur noch den Winkel!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Do 07.09.2006 | | Autor: | Daeda |
Danke für deine Mühe, ich hab mich auch noch mal damit beschäftigt und bin selbst auch zu diesem Ergebnis gekommen, die Lösung, die von mir angegeben wurde ist so auch nciht ganz korrekt.
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